Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Dérivation : nombre dérivé et tangente
Taux de variation, nombre dérivé et tangente (sans spé maths)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Taux de variation et nombre dérivé
/ 5 pts- Soit $f(x) = x^2 + 1$.
- a) Calcule le taux de variation de $f$ entre $a=2$ et $2+h$, puis simplifie.
- b) En faisant tendre $h$ vers $0$, donne $f'(2)$.
- c) Que vaut $f'(0)$ ? Que peut-on dire de la tangente en $a=0$ ?
Exercice 2 — Équation de tangente
/ 5 pts- Soit $f(x) = x^3$.
- a) Calcule $f(2)$ et $f'(2)$ (on rappelle $f'(a)=3a^2$).
- b) Écris l'équation de la tangente à la courbe en $a=2$ sous la forme $y=ax+b$.
- c) Cette tangente passe-t-elle par le point $(0\,;\,-16)$ ? Justifie.
Exercice 3 — Lecture graphique et signe de f'
/ 4 pts- Soit $f(x) = x^2 - 4x$. On admet que $f'(x) = 2x - 4$.
- a) En quel point la tangente est-elle horizontale ?
- b) La courbe est-elle croissante ou décroissante en $a=1$ ? Justifie par le signe de $f'(1)$.
- c) Même question en $a=5$.
Exercice 4 — Tangente parallèle à une droite
/ 4 pts- Soit $f(x) = x^2$ et la droite $d : y = 6x + 1$.
- a) Quel est le coefficient directeur de $d$ ?
- b) En quel point $a$ la tangente à la courbe de $f$ est-elle parallèle à $d$ ?
- c) Donne l'équation de cette tangente.
Exercice 5 — Problème concret
/ 2 pts- Un ballon est lancé : sa hauteur (en mètres) est $h(t) = 20t - 5t^2$ (t en secondes). On admet que $h'(t) = 20 - 10t$.
- a) Calcule la vitesse (en m/s) à l'instant $t=1$.
- b) À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ? Que se passe-t-il alors pour le ballon ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Taux de variation et nombre dérivé
Corrigé :
a) $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2+1-(4+1)}{h} = \dfrac{4+4h+h^2+1-5}{h} = \dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h$.
b) Quand $h$ se rapproche de $0$, $4+h \to 4$, donc $f'(2)=4$.
c) Pour $f(x)=x^2+1$, $f'(a)=2a$ donc $f'(0)=0$ : la tangente en $a=0$ est horizontale (c'est le minimum de la courbe).
Exercice 2 — Équation de tangente
Corrigé :
a) $f(2)=8$ et $f'(2)=3\times 4 = 12$.
b) $y = 12(x-2)+8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16$.
c) Pour $x=0$ : $y = 12\times 0 - 16 = -16$. La tangente passe bien par $(0\,;\,-16)$.
Exercice 3 — Lecture graphique et signe de f'
Corrigé :
a) Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(a)=0 \Leftrightarrow 2a-4=0 \Leftrightarrow a=2$.
b) $f'(1)=2\times 1 - 4 = -2 \lt 0$ : la courbe est décroissante en $a=1$.
c) $f'(5)=2\times 5 - 4 = 6 \gt 0$ : la courbe est croissante en $a=5$.
Exercice 4 — Tangente parallèle à une droite
Corrigé :
a) Le coefficient directeur de $d$ est $6$.
b) Tangentes et droite parallèles $\Leftrightarrow$ même pente : $f'(a)=2a=6 \Leftrightarrow a=3$.
c) $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ : la tangente a pour équation $y = 6(x-3)+9 = 6x - 9$.
Exercice 5 — Problème concret
Corrigé :
a) $h'(1) = 20 - 10\times 1 = 10$ m/s.
b) $h'(t)=0 \Leftrightarrow 20-10t=0 \Leftrightarrow t=2$ s. À cet instant la vitesse est nulle : le ballon est au sommet de sa trajectoire (tangente horizontale), il atteint sa hauteur maximale avant de redescendre.
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivation : nombre dérivé et tangente » : 5 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Taux de variation et nombre dérivé/ 5 pts
- Exercice 2 — Équation de tangente/ 5 pts
- Exercice 3 — Lecture graphique et signe de f'/ 4 pts
- Exercice 4 — Tangente parallèle à une droite/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème concret/ 2 pts
Notions évaluées
Taux de variation d'une fonction, Du taux de variation au nombre dérivé, Lecture graphique : la tangente, Équation de la tangente, Quelques nombres dérivés à connaître, Signe du nombre dérivé et sens de variation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivation : nombre dérivé et tangente » ?
- 55 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivation : nombre dérivé et tangente » du programme officiel de mathématiques en première, soit Taux de variation d'une fonction, Du taux de variation au nombre dérivé, Lecture graphique : la tangente, Équation de la tangente.
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