La forme de la Terre

a) La verticale est perpendiculaire à l'horizon, donc l'angle entre les rayons et la verticale vaut 90° moins la hauteur du Soleil. En A : $90°-40,6°=49,4°$ ; en B : $90°-48,7°=41,3°$. D'où $\alpha =49,4°-41,3°=8,1°$ (c'est aussi l'écart des hauteurs).

b) Le Soleil est très éloigné : ses rayons arrivent parallèles en A et en B. Les verticales de A et de B passent par le centre O de la Terre. Menons par O la parallèle aux rayons : elle fait avec (OA) un angle de 49,4° et avec (OB) un angle de 41,3° (angles correspondants). B étant au sud de A sur le même méridien, ces deux angles sont du même côté de cette droite, donc $\widehat{AOB}=49,4°-41,3°=\alpha$.

c) La longueur d'un arc est proportionnelle à son angle au centre : $\frac{897}{C}=\frac{8,1}{360}$, d'où $C=\frac{360\times 897}{8,1}\approx 39867$ km. Puis $R=\frac{C}{2\pi }\approx \frac{39867}{2\pi }\approx 6345$ km. C ≈ 39 870 km et R ≈ 6 345 km.

d) $\frac{40000-39867}{40000}\approx 0,0033$ : l'écart relatif vaut environ 0,3 %. Avec des mesures soignées, la méthode est très précise.

a) Les trois points ont la même longitude, 7° E : ils sont sur le demi-cercle joignant les pôles qui passe par la longitude 7° E, c'est-à-dire sur le même méridien. P et Q (latitudes N) sont dans l'hémisphère Nord, S (latitude S) dans l'hémisphère Sud.

b) P et Q sont tous deux au nord : $\Delta \phi =51,4°-44,9°=6,5°$. Sur un méridien, le rayon est R : $L_{PQ}=2\pi \times 6371\times \frac{6,5}{360}\approx$ 723 km.

c) P est au nord et S au sud : l'arc traverse l'équateur, donc les latitudes s'additionnent : $\Delta \phi =51,4°+21,3°=72,7°$. D'où $L_{PS}=2\pi \times 6371\times \frac{72,7}{360}\approx$ 8 084 km.

d) $2\pi \times 6371\times \frac{30,1}{360}\approx 3347$ km : l'élève a calculé $51,4-21,3=30,1°$, comme si P et S étaient du même côté de l'équateur. Pour deux points de part et d'autre de l'équateur, on additionne les latitudes.

a) Coupons la Terre par le plan du méridien d'un point M de latitude $\phi$. Soit H le projeté orthogonal de M sur l'axe des pôles : H est le centre du parallèle de M et $r=HM$. Le triangle OHM est rectangle en H et $OM=R$. La droite (HM) est parallèle au plan de l'équateur, donc $\widehat{OMH}=\phi$ (angles alternes-internes avec la latitude). Dans le triangle rectangle : $\cos \phi =\frac{HM}{OM}$, d'où $r=R\cos \phi$.

b) $r=6371\times \cos 35°\approx$ 5 218,8 km. Longueur du parallèle : $2\pi r\approx 2\pi \times 5218,8\approx$ 32 791 km.

c) Les villes sont de part et d'autre de Greenwich : $\Delta \lambda =8°+21°=29°$. L'arc est proportionnel à l'angle : $L=32791\times \frac{29}{360}\approx$ 2 641 km.

a) La somme des angles d'un triangle vaut 180° : $\widehat{ACB}=180°-57°-68°=$ 55°.

b) Relation des sinus : AC est opposé à l'angle en B, AB est opposé à l'angle en C. Donc $\frac{AC}{\sin 68°}=\frac{AB}{\sin 55°}$, soit $AC=\frac{8,42\times \sin 68°}{\sin 55°}\approx \frac{8,42\times 0,9272}{0,8192}\approx$ 9,53 km.

c) BC est opposé à l'angle en A : $BC=\frac{8,42\times \sin 57°}{\sin 55°}\approx \frac{8,42\times 0,8387}{0,8192}\approx$ 8,62 km.

d) Mesurer une longue distance sur le terrain est lent et imprécis (relief, rivières, obstacles), alors qu'un angle se mesure précisément en visant un point éloigné. Or un triangle est entièrement déterminé par un côté et deux angles : une seule base suffit, tout le reste se calcule.

a) Dans ABC : $\widehat{ACB}=180°-48°-74°=58°$. BC est opposé à l'angle en A, AB à l'angle en C : $BC=\frac{12,3\times \sin 48°}{\sin 58°}\approx \frac{12,3\times 0,7431}{0,8480}\approx$ 10,78 km.

b) Dans BCD, le côté BC devient la base. $\widehat{BDC}=180°-63°-71°=46°$. CD est opposé à l'angle en B : $CD=\frac{BC\times \sin 63°}{\sin 46°}\approx \frac{10,78\times 0,8910}{0,7193}\approx$ 13,35 km. BD est opposé à l'angle en C : $BD=\frac{BC\times \sin 71°}{\sin 46°}\approx \frac{10,78\times 0,9455}{0,7193}\approx$ 14,17 km.

c) Les trois angles mesurés totalisent $63°+71°+46,1°=180,1°$ au lieu de 180° : l'écart de 0,1° révèle les erreurs de mesure des angles. Cette « fermeture » du triangle sert de contrôle ; on répartit l'écart entre les trois angles. Le long d'une chaîne, ces erreurs s'accumulent : c'est pourquoi il faut des instruments très précis et une seconde base de vérification, comme en ont utilisé Delambre et Méchain.

a) A et B sont de part et d'autre de Greenwich : $\Delta \lambda =30°+150°=180°$. Leurs méridiens sont donc opposés : réunis, ils forment un cercle passant par les deux pôles, dont le plan contient l'axe des pôles, donc le centre O. C'est un grand cercle contenant A, B et le pôle Nord.

b) Rayon du parallèle : $r=6371\times \cos 50°\approx 4095,2$ km. Le trajet est un demi-parallèle : $L_1=\pi r\approx$ 12 865 km.

c) De A au pôle, l'angle au centre vaut $90°-50°=40°$ ; de même du pôle à B. Donc $\theta =80°$ et $L_2=2\pi \times 6371\times \frac{80}{360}\approx$ 8 896 km.

d) Gain : $12865-8896=3969$ km, soit $\frac{3969}{12865}\approx 0,309$ : environ 3 970 km, soit 31 %.

e) À l'équateur, le parallèle est lui-même un grand cercle : les deux trajets sont deux demi-grands cercles, de même longueur $\pi R$. Le gain est nul : il n'existe que parce qu'un parallèle hors de l'équateur n'est pas un grand cercle.

a) Le mètre étant la dix-millionième partie du quart de méridien, le méridien complet mesure $4\times 10000000=4\times {10}^7$ m. Un tour complet vaut $360\times 60=21{600}^{\prime }$. Donc $1^{\prime }\leftrightarrow \frac{4\times {10}^7}{21600}\approx 1851,9$ m, soit environ 1 852 m.

b) $19°{41}^{\prime }-12°{17}^{\prime }=7°{24}^{\prime }=7\times 60+24={444}^{\prime }$. Le navire parcourt 444 milles, soit $444\times 1,852\approx$ 822,3 km.

c) $t=\frac{444}{14}\approx 31,71$ h ; $0,71\times 60\approx 43$ min. Durée : environ 31 h 43 min.

d) Une minute de longitude est un arc de parallèle, de rayon $R\cos \phi$ et non R. Sa longueur vaut donc $1852\times \cos 66°\approx 1852\times 0,4067\approx$ 753 m, soit environ 0,41 mille. L'égalité avec le mille n'est vraie que sur l'équateur.

a) Les deux villes sont dans l'hémisphère Nord : $\Delta \phi =51,03°-41,36°=9,67°$. La longueur d'un arc étant proportionnelle à l'angle, un degré mesure en moyenne $\frac{551360}{9,67}\approx$ 57 018 toises.

b) Le quart de méridien correspond à 90° (de l'équateur au pôle) : $57017,6\times 90\approx$ 5 131 600 toises (environ $5,13\times {10}^6$ toises).

c) Le mètre est la dix-millionième partie du quart de méridien : $1\text{ m}=\frac{5131582}{{10}^7}\approx 0,5132$ toise. En mètres actuels : $0,51316\times 1,949\approx$ 1,000 1 m. L'écart d'environ 0,01 % tient aux arrondis de l'énoncé et à la forme réelle de la Terre.

d) Si la Terre était une sphère parfaite, tous les degrés de méridien auraient la même longueur. Le document 2 montre qu'ils s'allongent vers les pôles : la Terre, aplatie, y est moins courbée. Un seul arc ne donne donc la longueur du quart de méridien que s'il est représentatif. Le degré mesuré vers 45° (111,1 km) est proche de la moyenne entre l'équateur et le pôle ; or l'arc Dunkerque-Barcelone est centré sur $\frac{51,03+41,36}{2}\approx 46,2°$ N. Un arc à cheval sur le 45^e parallèle limite l'erreur due à l'aplatissement.

a) A et B sont tous deux à l'ouest de Greenwich : $\Delta \lambda =74,0°-3,7°=70,3°$. Rayon du parallèle : $r=6371\times \cos 40°\approx 4880,5$ km. Arc : $L_1=2\pi \times 4880,5\times \frac{70,3}{360}\approx$ 5 988 km.

b) A et B sont sur le parallèle, cercle de centre H (sur l'axe des pôles) et de rayon r, et l'angle au centre $\widehat{AHB}$ vaut $\Delta \lambda =70,3°$. Le document 2 avec $\rho =r$ donne $AB=2r\sin \frac{70,3°}{2}=2\times 4880,5\times \sin 35,15°\approx 2\times 4880,5\times 0,5757\approx 5620$ km. La corde mesure bien environ 5 620 km.

c) A et B sont aussi sur le grand cercle de centre O et de rayon R. Le document 2 avec $\rho =R$ : $\sin \frac{\theta }{2}=\frac{5619,6}{2\times 6371}\approx 0,4410$, d'où $\frac{\theta }{2}\approx 26,17°$ et $\theta \approx 52,34°$. Arc : $L_2=2\pi \times 6371\times \frac{52,34}{360}\approx$ 5 820 km, en accord avec le logiciel.

d) Gain : $5988-5820=168$ km, soit $\frac{168}{5988}\approx 0,028$ : environ 168 km, soit 2,8 %, ce qui représente pour un avion plusieurs tonnes de carburant.

e) Le plan d'un grand cercle passe par O, alors que celui du parallèle 40° N passe par H, situé au-dessus de O sur l'axe. Le milieu M de l'arc de grand cercle est à la surface, dans la direction du milieu I de la corde. Or I est à la même hauteur que A et B mais plus proche de l'axe ($HI = r\cos 35{,}15° < r$) : la direction (OI) est plus inclinée vers le pôle que (OA). La latitude de M est donc supérieure à 40° (environ 45,7° N) : l'arc de grand cercle « monte » vers le pôle.

a) Le gnomon vertical, son ombre horizontale et le rayon qui passe par son sommet forment un triangle rectangle ; l'angle $\alpha$ entre le rayon et la verticale vérifie $\tan \alpha =\frac{\text{ombre}}{\text{hauteur}}$. Lycée N : $\tan {\alpha }_N=\frac{1,49}{1,50}$, d'où ${\alpha }_N\approx 44,81°$. Lycée S : $\tan {\alpha }_S=\frac{1,10}{1,50}$, d'où ${\alpha }_S\approx 36,25°$. Écart : $\alpha =44,81°-36,25°=8,56°$.

b) Les rayons étant parallèles, cet écart est l'angle au centre entre les deux lycées. Par proportionnalité : $C=\frac{360\times 952}{8,56}\approx$ 40 037 km, et $R=\frac{C}{2\pi }\approx$ 6 372 km.

c) $\tan {\alpha }_S^{\prime }=\frac{1,11}{1,50}=0,74$, d'où ${\alpha }_S^{\prime }\approx 36,50°$ et ${\alpha }^{\prime }\approx 44,81°-36,50°=8,31°$. Alors $C^{\prime }=\frac{360\times 952}{8,31}\approx$ 41 242 km, soit environ 3 % de plus. Une erreur de 1 cm sur 1,10 m (moins de 1 %) produit une erreur de 3 % sur C : l'écart $\alpha$ est petit, donc une erreur de 0,25° sur un angle pèse lourd relativement à 8,56°. La méthode exige des mesures d'ombre très soignées.

d) Même méridien : la distance mesurée doit être l'arc de méridien correspondant à l'écart de latitude. Même jour : la position du Soleil par rapport à l'équateur change d'un jour à l'autre, ce qui fausserait l'écart. Midi solaire local : le Soleil est alors dans le plan du méridien et l'ombre est la plus courte ; les rayons, la verticale et le méridien sont dans un même plan. Gnomon vertical sur sol horizontal : sinon l'ombre mesurée ne donne plus l'angle avec la verticale.