À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en première sur « Variables aléatoires » suit le programme officiel de mathématiques de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?, La loi de probabilité (tableau), Représenter une loi de probabilité, L'espérance : le gain moyen. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
2 · La loi de probabilité (tableau)
3 · Représenter une loi de probabilité
4 · L'espérance : le gain moyen
5 · Variance et écart-type : la dispersion
6 · Application : jeux de hasard et décision
1Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?
Quand on réalise une expérience aléatoire (lancer un dé, tirer une carte, jouer à un jeu), on associe souvent un nombre à chaque résultat possible : un gain, un nombre de points, un score…
Définition. Une variable aléatoire, notée $X$, est un nombre que l'on associe à chaque résultat d'une expérience aléatoire. Sa valeur dépend du hasard. On note $x_1, x_2, \ldots$ les différentes valeurs que peut prendre $X$.
Exemple. On lance un dé équilibré à six faces et on définit le jeu suivant : on gagne $2$€ si le résultat est pair, on perd $1$€ si le résultat est impair. Le gain $X$ est une variable aléatoire qui prend seulement deux valeurs : $-1$ et $2$.
Astuce. Une variable aléatoire n'est pas un nombre fixe : c'est un nombre qui change selon le hasard. On ne connaît sa valeur qu'une fois l'expérience réalisée.
On note $P(X = x_i)$ la probabilité que la variable $X$ prenne la valeur $x_i$. Par exemple, dans le jeu ci-dessus, $P(X = 2)$ est la probabilité d'obtenir un nombre pair, c'est-à-dire $\frac{1}{2}$.
2La loi de probabilité (tableau)
Définition. Donner la loi de probabilité de $X$, c'est indiquer, pour chaque valeur possible $x_i$, sa probabilité $p_i = P(X = x_i)$. On la présente dans un tableau.
Les probabilités d'une loi vérifient toujours deux conditions :
- chaque probabilité est comprise entre $0$ et $1$ ;
- la somme de toutes les probabilités vaut $1$.
Exemple. Reprenons le jeu du dé : on gagne $2$€ si pair, on perd $1$€ si impair.
| $X$ | $-1$ | $2$ |
|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
|---|
Vérification : $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ ✓. La loi est correcte.
Attention ! Vérifie toujours que la somme des probabilités vaut bien $1$. Si ce n'est pas le cas, c'est qu'il y a une erreur dans la loi.
3Représenter une loi de probabilité
On peut représenter une loi de probabilité par un diagramme en bâtons : en abscisse, les valeurs $x_i$ ; en hauteur, les probabilités $p_i$.
Exemple. On lance deux dés équilibrés et $X$ désigne la somme des deux scores. $X$ peut prendre toutes les valeurs de $2$ à $12$. Certaines sommes sont plus fréquentes que d'autres : la somme $7$ est la plus probable.
Astuce. Si on additionne la hauteur de tous les bâtons, on retrouve $1$. C'est une bonne façon de vérifier qu'une loi est complète.
4L'espérance : le gain moyen
Définition. L'espérance de $X$, notée $E(X)$, est la moyenne des valeurs de $X$ pondérée par leurs probabilités :$$E(X) = x_1 \times p_1 + x_2 \times p_2 + \cdots + x_k \times p_k.$$
L'espérance représente le résultat moyen que l'on obtiendrait si on répétait l'expérience un très grand nombre de fois. Pour un jeu d'argent, c'est le gain moyen par partie.
Exemple. On lance un dé équilibré : si on obtient $6$, on gagne $5$€ ; sinon, on perd $1$€. Soit $G$ le gain.
| $G$ | $5$ | $-1$ |
|---|
| $P(G=x)$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{5}{6}$ |
|---|
$$E(G) = 5 \times \frac{1}{6} + (-1) \times \frac{5}{6} = \frac{5 - 5}{6} = 0.$$Le gain moyen est nul : on dit que le jeu est
équitable.
Comment interpréter $E(X)$ pour un jeu ?- $E(X) > 0$ : en moyenne on gagne — le jeu est favorable au joueur ;
- $E(X) = 0$ : le jeu est équitable ;
- $E(X) < 0$ : en moyenne on perd — le jeu est défavorable au joueur.
Attention ! L'espérance n'est pas forcément une valeur que $X$ peut réellement prendre. Par exemple, $E(X)$ peut valoir $2{,}3$ même si $X$ ne prend que les valeurs $1$, $2$ et $3$.
5Variance et écart-type : la dispersion
Deux jeux peuvent avoir la même espérance mais être très différents : l'un peut donner toujours à peu près le même résultat, l'autre peut alterner entre gros gains et grosses pertes. Pour mesurer cela, on utilise la variance et l'écart-type.
Définition. La variance de $X$, notée $V(X)$, mesure à quel point les valeurs de $X$ s'écartent de l'espérance. On la calcule ainsi :$$V(X) = p_1 \times (x_1 - E(X))^2 + \cdots + p_k \times (x_k - E(X))^2.$$L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Il s'exprime dans la même unité que $X$ (par exemple en euros).
Exemple. Reprenons le gain $G$ du jeu précédent, avec $E(G) = 0$.
$V(G) = \frac{1}{6} \times (5 - 0)^2 + \frac{5}{6} \times (-1 - 0)^2 = \frac{25}{6} + \frac{5}{6} = \frac{30}{6} = 5$.
Donc $\sigma(G) = \sqrt{5} \approx 2{,}24$€.
Astuce. Plus l'écart-type est grand, plus les résultats sont dispersés (jeu imprévisible, risqué). Plus il est petit, plus les résultats sont regroupés autour de la moyenne.
6Application : jeux de hasard et décision
L'espérance et l'écart-type permettent de comparer deux jeux ou deux situations de hasard, et d'aider à prendre une décision.
Exemple : faut-il jouer ? Une tombola vend des billets à $2$€. Le gain net $G$ d'un joueur a pour espérance $E(G) = -1{,}1$€. Cela signifie qu'en moyenne, chaque billet fait perdre $1{,}10$€ au joueur. La tombola n'est donc pas avantageuse pour lui (mais elle l'est pour l'organisateur).
Exemple : choisir entre deux jeux. Deux jeux A et B ont le même gain moyen ($E = 0$€), mais le jeu B a un écart-type bien plus grand que le jeu A. Le jeu B est donc plus risqué : on peut gagner gros, mais aussi perdre gros. Si on veut limiter le risque, on choisit le jeu A.
À retenir pour décider. On regarde d'abord l'espérance (gain moyen attendu). À espérance égale, on compare l'écart-type : un écart-type plus faible signifie moins de risque.
Ces idées sont utilisées partout : dans les assurances, les jeux d'argent, ou pour évaluer un placement financier.
★À retenir
En bref :
• Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire.
• Sa loi de probabilité se donne dans un tableau $(x_i ; p_i)$, avec une somme des probabilités égale à $1$.
• L'espérance : $E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots$ — c'est le résultat moyen (gain moyen) sur un grand nombre d'expériences.
• La variance $V(X)$ mesure la dispersion ; l'écart-type $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ s'exprime dans la même unité que $X$.
• Un jeu est équitable si $E(\text{gain}) = 0$, favorable si $E > 0$, défavorable si $E < 0$.