Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Dérivée et applications
Dérivées usuelles, variations, extremums et optimisation — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2$ ?
- A. $2x$
- B. $x$
- C. $2$
- D. $x^2$
Réponse
A. $2x$ — (x²)' = 2x : on fait descendre l'exposant 2 et on enlève 1.
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^5$ ?
- A. $5x^4$
- B. $5x^6$
- C. $x^4$
- D. $4x^5$
Réponse
A. $5x^4$ — (x^n)' = n·x^(n-1), donc (x⁵)' = 5x⁴.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 6$ (constante) ?
- A. $0$
- B. $6$
- C. $6x$
- D. $1$
Réponse
A. $0$ — La dérivée de toute constante est 0.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 3x$ ?
- A. $3$
- B. $3x$
- C. $x$
- D. $0$
Réponse
A. $3$ — (3x)' = 3 : le coefficient reste, (x)' = 1.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 2x^3$ ?
- A. $6x^2$
- B. $2x^2$
- C. $3x^2$
- D. $6x^3$
Réponse
A. $6x^2$ — Le 2 reste, (x³)' = 3x², donc 2×3x² = 6x².
Quelle est la dérivée de $f(x) = x^2 + 3x$ ?
- A. $2x + 3$
- B. $2x$
- C. $x + 3$
- D. $2x + 3x$
Réponse
A. $2x + 3$ — On dérive chaque terme : (x²)' = 2x et (3x)' = 3.
Si $f'(x) \gt 0$ sur un intervalle, alors $f$ est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. nulle
Réponse
A. croissante — Une dérivée positive signifie que la fonction monte : elle est croissante.
Si $f'(x) \lt 0$ sur un intervalle, alors $f$ est :
- A. décroissante
- B. croissante
- C. constante
- D. maximale
Réponse
A. décroissante — Une dérivée négative signifie que la fonction descend : elle est décroissante.
La dérivée de $f(x) = \sqrt{x}$ est :
- A. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
- B. $2\sqrt{x}$
- C. $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$
- D. $\dfrac{\sqrt{x}}{2}$
Réponse
A. $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ — (√x)' = 1/(2√x) pour x > 0.
La dérivée de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est :
- A. $-\dfrac{1}{x^2}$
- B. $\dfrac{1}{x^2}$
- C. $\dfrac{-1}{x}$
- D. $x$
Réponse
A. $-\dfrac{1}{x^2}$ — (1/x)' = -1/x².
Au sommet d'une parabole, la tangente est :
- A. horizontale
- B. verticale
- C. oblique
- D. inexistante
Réponse
A. horizontale — Au sommet, f'(x) = 0 : la pente est nulle, la tangente est horizontale.
Quelle est la dérivée de $f(x) = 4x^2 - 5$ ?
- A. $8x$
- B. $8x - 5$
- C. $4x$
- D. $8x^2$
Réponse
A. $8x$ — (4x²)' = 8x et la constante -5 donne 0.
Niveau moyen — 12 questions
Quelle est la dérivée de $f(x) = (x+1)(x-3)$ ?
- A. $2x - 2$
- B. $x - 3$
- C. $2x - 3$
- D. $x^2 - 2x$
Réponse
A. $2x - 2$ — f(x) = x² - 2x - 3, donc f'(x) = 2x - 2.
Soit $f(x) = x^2 - 6x + 2$. Pour quelle valeur de $x$ a-t-on $f'(x) = 0$ ?
- A. $x = 3$
- B. $x = 6$
- C. $x = 0$
- D. $x = -3$
Réponse
A. $x = 3$ — f'(x) = 2x - 6 = 0 donne x = 3.
Soit $f(x) = x^3 - 3x^2$. La valeur de $f'(1)$ est :
- A. $-3$
- B. $0$
- C. $3$
- D. $6$
Réponse
A. $-3$ — f'(x) = 3x² - 6x, donc f'(1) = 3 - 6 = -3.
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 1$. Sur quel intervalle $f$ est-elle décroissante ?
- A. $]-\infty ; 2[$
- B. $]2 ; +\infty[$
- C. $]-\infty ; 0[$
- D. $]1 ; 3[$
Réponse
A. $]-\infty ; 2[$ — f'(x) = 2x - 4 < 0 quand x < 2 : f décroît sur ]-∞;2[.
Soit $f(x) = -x^2 + 8x$. La valeur de $x$ où $f$ atteint son maximum est :
- A. $x = 4$
- B. $x = 8$
- C. $x = 0$
- D. $x = -4$
Réponse
A. $x = 4$ — f'(x) = -2x + 8 = 0 donne x = 4 (et f' passe de + à -).
Si $f'$ passe du signe $-$ au signe $+$ en $x = a$, alors $f$ a en $a$ :
- A. un minimum local
- B. un maximum local
- C. un point sans extremum
- D. une asymptote
Réponse
A. un minimum local — f passe de décroissante à croissante : c'est un minimum local.
Soit $f(x) = x^2$. La pente de la tangente en $x = 3$ vaut :
- A. $6$
- B. $9$
- C. $3$
- D. $2$
Réponse
A. $6$ — f'(x) = 2x, donc f'(3) = 6.
Soit $g(x) = x^3 - 12x$. Les valeurs où $g'(x) = 0$ sont :
- A. $x = -2$ et $x = 2$
- B. $x = 0$ et $x = 12$
- C. $x = -4$ et $x = 4$
- D. $x = 3$ et $x = -3$
Réponse
A. $x = -2$ et $x = 2$ — g'(x) = 3x² - 12 = 0 donne x² = 4, soit x = ±2.
La dérivée de $f(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7$ est :
- A. $20x^3 - 4x$
- B. $20x^3 - 4x + 7$
- C. $5x^3 - 2x$
- D. $20x^4 - 4x^2$
Réponse
A. $20x^3 - 4x$ — (5x⁴)' = 20x³, (2x²)' = 4x, (7)' = 0.
Si $f$ a un maximum local en $x = a$ (et est dérivable), alors nécessairement :
- A. $f'(a) = 0$
- B. $f'(a) \gt 0$
- C. $f'(a) \lt 0$
- D. $f(a) = 0$
Réponse
A. $f'(a) = 0$ — Au sommet, la tangente est horizontale : f'(a) = 0.
Soit $f(x) = x^2 - 2x + 5$. La valeur minimale de $f$ est :
- A. $4$
- B. $5$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
A. $4$ — f'(x) = 2x - 2 = 0 en x = 1, et f(1) = 1 - 2 + 5 = 4.
Soit $f(x) = (2x - 1)(x + 2)$. Alors $f'(x)$ vaut :
- A. $4x + 3$
- B. $2x + 2$
- C. $4x - 1$
- D. $2x - 1$
Réponse
A. $4x + 3$ — f(x) = 2x² + 3x - 2, donc f'(x) = 4x + 3.
Niveau difficile — 12 questions
Soit $f(x) = x^3 - 3x$. Combien $f$ admet-elle d'extremums locaux ?
- A. 2
- B. 1
- C. 0
- D. 3
Réponse
A. 2 — f'(x) = 3x² - 3 s'annule en x = -1 et x = 1 avec changement de signe : 2 extremums.
Soit $f(x) = x^3$. Que peut-on dire en $x = 0$ ?
- A. pas d'extremum (f' ne change pas de signe)
- B. un maximum
- C. un minimum
- D. f n'est pas dérivable
Réponse
A. pas d'extremum (f' ne change pas de signe) — f'(x) = 3x² ≥ 0 : f'(0) = 0 mais sans changement de signe, donc pas d'extremum.
Pour maximiser une aire $A(x) = x(20 - x)$, la valeur optimale de $x$ est :
- A. $x = 10$
- B. $x = 20$
- C. $x = 5$
- D. $x = 0$
Réponse
A. $x = 10$ — A(x) = 20x - x², A'(x) = 20 - 2x = 0 donne x = 10.
Soit $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$. Les extremums ont lieu pour :
- A. $x = 1$ et $x = 3$
- B. $x = 0$ et $x = 3$
- C. $x = -1$ et $x = 3$
- D. $x = 2$ et $x = 4$
Réponse
A. $x = 1$ et $x = 3$ — f'(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3) = 0 donne x = 1 et x = 3.
Soit $f(x) = -2x^2 + 8x - 1$. La valeur maximale de $f$ est :
- A. $7$
- B. $8$
- C. $4$
- D. $2$
Réponse
A. $7$ — f'(x) = -4x + 8 = 0 en x = 2 ; f(2) = -8 + 16 - 1 = 7.
Soit $g(x) = x^4 - 2x^2$. La valeur de $x$ donnant le minimum global ($x \gt 0$) est :
- A. $x = 1$
- B. $x = 0$
- C. $x = 2$
- D. $x = 4$
Réponse
A. $x = 1$ — g'(x) = 4x³ - 4x = 4x(x-1)(x+1). En x = 1, g(1) = -1 : minimum.
Une boîte a un volume $V(x) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$ sur $]0;6[$. Le volume est maximal en :
- A. $x = 2$
- B. $x = 6$
- C. $x = 4$
- D. $x = 0$
Réponse
A. $x = 2$ — V'(x) = 12(x-2)(x-6) = 0. Seul x = 2 est dans ]0;6[ et V' y passe de + à -.
Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Sur quel intervalle $f$ est-elle croissante ?
- A. $[2 ; +\infty[$
- B. $]-\infty ; 2]$
- C. $[1 ; 3]$
- D. $]-\infty ; 0[$
Réponse
A. $[2 ; +\infty[$ — f'(x) = 2x - 4 ≥ 0 quand x ≥ 2.
Pour minimiser $C(x) = x^2 - 6x + 11$, la valeur minimale est :
- A. $2$
- B. $3$
- C. $11$
- D. $6$
Réponse
A. $2$ — C'(x) = 2x - 6 = 0 en x = 3 ; C(3) = 9 - 18 + 11 = 2.
La tangente à $f(x) = x^2 - 4x$ est horizontale en :
- A. $x = 2$
- B. $x = 0$
- C. $x = 4$
- D. $x = -2$
Réponse
A. $x = 2$ — f'(x) = 2x - 4 = 0 donne x = 2 : pente nulle, tangente horizontale.
Soit $f(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - x$. Les extremums ont lieu en :
- A. $x = -1$ et $x = 1$
- B. $x = 0$ et $x = 1$
- C. $x = -3$ et $x = 3$
- D. $x = 0$ uniquement
Réponse
A. $x = -1$ et $x = 1$ — f'(x) = x² - 1 = 0 donne x = -1 et x = 1, avec changement de signe.
Avec 100 m de clôture, l'enclos rectangulaire d'aire maximale est :
- A. un carré de 25 m de côté
- B. un rectangle 10×40
- C. un carré de 50 m de côté
- D. un rectangle 5×45
Réponse
A. un carré de 25 m de côté — A(x) = x(50 - x), A'(x) = 50 - 2x = 0 en x = 25 : carré de 25 m, aire 625 m².
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