Quelle est la forme de la Terre ?

En première approximation, la Terre est une sphère de rayon moyen 6 371 km, dont le méridien mesure environ 40 000 km. Plus précisément, c'est un ellipsoïde légèrement aplati aux pôles : le rayon équatorial (environ 6 378 km) dépasse le rayon polaire (environ 6 357 km) d'une vingtaine de kilomètres. Au programme de 1re, on travaille avec le modèle sphérique.

Comment Ératosthène a-t-il mesuré la circonférence de la Terre ?

Au solstice d'été, à midi, le Soleil était au zénith à Syène, tandis qu'à Alexandrie ses rayons faisaient un angle de 7,2° (1/50 de tour) avec la verticale. Les rayons étant parallèles, cet angle est l'angle au centre de la Terre entre les deux villes : la distance Syène-Alexandrie (5 000 stades) représente donc 1/50 de la circonférence, soit 250 000 stades.

Comment calculer la longueur d'un arc de méridien ou de parallèle ?

La longueur d'un arc est proportionnelle à son angle au centre : L = 2πr × angle/360. Pour un méridien, r = R et l'angle est l'écart de latitude ; pour un parallèle de latitude φ, r = R cos φ et l'angle est l'écart de longitude.

Quel est le plus court chemin entre deux points de la Terre ?

C'est le plus petit arc du grand cercle passant par les deux points, c'est-à-dire du cercle de la sphère dont le plan contient le centre de la Terre. Hors de l'équateur, suivre un parallèle est donc plus long : c'est pourquoi les avions entre l'Europe et l'Amérique du Nord passent à haute latitude.

Pourquoi Delambre et Méchain ont-ils mesuré le méridien ?

Entre 1792 et 1798, ils ont mesuré par triangulation l'arc de méridien de Dunkerque à Barcelone afin de définir le mètre. On en a déduit la longueur du quart de méridien, et le mètre a été fixé à sa dix-millionième partie.

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La forme de la Terre

Méthode d'Ératosthène, calcul du méridien, triangulation (Delambre et Méchain), longueur d'un arc, latitude et longitude, plus court chemin sur la sphère (programme d'enseignement scientifique de 1re)

À propos de cette page

Ce cours d' en première sur « La forme de la Terre » suit le programme officiel d' de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel sur la forme de la Terre, Une Terre sphérique : d'Aristote à Ératosthène, La triangulation de Delambre et Méchain et le mètre, Latitude, longitude, méridiens et parallèles. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en .

L'essentiel sur la forme de la Terre

Forme de la Terre. En première approximation, la Terre est une sphère de rayon moyen

R \approx 6 371

km ; son méridien mesure environ 40 000 km. Plus finement, c'est un ellipsoïde légèrement aplati aux pôles : rayon équatorial ≈ 6 378 km, rayon polaire ≈ 6 357 km.

Longueur d'un arc. Sur un cercle de rayon

r

, la longueur d'un arc est proportionnelle à son angle au centre

α

(en degrés) :

L = 2 π r \times \frac{α}{360} .

Exemple : sur un méridien (

r = R

), un écart de 1° correspond à

\frac{2 π \times 6 371}{360} \approx 111, 2

km.

Coordonnées géographiques. Tout point de la surface est repéré par sa latitude (de 0° à 90°, N ou S) et sa longitude (de 0° à 180°, E ou W, comptée depuis le méridien de Greenwich).

Plus court chemin. Entre deux points de la sphère, le chemin le plus court en restant à la surface est le petit arc du grand cercle qui les contient.

Une Terre sphérique : d'Aristote à Ératosthène

Indices de la sphéricité dans l'Antiquité.
• Lors d'une éclipse de Lune, l'ombre de la Terre sur la Lune a toujours un bord en arc de cercle (argument rapporté par Aristote, IV^e siècle av. J.-C.).
• Un navire qui s'éloigne disparaît coque la première, mât en dernier.
• Quand on voyage vers le nord ou le sud, la hauteur des étoiles au-dessus de l'horizon change.

La mesure d'Ératosthène (III^e siècle av. J.-C.). Au solstice d'été, à midi, le Soleil est au zénith à Syène : ses rayons éclairent le fond des puits. Au même instant, à Alexandrie, située 5 000 stades plus au nord, les rayons font avec la verticale un angle de 7,2°, soit

\frac{1}{50}

de tour. Les 5 000 stades représentent donc

\frac{1}{50}

de la circonférence :

C = 50 \times 5 000 = 250 000 stades .

Pourquoi l'angle mesuré est l'angle au centre. Le Soleil étant très éloigné, ses rayons arrivent parallèles. La verticale d'Alexandrie passe par le centre O de la Terre, et la droite joignant O à Syène est parallèle aux rayons. L'angle « rayon-verticale » à Alexandrie et l'angle au centre sont alternes-internes : ils sont égaux.

Hypothèses et limites. Terre sphérique, rayons parallèles, Syène et Alexandrie sur un même méridien (ce n'est qu'approché), distance estimée. La valeur du stade étant incertaine (entre 157 m et 185 m environ selon les auteurs), le résultat se situe entre 39 000 et 46 000 km : l'ordre de grandeur est remarquable.

La triangulation de Delambre et Méchain et le mètre

Relation des sinus (fournie). Dans un triangle ABC, en notant

a = B C

b = C A

c = A B

les côtés opposés aux angles

\hat{A}

\hat{B}

\hat{C}

\frac{a}{\sin \hat{A}} = \frac{b}{\sin \hat{B}} = \frac{c}{\sin \hat{C}} .

Connaissant un côté et deux angles, on calcule les deux autres côtés.

Exemple.

A B = 10

km,

\hat{A} = 60 °

\hat{B} = 70 °

, donc

\hat{C} = 50 °

. Alors

A C = \frac{A B \times \sin \hat{B}}{\sin \hat{C}} = \frac{10 \times \sin 70 °}{\sin 50 °} \approx 12, 27

km.

Principe de la triangulation. On mesure au sol une seule longueur, la base, puis uniquement des angles, en visant des points hauts et visibles de loin (clochers, sommets). De triangle en triangle, la chaîne permet de calculer des distances de plusieurs centaines de kilomètres.

Delambre et Méchain (1792-1798). Chargés de mesurer l'arc de méridien de Dunkerque à Barcelone (près de 10° de latitude, un peu plus de 1 000 km), ils le découpent en une chaîne de triangles : bases mesurées à la règle près de Melun et de Perpignan, angles mesurés au cercle répétiteur de Borda, latitudes des extrémités déterminées par l'observation des étoiles. On en déduit la longueur du quart de méridien, et le mètre est défini comme sa dix-millionième partie : le méridien complet mesure ainsi 40 000 km par définition. Un mètre étalon en platine est déposé en 1799.

Latitude, longitude, méridiens et parallèles

Méridien. Demi-grand cercle joignant les deux pôles. Tous les méridiens ont la même longueur,

π R \approx 20 015

km. Le méridien origine passe par Greenwich.

Parallèle. Cercle formé des points de même latitude

φ

. Son plan est parallèle à celui de l'équateur, son centre est sur l'axe des pôles et son rayon vaut

r = R \cos φ .

Seul l'équateur (

φ = 0 °

) est un grand cercle.

Latitude $φ$ d'un point M : angle entre le plan de l'équateur et la droite (OM), de 0° (équateur) à 90° (pôles), suivi de N ou S. Longitude $λ$ : angle entre le demi-plan du méridien de Greenwich et celui du méridien de M, de 0° à 180°, suivi de E ou W.

Exemple. Sur le parallèle 60° N :

r = 6 371 \times \cos 60 ° \approx 3 185, 5

km ; sa longueur

2 π r \approx 20 015

km est la moitié de celle de l'équateur.

Longueurs d'arcs.
• Deux points d'un même méridien :

L = 2 π R \times \frac{Δ φ}{360}

.
• Deux points d'un même parallèle :

L = 2 π R \cos φ \times \frac{Δ λ}{360}

.
Les latitudes s'additionnent si les points sont de part et d'autre de l'équateur, les longitudes s'additionnent s'ils sont de part et d'autre de Greenwich.

Le plus court chemin : l'arc de grand cercle

Grand cercle. Intersection de la sphère avec un plan passant par son centre ; son rayon est R. L'équateur est un grand cercle, de même que la réunion de deux méridiens opposés (longitudes distantes de 180°).

Propriété. Par deux points non diamétralement opposés passe un unique grand cercle. Le plus court chemin à la surface est le plus petit des deux arcs qu'il détermine (l'orthodromie). Si

θ

est l'angle au centre

\hat{A O B}

en degrés :

L = 2 π R \times \frac{θ}{360} .

Conséquence. Pour deux points d'un même parallèle de l'hémisphère Nord, l'arc de grand cercle passe plus au nord que le parallèle. C'est pourquoi les vols entre l'Europe et l'Amérique du Nord survolent l'Atlantique Nord à haute latitude. Un logiciel de géolocalisation permet de comparer les deux trajets.

Méthodes

Méthode 1 — Calculer la circonférence à la manière d'Ératosthène

Vérifier les conditions : deux lieux d'un même méridien, mesures le même jour à midi solaire local.
Déterminer en chaque lieu l'angle entre les rayons et la verticale (ou 90° moins la hauteur du Soleil), puis leur écart $α$ .
Écrire la proportionnalité $\frac{d}{C} = \frac{α}{360}$ .
Conclure : $C = \frac{360 \times d}{α}$ , puis $R = \frac{C}{2 π}$ .

Exemple rédigé. Deux villes d'un même méridien sont distantes de 500 km ; au même midi solaire, les rayons font avec la verticale 38,2° et 33,7°. Écart :

α = 4, 5 °

. Donc

C = \frac{360 \times 500}{4, 5} = 40 000

km et

R = \frac{40 000}{2 π} \approx 6 366

km.

Méthode 2 — Longueur d'un arc de méridien ou de parallèle

Identifier le cercle : méridien (rayon $R$ ) ou parallèle de latitude $φ$ (rayon $R \cos φ$ ).
Calculer l'écart angulaire ( $Δ φ$ ou $Δ λ$ ), en additionnant si les points sont de part et d'autre de l'équateur ou de Greenwich.
Appliquer $L = 2 π r \times \frac{écart}{360}$ et donner l'unité.

Exemple rédigé. Points (43° N ; 1,5° W) et (43° N ; 7,5° E). Écart de longitude :

1, 5 + 7, 5 = 9 °

. Rayon du parallèle :

r = 6 371 \times \cos 43 ° \approx 4 659, 4

km. Arc :

L = 2 π \times 4 659, 4 \times \frac{9}{360} \approx 731, 9

km.

Méthode 3 — Calculer une longueur par triangulation

Faire une figure et repérer, pour chaque côté, l'angle qui lui est opposé.
Calculer le troisième angle (somme des angles : 180°).
Relation des sinus : côté cherché = côté connu × $\frac{\sin (angle opposé au côté cherché)}{\sin (angle opposé au côté connu)}$ .
Dans une chaîne, le côté calculé sert de base au triangle suivant.

Exemple rédigé.

A B = 6, 80

km,

\hat{A} = 64 °

\hat{B} = 49 °

, donc

\hat{C} = 180 ° - 64 ° - 49 ° = 67 °

. BC est opposé à

\hat{A}

B C = \frac{6, 80 \times \sin 64 °}{\sin 67 °} \approx 6, 64

km.

Méthode 4 — Comparer arc de parallèle et arc de grand cercle

Calculer l'arc de parallèle (méthode 2).
Si $Δ λ = 180 °$ , le grand cercle passe par le pôle : $θ = 2 (90 ° - φ)$ .
Sinon, calculer la corde $A B = 2 r \sin \frac{Δ λ}{2}$ , puis $θ$ tel que $\sin \frac{θ}{2} = \frac{A B}{2 R}$ .
Calculer $L = 2 π R \times \frac{θ}{360}$ et comparer (écart en km et en %).

Exemple rédigé. Deux points à 60° N de longitudes opposées (

Δ λ = 180 °

). Le long du parallèle :

π \times 3 185, 5 \approx 10 008

km. Par le pôle :

θ = 2 \times 30 ° = 60 °

, donc

L = \frac{2 π \times 6 371}{6} \approx 6 672

km. On gagne environ 3 336 km, soit un tiers du trajet.

Pièges et erreurs classiques

Oublier le $\cos φ$ . Un arc de parallèle se calcule avec le rayon

R \cos φ

, pas avec R : seul l'équateur a pour rayon R.

Mal calculer un écart. Entre 20° N et 15° S, l'écart de latitude est

20 + 15 = 35 °

, pas 5°. De même, entre une longitude E et une longitude W, on additionne.

« Suivre le parallèle, c'est aller tout droit, donc au plus court. » Faux : hors de l'équateur, un parallèle n'est pas un grand cercle ; le plus court chemin s'en écarte vers le pôle.

Relation des sinus mal appariée. Chaque côté est associé à l'angle qui lui est opposé, jamais à un angle adjacent. Vérifier que les trois angles totalisent 180°.

Ératosthène : un seul angle ne suffit pas. Si le Soleil n'est au zénith en aucun des deux lieux, c'est l'écart des deux angles qui donne l'angle au centre ; et les deux lieux doivent être sur un même méridien.

Calculatrice et ordres de grandeur. Mode degrés pour

\sin

\cos

\tan

; ne pas confondre le rayon (≈ 6 371 km) et la longueur du méridien (≈ 40 000 km).

En bref

La Terre est quasi sphérique : $R \approx 6 371$ km, méridien ≈ 40 000 km, 1° de méridien ≈ 111 km.
Ératosthène : pour deux lieux d'un même méridien distants de $d$ , l'écart $α$ des angles des rayons solaires avec la verticale donne $C = \frac{360 \times d}{α}$ .
Triangulation : une base mesurée, des angles, la relation des sinus ; Delambre et Méchain (1792-1798) mesurent l'arc Dunkerque-Barcelone pour définir le mètre.
Latitude $φ$ (0 à 90°, N/S), longitude $λ$ (0 à 180°, E/W) ; rayon d'un parallèle : $R \cos φ$ .
Arc : $L = 2 π r \times \frac{angle}{360}$ ; le plus court chemin est l'arc de grand cercle.

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