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Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Dérivation : nombre dérivé et tangente

Taux de variation, nombre dérivé et tangente (sans spé maths)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Dérivation : nombre dérivé et tangente » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Taux de variation d'une fonction, Du taux de variation au nombre dérivé, Lecture graphique : la tangente, Équation de la tangente. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Taux de variation et nombre dérivé

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = x^2 + 1$.
  2. a) Calcule le taux de variation de $f$ entre $a=2$ et $2+h$, puis simplifie.
  3. b) En faisant tendre $h$ vers $0$, donne $f'(2)$.
  4. c) Que vaut $f'(0)$ ? Que peut-on dire de la tangente en $a=0$ ?

Exercice 2 — Équation de tangente

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = x^3$.
  2. a) Calcule $f(2)$ et $f'(2)$ (on rappelle $f'(a)=3a^2$).
  3. b) Écris l'équation de la tangente à la courbe en $a=2$ sous la forme $y=ax+b$.
  4. c) Cette tangente passe-t-elle par le point $(0\,;\,-16)$ ? Justifie.

Exercice 3 — Lecture graphique et signe de f'

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = x^2 - 4x$. On admet que $f'(x) = 2x - 4$.
  2. a) En quel point la tangente est-elle horizontale ?
  3. b) La courbe est-elle croissante ou décroissante en $a=1$ ? Justifie par le signe de $f'(1)$.
  4. c) Même question en $a=5$.

Exercice 4 — Tangente parallèle à une droite

/ 4 pts
  1. Soit $f(x) = x^2$ et la droite $d : y = 6x + 1$.
  2. a) Quel est le coefficient directeur de $d$ ?
  3. b) En quel point $a$ la tangente à la courbe de $f$ est-elle parallèle à $d$ ?
  4. c) Donne l'équation de cette tangente.

Exercice 5 — Problème concret

/ 2 pts
  1. Un ballon est lancé : sa hauteur (en mètres) est $h(t) = 20t - 5t^2$ (t en secondes). On admet que $h'(t) = 20 - 10t$.
  2. a) Calcule la vitesse (en m/s) à l'instant $t=1$.
  3. b) À quel instant la vitesse s'annule-t-elle ? Que se passe-t-il alors pour le ballon ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Taux de variation et nombre dérivé
Corrigé :
a) $\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{(2+h)^2+1-(4+1)}{h} = \dfrac{4+4h+h^2+1-5}{h} = \dfrac{4h+h^2}{h} = 4+h$.
b) Quand $h$ se rapproche de $0$, $4+h \to 4$, donc $f'(2)=4$.
c) Pour $f(x)=x^2+1$, $f'(a)=2a$ donc $f'(0)=0$ : la tangente en $a=0$ est horizontale (c'est le minimum de la courbe).

Exercice 2 — Équation de tangente
Corrigé :
a) $f(2)=8$ et $f'(2)=3\times 4 = 12$.
b) $y = 12(x-2)+8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16$.
c) Pour $x=0$ : $y = 12\times 0 - 16 = -16$. La tangente passe bien par $(0\,;\,-16)$.

Exercice 3 — Lecture graphique et signe de f'
Corrigé :
a) Tangente horizontale $\Leftrightarrow f'(a)=0 \Leftrightarrow 2a-4=0 \Leftrightarrow a=2$.
b) $f'(1)=2\times 1 - 4 = -2 < 0$ : la courbe est décroissante en $a=1$.
c) $f'(5)=2\times 5 - 4 = 6 > 0$ : la courbe est croissante en $a=5$.

Exercice 4 — Tangente parallèle à une droite
Corrigé :
a) Le coefficient directeur de $d$ est $6$.
b) Tangentes et droite parallèles $\Leftrightarrow$ même pente : $f'(a)=2a=6 \Leftrightarrow a=3$.
c) $f(3)=9$ et $f'(3)=6$ : la tangente a pour équation $y = 6(x-3)+9 = 6x - 9$.

Exercice 5 — Problème concret
Corrigé :
a) $h'(1) = 20 - 10\times 1 = 10$ m/s.
b) $h'(t)=0 \Leftrightarrow 20-10t=0 \Leftrightarrow t=2$ s. À cet instant la vitesse est nulle : le ballon est au sommet de sa trajectoire (tangente horizontale), il atteint sa hauteur maximale avant de redescendre.

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