Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Dérivation : nombre dérivé et tangente
Taux de variation, nombre dérivé et tangente (sans spé maths)
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est :
- A. $\dfrac{f(a+h)+f(a)}{h}$
- B. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$
- C. $f(a+h)-f(a)$
- D. $\dfrac{h}{f(a+h)-f(a)}$
Réponse
B. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ — C'est la différence des images divisée par l'écart h.
Le nombre dérivé $f'(a)$ représente :
- A. l'ordonnée du point A
- B. la pente de la tangente en a
- C. la valeur de f(a)
- D. l'aire sous la courbe
Réponse
B. la pente de la tangente en a — f'(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse a.
La tangente à la courbe de $f$ au point $A(a\,;\,f(a))$ a pour coefficient directeur :
- A. $f(a)$
- B. $a$
- C. $f'(a)$
- D. $h$
Réponse
C. $f'(a)$ — La pente de la tangente est le nombre dérivé f'(a).
Pour $f(x)=x^2$, le taux de variation entre $1$ et $1+h$ est :
- A. $h$
- B. $2+h$
- C. $2h+1$
- D. $h^2$
Réponse
B. $2+h$ — ((1+h)²-1)/h = (2h+h²)/h = 2+h.
Pour $f(x)=x^2$, $f'(1)$ vaut :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $2$
- D. $4$
Réponse
C. $2$ — Pour x², f'(a)=2a donc f'(1)=2.
L'équation de la tangente à $f$ en $a$ est :
- A. $y=f(a)$
- B. $y=f'(a)(x-a)$
- C. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$
- D. $y=f'(a)\,x+a$
Réponse
C. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ — La tangente passe par (a;f(a)) avec la pente f'(a).
Pour une fonction constante $f(x)=c$, $f'(a)$ vaut :
- A. $c$
- B. $1$
- C. $0$
- D. $a$
Réponse
C. $0$ — Une fonction constante ne varie pas : son taux de variation est nul.
Pour $f(x)=x$, $f'(a)$ vaut :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $a$
- D. $x$
Réponse
B. $1$ — f(a+h)-f(a)=h, taux=h/h=1 pour tout a.
Pour $f(x)=x^3$, $f'(a)$ vaut :
- A. $3a$
- B. $3a^2$
- C. $a^3$
- D. $3a^3$
Réponse
B. $3a^2$ — Le nombre dérivé de x³ est 3a².
La tangente à $f(x)=x^2$ en $a=0$ est :
- A. $y=1$
- B. $y=x$
- C. $y=0$
- D. $y=2x$
Réponse
C. $y=0$ — f'(0)=0 et f(0)=0 : tangente y=0 (axe des abscisses).
Si $f'(a)=0$, la tangente en $a$ est :
- A. verticale
- B. horizontale
- C. oblique
- D. inexistante
Réponse
B. horizontale — Une pente nulle correspond à une droite horizontale.
La sécante devient la tangente quand :
- A. $h$ devient très grand
- B. $a$ devient nul
- C. $h$ se rapproche de 0
- D. $f(a)$ se rapproche de 0
Réponse
C. $h$ se rapproche de 0 — En faisant tendre h vers 0, le point B rejoint A et la sécante devient la tangente.
Niveau moyen — 12 questions
Pour $f(x)=x^2$, $f'(5)$ vaut :
- A. $5$
- B. $10$
- C. $25$
- D. $2$
Réponse
B. $10$ — f'(a)=2a donc f'(5)=10.
La tangente à $f(x)=x^3$ en $a=2$ a pour équation :
- A. $y=6x-4$
- B. $y=12x-16$
- C. $y=3x-8$
- D. $y=12x+16$
Réponse
B. $y=12x-16$ — f'(2)=12 et f(2)=8 : y=12(x-2)+8=12x-16.
Pour $f(x)=x^2$, en quel point la tangente est-elle parallèle à $y=4x-1$ ?
- A. $a=1$
- B. $a=2$
- C. $a=4$
- D. $a=0$
Réponse
B. $a=2$ — f'(a)=2a=4 (pente de la droite) ⟺ a=2.
Si la tangente à $f$ en $a$ est horizontale, alors :
- A. $f(a)=0$
- B. $f'(a)=0$
- C. $a=0$
- D. $f'(a)=1$
Réponse
B. $f'(a)=0$ — Tangente horizontale ⟺ pente nulle ⟺ f'(a)=0.
La tangente à $f(x)=x^2$ en $a=-1$ a pour équation :
- A. $y=-2x-1$
- B. $y=2x+1$
- C. $y=-2x+1$
- D. $y=2x-1$
Réponse
A. $y=-2x-1$ — f'(-1)=-2 et f(-1)=1 : y=-2(x+1)+1=-2x-1.
Pour $f(x)=mx+p$ (affine), $f'(a)$ vaut :
- A. $p$
- B. $mx$
- C. $m$
- D. $a$
Réponse
C. $m$ — Le nombre dérivé d'une fonction affine est sa pente m.
Si $f'(a)\gt 0$, la courbe de $f$ est localement :
- A. décroissante
- B. constante
- C. croissante
- D. horizontale
Réponse
C. croissante — f'(a)>0 : la tangente monte, donc la courbe est croissante autour de a.
Pour $f(x)=x^3$, $f'(-2)$ vaut :
- A. $-12$
- B. $12$
- C. $-6$
- D. $6$
Réponse
B. $12$ — f'(a)=3a²=3×4=12 (toujours positif).
La tangente à $f(x)=x^2$ en $a=3$ a pour équation :
- A. $y=6x-9$
- B. $y=6x+9$
- C. $y=3x-9$
- D. $y=9x-6$
Réponse
A. $y=6x-9$ — f'(3)=6 et f(3)=9 : y=6(x-3)+9=6x-9.
Pour $f(x)=x^2$, le sommet de la parabole correspond à :
- A. $f'(a)=1$
- B. $f'(a)=0$ en $a=0$
- C. $f(a)=0$
- D. la pente maximale
Réponse
B. $f'(a)=0$ en $a=0$ — Au sommet la tangente est horizontale : f'(0)=0 en a=0.
Si $f'(a)\lt 0$, alors autour de $a$ la courbe :
- A. monte
- B. descend
- C. est plate
- D. est verticale
Réponse
B. descend — Pente négative : la tangente descend, la courbe est décroissante.
La pente de la tangente à $f(x)=x^3$ en $a=1$ vaut :
- A. $1$
- B. $2$
- C. $3$
- D. $6$
Réponse
C. $3$ — f'(1)=3×1²=3.
Niveau difficile — 12 questions
Pour $f(x)=x^2$, la tangente en $a=2$ coupe l'axe des abscisses en :
- A. $x=0$
- B. $x=1$
- C. $x=2$
- D. $x=4$
Réponse
B. $x=1$ — Tangente y=4x-4 ; y=0 ⟺ 4x-4=0 ⟺ x=1.
Laquelle de ces affirmations est VRAIE ?
- A. Si $f'(a)=0$ alors $f$ est constante
- B. Si $f'(a)=0$ la tangente est horizontale
- C. Si $f'(a)=0$ alors $a=0$
- D. Si $f'(a)=0$ la courbe est une droite
Réponse
B. Si $f'(a)=0$ la tangente est horizontale — f'(a)=0 signifie seulement que la tangente en a est horizontale.
Pour $f(x)=x^3$, la tangente en $a=1$ a pour équation :
- A. $y=3x-2$
- B. $y=3x+1$
- C. $y=x-1$
- D. $y=3x$
Réponse
A. $y=3x-2$ — f'(1)=3 et f(1)=1 : y=3(x-1)+1=3x-2.
La tangente à $f(x)=x^3$ en $a=1$ coupe l'axe des abscisses en :
- A. $x=0$
- B. $x=\dfrac{2}{3}$
- C. $x=1$
- D. $x=2$
Réponse
B. $x=\dfrac{2}{3}$ — y=3x-2 ; y=0 ⟺ x=2/3.
Vrai ou faux : « $f'(a)=0$ implique un extremum en $a$ ». Cette affirmation est :
- A. toujours vraie
- B. fausse en général
- C. vraie seulement pour x²
- D. vraie pour x³
Réponse
B. fausse en général — Faux en général : f(x)=x³ a f'(0)=0 mais aucun extremum en 0.
Le taux de variation de $f(x)=x^3$ entre $0$ et $h$ vaut :
- A. $h$
- B. $h^2$
- C. $3h$
- D. $h^3$
Réponse
B. $h^2$ — (h³-0)/h=h².
Si la tangente à $f$ en $a$ est la droite $y=3x-5$, alors :
- A. $f'(a)=-5$
- B. $f'(a)=3$
- C. $f(a)=3$
- D. $f'(a)=3a-5$
Réponse
B. $f'(a)=3$ — La pente de la tangente est f'(a), ici 3.
Pour $f(x)=x^2$, en quel point la tangente a-t-elle une pente de $-8$ ?
- A. $a=4$
- B. $a=-4$
- C. $a=8$
- D. $a=-8$
Réponse
B. $a=-4$ — f'(a)=2a=-8 ⟺ a=-4.
Une fonction affine $f(x)=2x+1$ : sa tangente en $a=3$ est :
- A. $y=2x+1$
- B. $y=6x+1$
- C. $y=2x-3$
- D. $y=3x+1$
Réponse
A. $y=2x+1$ — La courbe est une droite, sa tangente est la droite elle-même : y=2x+1.
Pour $f(x)=x^2$, comparer $f'(1)$ et $f'(3)$ :
- A. $f'(1)\gt f'(3)$
- B. $f'(1)=f'(3)$
- C. $f'(1)\lt f'(3)$
- D. on ne peut pas comparer
Réponse
C. $f'(1)\lt f'(3)$ — f'(1)=2 et f'(3)=6, donc f'(1)
La tangente à $f(x)=x^2$ passe par l'origine $(0\,;\,0)$ uniquement en :
- A. $a=1$
- B. $a=0$
- C. $a=2$
- D. tous les points
Réponse
B. $a=0$ — Tangente en a : y=2ax-a². Elle passe par (0;0) ⟺ -a²=0 ⟺ a=0.
Le nombre dérivé $f'(a)$ s'interprète comme :
- A. l'aire sous la courbe
- B. la pente de la tangente en a
- C. la distance de A à l'origine
- D. la valeur moyenne de f
Réponse
B. la pente de la tangente en a — f'(a) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente au point d'abscisse a.
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