Un niveau d'organisation : les éléments chimiques

a) Juste après le Big Bang, l'Univers était extrêmement chaud et dense : des protons et des neutrons ont pu s'assembler en noyaux légers. Il s'est formé de l'hydrogène (dont son isotope, le deutérium), de l'hélium et des traces de lithium. Cette étape est la nucléosynthèse primordiale.

b) Le carbone et l'oxygène sont produits par fusion au cœur des étoiles. Lorsque l'hydrogène du cœur a été transformé en hélium, le cœur se contracte et s'échauffe : les noyaux d'hélium 4 fusionnent (trois noyaux d'hélium donnent un noyau de carbone 12, puis carbone 12 et hélium 4 donnent de l'oxygène 16).

c) Oui pour le fer : dans les étoiles massives, des fusions successives (carbone, oxygène, néon, silicium…) mènent jusqu'au fer, noyau très stable ; au-delà, la fusion ne libère plus d'énergie et la chaîne s'arrête. Non pour l'or : plus lourd que le fer, il se forme par captures de neutrons lors d'événements violents (explosions d'étoiles massives, fusions d'étoiles à neutrons).

d) Hormis l'hydrogène (et une partie de l'hélium), les noyaux de notre corps (carbone, oxygène, azote, calcium, fer…) ont été fabriqués dans des étoiles qui ont vécu et sont mortes avant la naissance du Soleil. Leur matière, dispersée par des explosions et des vents stellaires, a enrichi le nuage à partir duquel se sont formés le Soleil, la Terre puis les êtres vivants. Nos atomes sont donc bien de la matière recyclée d'étoiles.

a) Nucléons : $3+3=6$ et $4+2\times 1=6$. Charges : $2+2=4$ et $2+2\times 1=4$. Les deux grandeurs sont conservées. Deux noyaux légers d'hélium 3 s'unissent pour donner un noyau d'hélium 4 et deux protons : c'est une fusion (dernière étape de la chaîne qui alimente le Soleil).

b) Nucléons : $239+1=240$ et $134+103+3\times 1=240$. Charges : $94+0=94$ et $52+42+0=94$. Conservation vérifiée. Un noyau lourd de plutonium, percuté par un neutron, se scinde en deux noyaux plus légers (tellure et molybdène) : c'est une fission.

c) Nucléons : $16+16=32$ et $28+4=32$. Charges : $8+8=16$ et $14+2=16$. Conservation vérifiée. Deux noyaux d'oxygène s'unissent pour former un noyau de silicium, plus lourd que chacun d'eux ; l'émission d'un noyau d'hélium n'y change rien : c'est une fusion (elle a lieu dans les étoiles massives).

d) Le photon $\gamma$ a $A=0$ et $Z=0$. Conservation des nucléons : $14+1=A+0$, donc $A=15$. Conservation de la charge : $7+1=Z+0$, donc $Z=8$. L'élément de numéro atomique 8 est l'oxygène : X est ${}_8^{15}O$. Deux noyaux légers forment un noyau plus lourd : c'est une fusion.

a) La demi-vie $t_{1/2}$ d'un noyau radioactif est la durée nécessaire pour que la moitié des noyaux initialement présents dans un échantillon macroscopique se soit désintégrée. Elle est caractéristique du noyau.

b) 14,3 jours correspondent à une demi-vie : $N=\frac{4,8\times {10}^{15}}{2}=$ $2,4\times {10}^{15}$ noyaux.
Pour 42,9 jours : $n=\frac{42,9}{14,3}=3$ demi-vies, donc $N=\frac{4,8\times {10}^{15}}{2^3}=\frac{4,8\times {10}^{15}}{8}=$ $6,0\times {10}^{14}$ noyaux.

c) $n=\frac{57,2}{14,3}=4$ demi-vies. Il reste $\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$ des noyaux initiaux. La fraction désintégrée vaut $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}=0,9375$, soit 93,75 % des noyaux (environ 94 %).

d) Non. L'instant de désintégration d'un noyau individuel est aléatoire : un noyau donné peut se désintégrer dans la seconde ou dans plusieurs mois. La demi-vie ne décrit que le comportement statistique d'un très grand nombre de noyaux ; elle ne renseigne pas sur un noyau particulier.

a) Il s'agit des parts d'un tout dont la somme vaut 100 % : un diagramme circulaire convient. L'angle d'un secteur vaut pourcentage × $\frac{360°}{100}$ = pourcentage × 3,6°.
H : $63,0\times 3,6=226,8°$ ; O : $25,5\times 3,6=91,8°$ ; C : $9,5\times 3,6=34,2°$ ; N : $1,4\times 3,6\approx 5,0°$ ; autres : $0,6\times 3,6\approx 2,2°$. Contrôle : $226,8+91,8+34,2+5,04+2,16=360°$.

b) Sur 100 atomes : masse relative de H : $63\times 1=63$ ; de O : $25,5\times 16=408$ ; de C : $9,5\times 12=114$ ; de N : $1,4\times 14=19,6$. Total pour C, H, O, N : $63+408+114+19,6=604,6$.
Part de l'oxygène : $\frac{408}{604,6}\approx 0,67$, soit environ deux tiers de la masse. L'hydrogène, majoritaire en atomes, ne pèse que $\frac{63}{604,6}\approx 10\%$ : un atome d'hydrogène est 16 fois plus léger qu'un atome d'oxygène.

c) $63,0+25,5+9,5+1,4=$ 99,4 % des atomes. Ces quatre éléments forment l'eau et les molécules organiques : glucides, lipides, protéines et acides nucléiques (ADN, ARN).

d) L'élève confond le rôle du carbone et son abondance. Le carbone forme le squelette des molécules organiques, mais il ne représente que 9,5 % des atomes (3^e rang) et, d'après b), environ $\frac{114}{604,6}\approx 19\%$ de la masse. L'eau, très abondante dans le corps, apporte l'essentiel des atomes d'hydrogène et d'oxygène : ce sont eux qui dominent.

a) Les points se placent sur une courbe décroissante qui n'est pas une droite : elle descend de plus en plus lentement (en 8 h, $N$ perd 24,7 unités au début, puis seulement 3,9 entre 40 h et 48 h) et se rapproche de l'axe des temps sans l'atteindre.

b) $N_0=80,0\times {10}^{10}$ noyaux, donc $\frac{N_0}{2}=40,0\times {10}^{10}$. On trace la droite horizontale $N=40,0$ : elle coupe la courbe entre 8 h ($55,3$) et 16 h ($38,2$), tout près de 16 h. On lit $t_{1/2}\approx 15$ h.

c) Au bout de deux demi-vies, il doit rester $\frac{N_0}{4}=20,0\times {10}^{10}$ noyaux. La courbe passe par 20,0 entre 24 h ($26,4$) et 32 h ($18,2$), vers 30 h. Or $30=2\times 15$ : la seconde lecture confirme $t_{1/2}\approx 15$ h.

d) La valeur 15 h correspond au sodium 24. Le contrôle est utile car l'iode 123 ($13,2$ h) a une demi-vie proche : avec lui, il ne resterait que $\frac{N_0}{4}=20,0$ à $2\times 13,2=26,4$ h, donc moins de 26,4 dès 24 h. Or on mesure encore 26,4 à 24 h : l'iode 123 est exclu, et le technétium 99m et le radon 222 sont beaucoup trop éloignés.

a) De 1986 à 2046, il s'écoule 60 ans, soit $\frac{60}{30}=2$ demi-vies. Il restera $\frac{1}{2^2}=$ $\frac{1}{4}$ du césium initial, soit 25 %.

b) Fractions restantes : après 90 ans (3 demi-vies), $\frac{1}{8}=12,5\%$ ; après 120 ans (4 demi-vies), $\frac{1}{16}\approx 6,3\%$. Comme $6,3\%<10\%<12,5\%$, la durée est comprise entre 90 et 120 ans : entre 2076 et 2106.
À la calculatrice : $0,5^{3,3}\approx 0,102$ et $0,5^{3,4}\approx 0,095$, donc $n\approx 3,3$ demi-vies, soit $3,3\times 30\approx 100$ ans : il restera moins de 10 % du césium vers 2086.

c) Diviser par 1 000, c'est atteindre $\frac{N_0}{1000}$. Or $2^9=512$ et $2^{10}=1024\approx 1000$ : il faut environ 10 demi-vies, soit $10\times 30=$ 300 ans.

d) L'erreur consiste à croire la décroissance linéaire (moitié du temps, moitié de la perte). En réalité, sur deux durées égales, c'est la même fraction des noyaux restants qui disparaît. Si une fraction $x$ reste après 15 ans, il reste $x\times x$ après 30 ans ; or il reste alors $\frac{1}{2}$. Donc $x^2=\frac{1}{2}$ et $x=\sqrt{0,5}\approx 0,707$. Il reste 70,7 % du césium : environ 29 % a disparu, et non 25 %.

a) Un être vivant échange sans cesse du carbone avec son milieu : les végétaux absorbent le dioxyde de carbone de l'air par photosynthèse, les animaux mangent des végétaux ou d'autres animaux, et tous rejettent du CO₂. Le carbone 14 qui se désintègre est donc remplacé en permanence, et sa proportion reste égale à celle de l'atmosphère. À la mort, ces échanges s'arrêtent : le carbone 14 n'est plus renouvelé et se désintègre, alors que le carbone 12, stable, reste en même quantité. La proportion diminue.

b) 6,25 % $=\frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}$ : il s'est écoulé 4 demi-vies. Âge : $4\times 5730=22920$ ans, soit environ $2,3\times {10}^4$ ans.

c) $128=2^7$ : 7 demi-vies se sont écoulées. Âge : $7\times 5730=$ 40 110 ans, soit environ $4,0\times {10}^4$ ans. Il ne reste que $\frac{1}{128}\approx 0,78\%$ du carbone 14 initial : la mesure est délicate, la moindre contamination par du carbone récent fausse fortement le résultat. On est proche de la limite d'emploi de la méthode (environ 50 000 ans) : l'âge obtenu est plus incertain.

d) $\frac{66\times {10}^6}{5730}\approx 1,15\times {10}^4$ : plus de 11 000 demi-vies se sont écoulées. Or un gramme de carbone d'un être vivant contient environ $6\times {10}^{10}$ noyaux de carbone 14, et $2^{36}\approx 6,9\times {10}^{10}$ : dès 36 demi-vies (environ $2\times {10}^5$ ans), il ne resterait en moyenne même plus un noyau. La datation est impossible ; de plus, un os fossile a perdu l'essentiel de sa matière organique. On date plutôt les roches encadrant le fossile avec des noyaux de demi-vie beaucoup plus longue.

1. Il faut comparer deux milieux élément par élément : un diagramme en barres groupées (deux barres par élément) convient, alors qu'un diagramme circulaire ne représente qu'un milieu à la fois. Les proportions vont de 0,002 % à 46 % : sur une échelle linéaire, les barres de C, H et N de la croûte seraient invisibles. Une échelle logarithmique (graduée 0,001 ; 0,01 ; 0,1 ; 1 ; 10 ; 100) permet de lire toutes les valeurs.

2. Croûte : O (46,1 %), Si (28,2 %), Al (8,2 %), Fe (5,6 %). Végétal : C (45 %), O (45 %), H (6 %), N (1,5 %). L'oxygène est majoritaire dans les deux milieux. Tous les éléments du tableau sont présents dans les deux, mais en proportions très différentes.

3. Carbone : $\frac{45}{0,02}=$ 2 250. Azote : $\frac{1,5}{0,002}=$ 750. En proportion de masse, le végétal est 2 250 fois plus riche en carbone et 750 fois plus riche en azote que la croûte : le vivant concentre des éléments rares dans le monde minéral.

4. D'après le document 2, le carbone n'est pas puisé dans le sol mais dans l'air : la plante capte le dioxyde de carbone par ses feuilles et l'incorpore, par photosynthèse, dans ses molécules organiques (glucides comme la cellulose et l'amidon, puis lipides et protéines). Bien que l'air ne contienne qu'environ 0,04 % de CO₂, la plante en fixe en continu pendant toute sa croissance. L'hydrogène et l'oxygène proviennent de l'eau et du CO₂, l'azote des nitrates du sol.

5. Dans la croûte, le silicium et l'aluminium sont engagés dans des minéraux (quartz, feldspaths, argiles) très peu solubles : ils ne passent presque pas dans l'eau du sol absorbée par les racines. De plus, les molécules du vivant sont construites à partir de C, H, O, N : la plante n'utilise presque pas ces deux éléments (quelques espèces, comme les prêles, accumulent toutefois de la silice).

6. Conclusion. Matière vivante et matière minérale sont faites des mêmes éléments chimiques : aucun élément du végétal n'est absent de la croûte. Seules les proportions diffèrent : le vivant est dominé par C, H, O, N, qu'il prélève dans l'air, l'eau et le sol, tandis que la croûte est dominée par O, Si, Al et Fe. Tous ces noyaux, hormis l'hydrogène issu du Big Bang, ont été produits par nucléosynthèse dans des étoiles antérieures au Soleil.

1. À chaque lancer, chaque dé a une chance sur six de montrer un 6, quel que soit le nombre de lancers qu'il a déjà « survécu » : rien ne distingue un dé d'un autre, et rien ne permet de savoir s'il sera retiré au premier ou au vingtième lancer. On ne peut pas le prévoir, exactement comme l'instant de désintégration d'un noyau individuel est aléatoire.

2. La moitié des dés correspond à 500 dés restants. Après le lancer 3, il en reste 574 (plus de 500) ; après le lancer 4, 487 (moins de 500). La demi-vie est comprise entre 3 et 4 lancers. En interpolant : $3+\frac{574-500}{574-487}=3+\frac{74}{87}\approx 3,8$. Demi-vie ≈ 3,8 lancers.

3. Après le lancer 3, il reste 574 dés ; la moitié vaut 287. Après le lancer 6, il en reste 331 ; après le lancer 7, 276 : la valeur 287 est atteinte vers $6+\frac{331-287}{331-276}=6+\frac{44}{55}=6,8$ lancers. Durée écoulée : $6,8-3=3,8$ lancers, la même qu'à la question 2. On retrouve que la demi-vie ne dépend pas du nombre de noyaux de départ : quel que soit l'instant choisi comme origine, il faut la même durée pour diviser le nombre restant par deux.

4. À chaque lancer, il reste en moyenne $\frac{5}{6}$ des dés. Après 2 lancers : $1000\times {\left(\frac{5}{6}\right)}^2=1000\times \frac{25}{36}\approx$ 694 dés. Le document 1 en indique 691 : l'écart (3 dés, soit 0,4 %) est faible et s'explique par le hasard des tirages.

5. Avec 12 dés, l'évolution est très irrégulière : aucun dé retiré au lancer 2 ni au lancer 4, puis 3 d'un coup au lancer 6. La moitié (6 dés) n'est atteinte qu'entre les lancers 5 et 6, loin de 3,8 : avec peu d'objets, les fluctuations dues au hasard sont importantes. Avec 1 000 dés, la décroissance est régulière. La demi-vie est une notion statistique : elle n'a de sens que pour un grand nombre de noyaux, ce qui est toujours le cas dans un échantillon macroscopique (des milliards de milliards de noyaux).

6. La probabilité d'être retiré passe à $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ ; il reste en moyenne $\frac{2}{3}$ des dés à chaque lancer. Après 1 lancer : $\frac{2}{3}\approx 0,67>0,5$ ; après 2 lancers : ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}\approx 0,44<0,5$. La demi-vie est comprise entre 1 et 2 lancers : elle est plus courte. De même, chaque noyau radioactif a sa propre probabilité de désintégration par unité de temps, donc sa propre demi-vie : la demi-vie est caractéristique du noyau.

1. On divise chaque rapport mesuré par celui du vivant, $1,20\times {10}^{-12}$.
Pirogue : $\frac{0,80}{1,20}\approx 0,667$, soit 66,7 %. Statue : $\frac{1,146}{1,20}=0,955$, soit 95,5 %. Arc : $\frac{0,30}{1,20}=0,25$, soit 25 %.

2. 25 % $=\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2}$ : deux demi-vies se sont écoulées depuis l'abattage de l'if. Âge : $2\times 5730=$ 11 460 ans. Cohérence : dans le document 2, la proportion vaut 29,8 % à 10 000 ans et 23,4 % à 12 000 ans ; 25 % se situe entre les deux, plus près de 12 000 ans, ce qui concorde avec 11 460 ans.

3. 66,7 % est compris entre 69,6 % (3 000 ans) et 61,6 % (4 000 ans). En interpolant : $\frac{69,6-66,7}{69,6-61,6}=\frac{2,9}{8,0}\approx 0,36$, soit $3000+0,36\times 1000\approx 3360$ ans. La pirogue a environ $3,4\times {10}^3$ ans (fin de l'âge du bronze).

4. Une œuvre de l'an 800 aurait environ $2026-800=1226$ ans. La proportion de carbone 14 diminue avec le temps et vaut déjà 88,6 % à 1 000 ans : un bois de plus de 1 000 ans en contient donc moins de 88,6 %. Or la statue en contient 95,5 % : elle a moins de 1 000 ans et ne peut pas être carolingienne. Ordre de grandeur : entre 0 et 1 000 ans, la proportion perd $100-88,6=11,4$ points ; la statue en a perdu $4,5$, d'où un âge d'environ $\frac{4,5}{11,4}\times 1000\approx 400$ ans. La statue a quelques siècles (environ 400 ans).

5. $\frac{50000}{5730}\approx 8,7$ demi-vies. Comme $2^8=256$ et $2^9=512$, la proportion restante est comprise entre $\frac{1}{512}$ et $\frac{1}{256}$, soit entre 0,2 % et 0,4 % environ. Le rapport carbone 14 / carbone 12 serait de l'ordre de $\frac{1,20\times {10}^{-12}}{400}\approx 3\times {10}^{-15}$ : il reste trop peu de noyaux pour une mesure fiable, et la moindre trace de carbone récent (contamination) fausserait complètement l'âge.

6. On suppose que le rapport carbone 14 / carbone 12 de l'atmosphère, donc celui des êtres vivants, était le même dans le passé qu'aujourd'hui ($1,20\times {10}^{-12}$). S'il était différent, le point de départ de la décroissance serait faux et l'âge calculé serait trop grand ou trop petit. En pratique, ce rapport a légèrement varié : les laboratoires corrigent les âges à l'aide de courbes d'étalonnage (établies par exemple grâce aux cernes d'arbres).