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Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Dérivée et applications

Dérivées usuelles, variations, extremums et optimisation — programme de Mathématiques de 1re (sans spé)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Dérivée et applications » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Dérivées des fonctions usuelles, Dériver une somme et un produit par un nombre, Dérivée d'un produit (cas simple), Signe de la dérivée et sens de variation. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Calcul de dérivées

/ 5 pts
  1. Calculer la dérivée de $f(x) = 5x^3 - 4x^2 + 2x - 9$.
  2. Calculer $f'(2)$ pour la fonction précédente.
  3. Calculer la dérivée de $g(x) = (x + 3)(2x - 1)$ (on pourra développer d'abord).
  4. Calculer la dérivée de $h(x) = x^2 - \dfrac{1}{x}$ (pour $x \neq 0$).

Exercice 2 — Variations d'une fonction

/ 5 pts
  1. Soit $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ sur $\mathbb{R}$.
  2. 1. Calculer $f'(x)$ et factoriser (on pourra factoriser par 3).
  3. 2. Résoudre $f'(x) = 0$.
  4. 3. Indiquer les intervalles où $f$ est croissante et où elle est décroissante.

Exercice 3 — Extremums

/ 4 pts
  1. On reprend $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$.
  2. 1. Donner la nature (maximum ou minimum) des extremums en $x = -1$ et $x = 3$.
  3. 2. Calculer les valeurs $f(-1)$ et $f(3)$.

Exercice 4 — Problème d'optimisation

/ 6 pts
  1. Un commerçant vend $x$ articles par jour, avec $x \in [0;40]$. Son bénéfice quotidien (en euros) est $B(x) = -x^2 + 36x - 80$.
  2. 1. Calculer $B'(x)$.
  3. 2. Résoudre $B'(x) = 0$.
  4. 3. Vérifier qu'il s'agit d'un maximum et calculer le bénéfice maximal.
  5. 4. Combien d'articles le commerçant doit-il vendre par jour pour maximiser son bénéfice ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Calcul de dérivées
Corrigé :
1. $f'(x) = 15x^2 - 8x + 2$.
2. $f'(2) = 60 - 16 + 2 = 46$.
3. $g(x) = 2x^2 + 5x - 3$, donc $g'(x) = 4x + 5$.
4. $h(x) = x^2 - x^{-1}$, donc $h'(x) = 2x + \dfrac{1}{x^2}$.

Exercice 2 — Variations d'une fonction
Corrigé :
1. $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)$.
2. $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 3$ ou $x = -1$.
3. $f'(x) > 0$ sur $]-\infty;-1[$ et $]3;+\infty[$ (croissante) ; $f'(x) < 0$ sur $]-1;3[$ (décroissante).

Exercice 3 — Extremums
Corrigé :
1. En $x = -1$, $f'$ passe de $+$ à $-$ : maximum local. En $x = 3$, $f'$ passe de $-$ à $+$ : minimum local.
2. $f(-1) = -1 - 3 + 9 + 4 = 9$ (maximum local) ; $f(3) = 27 - 27 - 27 + 4 = -23$ (minimum local).

Exercice 4 — Problème d'optimisation
Corrigé :
1. $B'(x) = -2x + 36$.
2. $B'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 18$.
3. $B'$ est positif avant $18$ et négatif après : $B'$ passe de $+$ à $-$, c'est bien un maximum. $B(18) = -324 + 648 - 80 = 244$ €.
4. Le commerçant doit vendre 18 articles par jour pour un bénéfice maximal de 244 €.

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