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Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Fonctions de référence et variations

Fonctions affine, carré, inverse et racine — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Fonctions de référence et variations » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Sens de variation et extremums, La fonction affine $f(x)=ax+b$, La fonction carré $f(x)=x^2$, La fonction inverse $f(x)=\frac{1}{x}$. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations

/ 4 pts
  1. Une droite passe par les points $A(1\,;\,4)$ et $B(3\,;\,10)$.
  2. a. Calculer le coefficient directeur $a$ de cette droite.
  3. b. En déduire l'ordonnée à l'origine $b$ et l'équation $y = ax + b$.
  4. c. La droite est-elle croissante ou décroissante ? Justifier.
  5. d. Calculer l'antécédent de $16$ par la fonction affine correspondante.

Exercice 2 — Fonction carré — Variations et (in)équations

/ 5 pts
  1. On considère $f(x) = x^2$.
  2. a. Donner le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ (avec le minimum).
  3. b. Comparer $f(-5)$ et $f(4)$ en justifiant.
  4. c. Résoudre $f(x) = 49$.
  5. d. Résoudre $f(x) \le 36$ et donner l'ensemble solution.

Exercice 3 — Fonction inverse — Domaine et variations

/ 4 pts
  1. On considère $g(x) = \dfrac{1}{x}$.
  2. a. Donner l'ensemble de définition de $g$.
  3. b. Donner le sens de variation de $g$ sur chacun de ses intervalles.
  4. c. Comparer $g\!\left(\frac{1}{4}\right)$ et $g(3)$ sans calculatrice, en justifiant.
  5. d. Résoudre $g(x) = -\dfrac{1}{2}$.

Exercice 4 — Fonction racine et lecture graphique

/ 4 pts
  1. On considère $h(x) = \sqrt{x}$.
  2. a. Donner l'ensemble de définition et le sens de variation de $h$.
  3. b. Calculer $h(0)$, $h(16)$ et $h(81)$.
  4. c. Comparer $\sqrt{20}$ et $\sqrt{30}$ sans calculatrice.
  5. d. Résoudre $\sqrt{x} = 9$.

Exercice 5 — Problème de modélisation

/ 3 pts
  1. Une coopérative fixe le prix de vente $p$ (en €) d'un article selon le nombre $n$ produit par $p(n) = \dfrac{72}{n}$ (avec $n > 0$).
  2. a. Calculer le prix pour $n = 6$ articles.
  3. b. Pour combien d'articles le prix est-il de $4$ € ?
  4. c. Le prix $p$ est-il croissant ou décroissant en fonction de $n$ ? Interpréter.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Fonction affine — Équation et variations
a. $a = \dfrac{10-4}{3-1} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}$.
b. $b = 4 - 3\times 1 = 1$. Équation : $\mathbf{y = 3x + 1}$.
c. $a = 3 > 0$, donc la droite est croissante.
d. $3x + 1 = 16 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow \mathbf{x = 5}$.

Exercice 2 — Fonction carré — Variations et (in)équations
a. $f$ est décroissante sur $]-\infty;0]$ puis croissante sur $[0;+\infty[$ ; minimum $0$ en $x=0$.
b. $f(-5) = 25$ et $f(4) = 16$, donc $\mathbf{f(-5) > f(4)}$ (les deux sont de part et d'autre de $0$ et $|-5| > 4$).
c. $x^2 = 49 \Rightarrow x = 7$ ou $x = -7$ : $\mathbf{\{-7\,;\,7\}}$.
d. $x^2 \le 36 \Leftrightarrow -6 \le x \le 6$ : ensemble solution $\mathbf{[-6\,;\,6]}$.

Exercice 3 — Fonction inverse — Domaine et variations
a. $D_g = \mathbb{R}^* = \mathbb{R} \setminus \{0\}$.
b. $g$ est décroissante sur $]-\infty;0[$ et décroissante sur $]0;+\infty[$.
c. Sur $]0;+\infty[$, $g$ est décroissante et $\frac{1}{4} < 3$, donc $\mathbf{g\!\left(\frac{1}{4}\right) > g(3)}$ (en effet $g(\frac14)=4$ et $g(3)=\frac13$).
d. $\frac{1}{x} = -\frac{1}{2} \Rightarrow \mathbf{x = -2}$.

Exercice 4 — Fonction racine et lecture graphique
a. $D_h = [0;+\infty[$ ; $h$ est croissante sur ce domaine.
b. $h(0) = 0$, $h(16) = 4$, $h(81) = 9$.
c. $h$ croissante et $20 < 30$, donc $\mathbf{\sqrt{20} < \sqrt{30}}$.
d. $\sqrt{x} = 9 \Rightarrow \mathbf{x = 81}$.

Exercice 5 — Problème de modélisation
a. $p(6) = \dfrac{72}{6} = \mathbf{12}$ €.
b. $\dfrac{72}{n} = 4 \Rightarrow n = \dfrac{72}{4} = \mathbf{18}$ articles.
c. $p(n) = \dfrac{72}{n}$ est de la forme $\dfrac{k}{n}$ avec $k = 72 > 0$ : c'est une fonction décroissante sur $]0;+\infty[$. Plus on produit d'articles, moins chaque article est cher (économie d'échelle).

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