La Terre dans l'Univers

a) Ptolémée expose son système au IIe siècle (Almageste) ; Copernic publie De revolutionibus en 1543 ; Kepler énonce ses deux premières lois en 1609 ; Galilée publie ses observations à la lunette en 1610. Kepler et Galilée sont contemporains, mais dans l'ordre de ces travaux : Ptolémée → Copernic → Kepler → Galilée.

b) Ptolémée défend un modèle géocentrique (Terre immobile au centre du monde). Copernic, Kepler et Galilée défendent un modèle héliocentrique (Soleil au centre, Terre en mouvement).

c) C'est Kepler. Il s'appuie sur les positions de Mars mesurées à l'œil nu par Tycho Brahe, précises à environ une minute d'arc. Aucune combinaison de cercles ne les reproduisait (Kepler trouvait un écart de 8 minutes d'arc, bien supérieur à l'incertitude des mesures), alors qu'une ellipse ayant le Soleil pour foyer les reproduit.

d) Plusieurs raisons se cumulent. Le modèle de Copernic garde des cercles et des épicycles : il n'est pas plus précis que celui de Ptolémée. Il ne s'appuie sur aucune observation nouvelle. Il heurte le sens commun (on ne ressent aucun mouvement, un objet lâché tombe à la verticale) et la physique d'Aristote alors enseignée. Enfin, aucun déplacement annuel des étoiles n'était observé. Le modèle est plus simple et plus cohérent, mais la simplicité n'est pas une preuve : le débat ne pouvait pas être tranché en 1543.

a) Vrai. Dans ce référentiel (origine au centre de la Terre, axes dirigés vers les étoiles), le Soleil décrit en un an une trajectoire quasi circulaire autour de la Terre. Ce n'est pas le géocentrisme de Ptolémée : c'est une description correcte, relative au référentiel choisi. En revanche, le mouvement des planètes y est compliqué (boucles), d'où le choix du référentiel héliocentrique pour les étudier.

b) Faux. D'après la première loi de Kepler, les orbites sont des ellipses et le Soleil occupe un foyer, pas le centre. Pour la plupart des planètes, l'ellipse est très proche d'un cercle, ce qui justifie l'approximation « quasi circulaire ».

c) Faux. D'après la loi des aires, le segment Soleil–planète balaie des aires égales pendant des durées égales. Près du Soleil, ce segment est court : pour balayer la même aire, la planète doit parcourir un arc plus long, donc aller plus vite. La vitesse est maximale au périhélie et minimale à l'aphélie.

d) Faux. À la nouvelle lune, la Lune est entre la Terre et le Soleil, du même côté que lui : elle nous présente sa face non éclairée et reste invisible. C'est à la pleine lune qu'elle est à l'opposé du Soleil.

a) Le Soleil se lève à l'est. Un observateur tourné vers le sud a l'est à sa gauche : le côté éclairé de la Lune (à gauche) est donc bien tourné vers le Soleil, encore sous l'horizon est. C'est la règle générale : le côté éclairé regarde toujours le Soleil.

b) La moitié du disque est éclairée : c'est un quartier. La Lune est déjà haute alors que le Soleil n'est pas levé : elle est à l'ouest du Soleil, la phase est décroissante. C'est le dernier quartier ; l'angle entre les directions Terre–Soleil et Terre–Lune vaut environ 90°.

c) Le ciel semble tourner d'un tour en 24 h, soit 90° en 6 h. La Lune étant à 90° à l'ouest du Soleil, elle le précède d'environ 6 h : elle passe au sud vers 6 h (le Soleil y passe vers midi) et elle s'est levée environ 6 h plus tôt, soit vers minuit.

d) Une semaine représente environ un quart de lunaison ($29,5÷4\approx 7,4$ jours) : la Lune aura avancé d'environ 90° de plus sur son orbite et se trouvera du côté du Soleil. Ce sera la nouvelle lune : la Lune sera invisible. Juste avant, on aura pu voir un fin croissant avant l'aube.

a) Troisième loi de Kepler : pour tous les corps en orbite autour du Soleil, le rapport $\frac{T^2}{a^3}$ (période au carré sur demi-grand axe au cube) a la même valeur. La Terre en fait partie : $T=1$ an et $a=1$ UA, donc $\frac{T^2}{a^3}=\frac{1^2}{1^3}=1$. Dans ces unités, $T^2=a^3$ pour tout corps tournant autour du Soleil.

b) $T^2=2,{77}^3\approx 21,25$, donc $T=\sqrt{21,25}\approx$ 4,61 ans. En jours : $4,61\times 365,25\approx$ 1 684 jours. Cérès, plus loin que la Terre, est plus lente : cohérent.

c) $a^3=T^2=75,3^2=5670,09$, donc $a=\sqrt[3]{5670,09}\approx$ 17,8 UA (vérification : $17,8^3\approx 5640$).

d) Sur une ellipse, la distance au périhélie plus la distance à l'aphélie vaut le grand axe $2a$. Donc $d_{\text{aph}}=2a-d_{\text{pér}}=2\times 17,8-0,59\approx 35,0$ UA. La comète s'éloigne bien jusqu'à environ 35 UA, au-delà de l'orbite de Neptune : son orbite est une ellipse très allongée, loin du cercle.

e) D'après la loi des aires, le segment Soleil–comète balaie des aires égales en des durées égales. Au périhélie, ce segment est le plus court (0,59 UA) : la comète doit parcourir l'arc le plus long pour balayer une aire donnée. Elle est donc la plus rapide au périhélie, et la plus lente à l'aphélie, où elle passe la plus grande partie de sa révolution.

a) Le demi-grand axe est la moyenne des distances au périhélie et à l'aphélie : $a=\frac{147,1+152,1}{2}=$ 149,6 millions de km, c'est-à-dire 1 UA.

b) $\frac{152,1-147,1}{149,6}=\frac{5,0}{149,6}\approx 0,033$, soit 3,3 %. Sur un dessin où $a$ mesure 10 cm, la distance au Soleil varierait seulement entre 9,83 cm et 10,17 cm : à l'œil, l'orbite est indiscernable d'un cercle légèrement décentré. D'où l'expression « quasi circulaire ».

c) Longueur parcourue en un tour : $L=2\pi a=2\pi \times 149,6\times {10}^6\approx 9,400\times {10}^8$ km. Durée : $\Delta t=365,25\times 24\times 3600=31557600$ s. Vitesse moyenne : $v=\frac{L}{\Delta t}=\frac{9,400\times {10}^8}{3,156\times {10}^7}\approx 29,8$ km/s, soit environ 30 km/s (plus de 100 000 km/h).

d) D'après la loi des aires, la Terre va le plus vite au point le plus proche du Soleil, le périhélie. Elle se déplace donc le plus vite début janvier et le plus lentement début juillet.

e) C'est l'inverse : en juillet, la Terre est au plus loin du Soleil (aphélie). De plus, l'écart de distance (3 %) est trop faible pour produire des saisons marquées, et l'hémisphère Sud a son été en janvier. Les saisons s'expliquent par l'inclinaison de l'axe de rotation de la Terre : en juillet, l'hémisphère Nord reçoit les rayons du Soleil plus près de la verticale et plus longtemps chaque jour.

a) Un tour d'orbite représente 360°. ${\omega }_V=\frac{360}{224,7}\approx 1,602$ °/j et ${\omega }_T=\frac{360}{365,25}\approx 0,9856$ °/j. Vénus tourne plus vite que la Terre, ce qui est cohérent avec la troisième loi de Kepler puisqu'elle est plus proche du Soleil.

b) Chaque jour, Vénus gagne $1,602-0,9856\approx 0,6165$ ° sur la Terre. Elle revient en conjonction inférieure lorsqu'elle a pris un tour d'avance, soit 360° : $S=\frac{360}{0,6165}\approx 583,9$ j, c'est-à-dire environ 584 jours. Vérification : $\frac{1}{224,7}-\frac{1}{365,25}\approx 1,7125\times {10}^{-3}$ j$^{-1}$, dont l'inverse vaut bien 583,9 j.

c) 8 ans $=8\times 365,25=2922$ jours, et $\frac{2922}{583,9}\approx 5,00$. Il se produit 5 conjonctions inférieures en 8 ans. Le quotient étant presque entier, les configurations de Vénus se répètent presque aux mêmes dates tous les 8 ans ; en effet, 8 ans correspondent aussi à 13 révolutions de Vénus ($13\times 224,7\approx 2921$ jours).

d) Pendant que Vénus fait un tour, la Terre a elle aussi avancé dans le même sens : Vénus doit parcourir un tour plus l'angle parcouru entre-temps par la Terre pour la rattraper. En 583,9 jours, Vénus fait $\frac{583,9}{224,7}\approx 2,6$ tours pendant que la Terre en fait $\frac{583,9}{365,25}\approx 1,6$ : la différence est bien un tour.

a) La tour, l'air et l'objet partagent le mouvement de la Terre. Une fois lâché, l'objet conserve, par inertie, la vitesse horizontale qu'il avait avec la tour : il avance avec elle pendant sa chute et tombe au pied de la tour. En toute rigueur, on mesure une très légère déviation vers l'est, de l'ordre du centimètre pour une tour de 100 m, invisible sans instrument.

b) On ne ressent pas une vitesse, mais ses variations (accélérations, virages). Or la Terre se déplace à vitesse presque constante, en valeur, sur une trajectoire presque circulaire, et tourne régulièrement sur elle-même : comme dans un train roulant sans à-coups en ligne droite, rien ne trahit le mouvement.

c) Distance : $d=11,4\times 9,46\times {10}^{12}\approx 1,078\times {10}^{14}$ km. Parallaxe : $p\approx \frac{1,496\times {10}^8}{1,078\times {10}^{14}}\approx$ $1,39\times {10}^{-6}$ rad. En degrés : $1,39\times {10}^{-6}\times \frac{180}{\pi }\approx 7,95\times {10}^{-5}$ ° ; en secondes d'arc : $7,95\times {10}^{-5}\times 3600\approx$ 0,29″.

d) L'objection était logique : si la Terre bouge, la parallaxe doit exister. Mais elle est minuscule : $\frac{60}{0,29}\approx 210$ fois plus petite que la précision de Tycho Brahe, et 61 du Cygne est pourtant l'une des étoiles les plus proches. L'absence de parallaxe observée ne prouvait donc pas que la Terre est immobile, seulement que les étoiles sont très lointaines. En 1838, Bessel mesure la parallaxe de 61 du Cygne avec un instrument de précision : c'est une preuve directe du mouvement de la Terre autour du Soleil, et l'objection tombe.

1. Dans le géocentrisme, la Terre est le centre de tous les mouvements célestes. Or les quatre « petites étoiles » restent auprès de Jupiter et changent de position autour d'elle d'une nuit à l'autre : ce sont des satellites qui tournent autour de Jupiter et non autour de la Terre. Il existe donc au moins un autre centre de rotation que la Terre.

2. L'objection suppose qu'un astre en mouvement ne peut pas garder un satellite. Or Jupiter se déplace parmi les étoiles (tous les modèles de l'époque l'admettent) et entraîne pourtant ses quatre satellites avec elle. Un astre en mouvement peut donc emporter ses satellites : la Terre pourrait tourner autour du Soleil sans perdre la Lune. L'argument est affaibli, mais cela montre seulement que le mouvement de la Terre est possible, pas qu'il est réel : le modèle de Tycho Brahe, avec une Terre immobile, reste compatible avec cette observation.

3. Calculs, avec $T$ en jours et $a$ en 10⁶ km :
• Io : $\frac{1,{769}^2}{0,{4217}^3}=\frac{3,129}{0,07499}\approx 41,7$ ;
• Europe : $\frac{3,{551}^2}{0,{6711}^3}=\frac{12,61}{0,3022}\approx 41,7$ ;
• Ganymède : $\frac{7,{155}^2}{1,{0704}^3}=\frac{51,19}{1,226}\approx 41,7$ ;
• Callisto : $\frac{16,{69}^2}{1,{8827}^3}=\frac{278,6}{6,673}\approx 41,7$.
Le rapport est le même pour les quatre satellites, aux arrondis près : la troisième loi de Kepler s'applique aux satellites de Jupiter, avec une constante propre à Jupiter, environ 41,7 j²/(10⁶ km)³. Le système de Jupiter fonctionne comme un système solaire en miniature, ce qui renforce l'idée que les lois de Kepler sont générales.

4. Amalthée tourne autour du même astre central, Jupiter : on peut utiliser la même constante. $T^2$$=41,7\times a^3$$=41,7\times 0,{1814}^3$$\approx 41,7\times 0,005969$$\approx 0,2489$, donc $T=\sqrt{0,2489}\approx$ 0,499 jour, soit $0,499\times 24\approx$ 12,0 heures. Contrôle : Amalthée est plus proche de Jupiter que Io, elle est donc plus rapide ; cohérent.

5. Conversions : $T=\frac{1,769}{365,25}\approx 4,843\times {10}^{-3}$ an et $a=\frac{0,4217\times {10}^6}{1,496\times {10}^8}\approx 2,819\times {10}^{-3}$ UA. Alors $\frac{T^2}{a^3}=\frac{2,346\times {10}^{-5}}{2,240\times {10}^{-8}}\approx$ $1,05\times {10}^3$, très loin de 1. L'erreur de l'élève : la valeur 1 vaut pour les corps qui tournent autour du Soleil ; la constante de la troisième loi dépend de l'astre central. Newton montrera qu'elle est inversement proportionnelle à la masse de cet astre : le rapport obtenu indique que le Soleil est environ mille fois plus massif que Jupiter.

1. De t = −100 j à t ≈ −40 j, λ augmente de −11,5° à 7,9° : Mars se déplace vers l'est par rapport aux étoiles, c'est son mouvement direct habituel, qui ralentit (les écarts entre deux mesures passent de 9,2° à 3,3°). Vers t ≈ −40 j, Mars s'arrête (station). De t ≈ −40 j à t ≈ +40 j, λ diminue de 7,9° à −7,9° : Mars recule vers l'ouest, c'est la rétrogradation, la plus rapide à l'opposition (6,2° en 20 jours). Vers t ≈ +40 j, nouvelle station, puis λ augmente à nouveau : Mars reprend son mouvement direct. Le mouvement est symétrique par rapport à l'opposition.

2. Les stations ont lieu vers t ≈ −40 j et t ≈ +40 j (le pas de 20 jours ne permet pas mieux) : la rétrogradation dure environ 80 jours, un peu moins en réalité puisque λ n'est maximal qu'au voisinage de −40 j. Mars recule d'environ $7,9-(-7,9)\approx$ 16° sur le fond d'étoiles.

3. Mars est dans la direction opposée à celle du Soleil vu de la Terre. Quand le Soleil se couche à l'ouest, Mars se lève à l'est ; quand le Soleil est au plus bas sous l'horizon, vers minuit, Mars est au plus haut, au sud. Mars est donc visible toute la nuit, comme la pleine lune. C'est aussi le moment où elle est au plus près de la Terre, donc la plus brillante : le meilleur moment pour l'observer.

4. Vitesses angulaires autour du Soleil : ${\omega }_T=\frac{360}{365}\approx 0,986$ °/j et ${\omega }_M=\frac{360}{687}\approx 0,524$ °/j. La Terre tourne presque deux fois plus vite que Mars, et sur une orbite plus petite. Schéma : le Soleil au centre, deux cercles de rayons 1 et 1,52 ; on place la Terre et Mars à t = −40, 0 et +40 j (la Terre parcourt environ 39° pendant que Mars en parcourt 21°), puis on trace les droites Terre → Mars prolongées jusqu'au fond d'étoiles. Loin de l'opposition, c'est le mouvement propre de Mars vers l'est qui domine : mouvement direct. Autour de l'opposition, la Terre passe entre le Soleil et Mars en allant plus vite qu'elle : elle la double, et la direction Terre → Mars tourne vers l'ouest par rapport aux étoiles lointaines, comme une voiture dépassée sur l'autoroute semble reculer par rapport au paysage lointain. La boucle n'est qu'un effet de perspective : Mars n'a jamais reculé sur son orbite.

5. Chez Ptolémée, Mars parcourt un épicycle dont le centre tourne autour de la Terre sur le déférent. Quand Mars passe sur la partie de l'épicycle la plus proche de la Terre, son mouvement sur l'épicycle est de sens contraire à celui du déférent et l'emporte : Mars semble reculer, et elle paraît alors plus brillante car plus proche. Le modèle reproduit donc l'observation. Mais il doit poser, sans l'expliquer, que l'épicycle de chaque planète extérieure tourne en un an, au rythme du Soleil. Chez Copernic, cette coïncidence s'explique d'elle-même : c'est le mouvement annuel de la Terre qui produit toutes les boucles, et elles se produisent forcément à l'opposition. Le modèle est plus simple et plus cohérent ; pourtant, les deux modèles prédisent les mêmes boucles avec une précision comparable : la rétrogradation ne permet pas de les départager, ce n'est pas une preuve du mouvement de la Terre.

1. La Lune tourne sur elle-même avec la même période que sa révolution autour de la Terre (rotation synchrone) : la face visible reste tournée vers la Terre. Pour un observateur situé au centre de cette face, la direction de la Terre est donc fixe par rapport au sol : la Terre reste au zénith, à de petites oscillations près (libration). En revanche, la Lune ne présente pas toujours la même face au Soleil : elle tourne par rapport à la direction du Soleil, qui se lève, traverse le ciel et se couche.

2. Le Soleil se lève à nouveau au même endroit du sol lunaire quand la Lune retrouve la même orientation par rapport au Soleil. Comme sa face visible est liée à la direction de la Terre, cela revient à retrouver la même configuration Soleil–Terre–Lune, c'est-à-dire la même phase. Autrement dit : en 27,3 jours, la Lune a fait un tour sur elle-même par rapport aux étoiles, mais le Soleil s'est décalé, car le système Terre–Lune a avancé autour de lui ; il faut un peu plus de deux jours supplémentaires. La durée entre deux levers de Soleil est donc une lunaison, 29,5 jours : environ deux semaines de jour, puis deux semaines de nuit.

3. À la nouvelle lune, la Lune est entre le Soleil et la Terre. Vue de la Lune, la Terre est donc à l'opposé du Soleil et présente à l'astronaute tout son hémisphère éclairé : c'est la « pleine Terre ». Les phases de la Terre vues de la Lune sont complémentaires de celles de la Lune vues de la Terre. Cette Terre presque pleine éclaire la nuit lunaire ; une partie de cette lumière revient vers nous : c'est la lumière cendrée, visible sur la partie non éclairée par le Soleil quand la Lune n'est qu'un fin croissant.

4. Les diamètres sont très petits devant la distance, donc le diamètre apparent vaut, en radians, diamètre ÷ distance. Terre vue de la Lune : ${\alpha }_T\approx \frac{2\times 6371}{3,844\times {10}^5}\approx 3,315\times {10}^{-2}$ rad, soit $3,315\times {10}^{-2}\times \frac{180}{\pi }\approx$ 1,90°. Lune vue de la Terre : ${\alpha }_L\approx \frac{2\times 1737}{3,844\times {10}^5}\approx 9,04\times {10}^{-3}$ rad, soit 0,518°. La Terre paraît $\frac{1,90}{0,518}\approx 3,67$ fois plus large, donc $3,{67}^2\approx 13,5$ fois plus étendue dans le ciel. Les deux astres reçoivent la même lumière solaire par m² (même distance au Soleil) et sont vus à la même distance ; la Terre renvoie $\frac{30}{12}=2,5$ fois plus de lumière. La pleine Terre est donc environ $13,5\times 2,5\approx$ 34 fois plus lumineuse que la pleine lune : plusieurs dizaines de fois, ce qui explique qu'elle éclaire assez la Lune pour produire la lumière cendrée.

5. L'élève confond « cachée » et « sombre ». Comme toute la Lune, la face cachée est éclairée pendant la moitié de chaque lunaison. Elle est entièrement éclairée à la nouvelle lune, précisément quand la face visible est dans la nuit. « Cachée » signifie seulement qu'on ne la voit jamais depuis la Terre, à cause de la rotation synchrone.