Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Dérivée et applications
Dérivées usuelles, variations, extremums et optimisation — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calcul de dérivées
/ 5 pts- Calculer la dérivée de $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 2x - 9$.
- Calculer $f'(2)$ pour la fonction précédente.
- Calculer la dérivée de $g(x) = (x + 3)(2x - 1)$ (on pourra développer d'abord).
- Calculer la dérivée de $h(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$ (pour $x \neq 0$).
Exercice 2 — Variations d'une fonction
/ 5 pts- Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ sur $\mathbb{R}$.
- 1. Calculer $f'(x)$ et factoriser (on pourra factoriser par 3).
- 2. Résoudre $f'(x) = 0$.
- 3. Indiquer les intervalles où $f$ est croissante et où elle est décroissante.
Exercice 3 — Extremums
/ 4 pts- On reprend $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$.
- 1. Donner la nature (maximum ou minimum) des extremums en $x = -1$ et $x = 3$.
- 2. Calculer les valeurs $f(-1)$ et $f(3)$.
Exercice 4 — Problème d'optimisation
/ 6 pts- Un commerçant vend $x$ articles par jour, avec $x \in [0;40]$. Son bénéfice quotidien (en euros) est $B(x) = -x^2 + 36x - 80$.
- 1. Calculer $B'(x)$.
- 2. Résoudre $B'(x) = 0$.
- 3. Vérifier qu'il s'agit d'un maximum et calculer le bénéfice maximal.
- 4. Combien d'articles le commerçant doit-il vendre par jour pour maximiser son bénéfice ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Calcul de dérivées
Corrigé :
1. $f'(x) = 15x^2 - 8x + 2$.
2. $f'(2) = 60 - 16 + 2 = 46$.
3. $g(x) = 2x^2 + 5x - 3$, donc $g'(x) = 4x + 5$.
4. $h(x) = x^2 - x^{-1}$, donc $h'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$.
Exercice 2 — Variations d'une fonction
Corrigé :
1. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$.
2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ ou $x = -1$.
3. $f'(x) \gt 0$ sur $]-\infty;-1[$ et $]3;+\infty[$ (croissante) ; $f'(x) \lt 0$ sur $]-1;3[$ (décroissante).
Exercice 3 — Extremums
Corrigé :
1. En $x = -1$, $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. En $x = 3$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local.
2. $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 4 = 9$ (maximum local) ; $f(3) = 27 - 27 - 27 + 4 = -23$ (minimum local).
Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1. $B'(x) = -2x + 36$.
2. $B'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 18$.
3. $B'$ est positif avant $18$ et négatif après : $B'$ passe de $+$ à $-$, c'est bien un maximum. $B(18) = -324 + 648 - 80 = 244$ €.
4. Le commerçant doit vendre 18 articles par jour pour un bénéfice maximal de 244 €.
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Dérivée et applications » : 4 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Calcul de dérivées/ 5 pts
- Exercice 2 — Variations d'une fonction/ 5 pts
- Exercice 3 — Extremums/ 4 pts
- Exercice 4 — Problème d'optimisation/ 6 pts
Notions évaluées
Dérivées des fonctions usuelles, Dériver une somme et un produit par un nombre, Dérivée d'un produit (cas simple), Signe de la dérivée et sens de variation, Extremums (maximum et minimum), Résoudre un problème d'optimisation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Dérivée et applications » ?
- 55 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Dérivée et applications » du programme officiel de mathématiques en première, soit Dérivées des fonctions usuelles, Dériver une somme et un produit par un nombre, Dérivée d'un produit (cas simple), Signe de la dérivée et sens de variation.
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