Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Probabilités conditionnelles et indépendance

Probabilité sachant un événement, arbres pondérés et indépendance — 1re sans spé maths

À propos de cette page

Cette évaluation sur « Probabilités conditionnelles et indépendance » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Rappels de probabilités, Probabilité conditionnelle : P sachant A, Arbres pondérés : multiplier et additionner, Formule des probabilités totales (cas simples). Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.

Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20

55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Probabilité sachant un événement et arbre

/ 4 pts

Une urne contient 5 boules blanches (B) et 3 boules noires (N). On tire deux boules successivement et sans remise.
1. Représente la situation par un arbre pondéré en indiquant toutes les probabilités sur les branches.
2. Calcule $P(B_1\cap N_2)$ (première blanche, deuxième noire).
3. Calcule $P(N_2)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.

Exercice 2 — Formule des probabilités totales

/ 4 pts

Une boulangerie reçoit ses farines de deux fournisseurs : 70 % du fournisseur F₁ et 30 % du fournisseur F₂. Une livraison est non conforme dans 5 % des cas pour F₁ et dans 10 % des cas pour F₂.
On choisit une livraison au hasard.
1. Représente la situation par un arbre pondéré.
2. Calcule la probabilité $P(N)$ qu'une livraison soit non conforme.
3. Sachant qu'une livraison est non conforme, calcule la probabilité qu'elle provienne de F₂. Arrondis au centième.

Exercice 3 — Indépendance d'événements

/ 4 pts

On lance deux dés équilibrés à 6 faces. Soit $A$ = « le premier dé donne un 5 » et $B$ = « le second dé donne un nombre pair ».
1. Calcule $P(A)$, $P(B)$ et $P(A\cap B)$.
2. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifie.
3. Explique pourquoi ce résultat est logique dans cette situation.

Exercice 4 — Problème concret — application

/ 4 pts

Dans un club, 40 % des membres sont des juniors (J) et 60 % des seniors. Parmi les juniors, 30 % participent au tournoi (T) ; parmi les seniors, 50 % y participent.
On choisit un membre au hasard.
1. Calcule la probabilité qu'il soit junior et participe au tournoi.
2. Calcule la probabilité $P(T)$ qu'un membre participe au tournoi.
3. Sachant qu'un membre participe au tournoi, calcule la probabilité qu'il soit senior. Arrondis au centième.

Exercice 5 — Synthèse — dépistage d'une maladie rare

/ 4 pts

Une maladie touche 1 % d'une population. Un test est positif (+) dans 90 % des cas si la personne est malade (M), et positif dans 5 % des cas si elle est saine.
On teste une personne au hasard.
1. Calcule $P(+)$, la probabilité que le test soit positif.
2. Sachant que le test est positif, calcule la probabilité que la personne soit réellement malade. Arrondis au centième.
3. Commente : que penses-tu de la fiabilité du test pour une maladie aussi rare ?

✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Probabilité sachant un événement et arbre
Corrigé :
1. Niveau 1 : $B_1$ (proba $\frac{5}{8}$), $N_1$ (proba $\frac{3}{8}$). Après $B_1$ : $B_2$ ($\frac{4}{7}$), $N_2$ ($\frac{3}{7}$). Après $N_1$ : $B_2$ ($\frac{5}{7}$), $N_2$ ($\frac{2}{7}$).
2. $P(B_1\cap N_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}=\frac{15}{56}$.
3. $P(N_2)=\frac{5}{8}\times\frac{3}{7}+\frac{3}{8}\times\frac{2}{7}=\frac{15}{56}+\frac{6}{56}=\frac{21}{56}=\frac{3}{8}$.

Exercice 2 — Formule des probabilités totales
Corrigé :
1. Branches : $F_1$ (0,7) puis non conforme (0,05) ; $F_2$ (0,3) puis non conforme (0,10).
2. $P(N)=0{,}7\times 0{,}05+0{,}3\times 0{,}10=0{,}035+0{,}030=0{,}065$ soit $6{,}5\,\%$.
3. $P_N(F_2)=\dfrac{P(F_2)\times P_{F_2}(N)}{P(N)}=\dfrac{0{,}3\times 0{,}10}{0{,}065}=\dfrac{0{,}030}{0{,}065}\approx 0{,}46$, soit environ 46 %.

Exercice 3 — Indépendance d'événements
Corrigé :
1. $P(A)=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. $A\cap B$ = « premier dé 5 et second pair » = 3 issues sur 36, donc $P(A\cap B)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$.
2. $P(A)\times P(B)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{12}=P(A\cap B)$. Donc $A$ et $B$ sont indépendants.
3. C'est logique : les deux dés n'ont aucune influence l'un sur l'autre, le résultat de l'un ne change pas les probabilités de l'autre.

Exercice 4 — Problème concret — application
Corrigé :
1. $P(J\cap T)=P(J)\times P_J(T)=0{,}4\times 0{,}30=0{,}12$.
2. $P(T)=0{,}4\times 0{,}30+0{,}6\times 0{,}50=0{,}12+0{,}30=0{,}42$.
3. $P_T(\text{senior})=\dfrac{0{,}6\times 0{,}50}{0{,}42}=\dfrac{0{,}30}{0{,}42}\approx 0{,}71$, soit environ 71 %.

Exercice 5 — Synthèse — dépistage d'une maladie rare
Corrigé :
1. $P(+)=P(M)\times P_M(+)+P(\bar{M})\times P_{\bar{M}}(+)=0{,}01\times 0{,}90+0{,}99\times 0{,}05=0{,}009+0{,}0495=0{,}0585$.
2. $P_+(M)=\dfrac{0{,}01\times 0{,}90}{0{,}0585}=\dfrac{0{,}009}{0{,}0585}\approx 0{,}15$, soit environ 15 %.
3. Même avec un test plutôt bon, comme la maladie est très rare, une personne testée positive n'a qu'environ 15 % de chances d'être réellement malade : les faux positifs (personnes saines testées +) sont bien plus nombreux que les vrais malades. Un test positif doit donc être confirmé.

→Continuer ce chapitre

📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM

↔Autres chapitres

← Statistiques : moyenne et écart-type Variables aléatoires →

Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs