Que faut-il savoir sur les cristaux en enseignement scientifique de 1re ?

Le chapitre « Des édifices ordonnés : les cristaux » demande de décrire un cristal par sa maille et de calculer la population, la compacité et la coordinence des réseaux cubique simple et cubique à faces centrées. Il faut aussi relier la maille à la masse volumique, distinguer maille, cristal, minéral et roche, et relier la structure d'une roche à la vitesse de refroidissement du magma.

Comment calculer la compacité d'une maille cubique à faces centrées ?

Dans une maille cubique à faces centrées, les atomes sont tangents le long d'une diagonale de face, donc a√2 = 4r. La maille contient 4 atomes : la compacité vaut 4 × (4/3)πr³ / a³ = π/(3√2) ≈ 0,74. Autrement dit, 74 % du volume est occupé, quel que soit le rayon des atomes.

Comment calculer la masse volumique d'un cristal à partir de sa maille ?

On divise la masse de la maille par son volume : ρ = N × M / (N_A × a³), avec N la population de la maille, M la masse molaire en kg/mol et a l'arête en mètres. Le résultat, en kg/m³, se compare à la valeur mesurée sur un échantillon.

Quelle différence entre une maille, un cristal, un minéral et une roche ?

La maille est le motif microscopique (moins d'un nanomètre) qui se répète, et un cristal est l'objet formé par cette répétition. Un minéral est une espèce définie par sa composition chimique et son organisation cristalline. Une roche est une association de cristaux d'un ou de plusieurs minéraux, parfois accompagnés de verre.

Pourquoi certaines roches volcaniques contiennent-elles du verre ?

Une lave qui refroidit très vite en surface se solidifie avant que ses atomes aient le temps de s'ordonner : elle forme un solide amorphe, le verre. À l'inverse, un magma refroidi lentement en profondeur donne une roche entièrement cristallisée, à cristaux jointifs visibles à l'œil nu.

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Des édifices ordonnés : les cristaux

État cristallin, maille cubique simple et cubique à faces centrées, compacité, masse volumique, roches et minéraux, cristaux dans le vivant (programme d'enseignement scientifique de 1re)

À propos de cette page

Ce cours d' en première sur « Des édifices ordonnés : les cristaux » suit le programme officiel d' de première. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : L'essentiel, Le chlorure de sodium, modèle de l'état cristallin, Réseaux cubique simple et cubique à faces centrées, Masse volumique et polymorphisme. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première à réussir en .

L'essentiel

État cristallin. Un solide est cristallin lorsque ses entités (atomes, ions ou molécules) sont empilées de façon régulière et périodique dans les trois directions de l'espace. Exemple : le chlorure de sodium solide, présent dans certaines roches (sel gemme) ou obtenu par évaporation de l'eau de mer.

Maille élémentaire. Plus petit motif dont la répétition périodique reconstitue tout le cristal. Un type cristallin est défini par la forme géométrique de la maille, ainsi que par la nature et la position des entités dans cette maille.

Solide amorphe. Solide dont les entités sont empilées sans ordre géométrique : aucune maille ne s'y répète. C'est le cas du verre.

Réseau	Positions des atomes	Population N	Contact des atomes	Compacité C	Coordinence
Cubique simple (CS)	8 sommets	1	le long d'une arête : $a = 2 r$	$\frac{π}{6} \approx 0, 52$	6
Cubique à faces centrées (CFC)	8 sommets + 6 centres de faces	4	le long d'une diagonale de face : $a \sqrt{2} = 4 r$	$\frac{π}{3 \sqrt{2}} \approx 0, 74$	12

Masse volumique d'un cristal.

ρ = \frac{N \times m}{a^{3}} avec m = \frac{M}{N_{A}}

Minéral et roche. Un minéral se caractérise par sa composition chimique et son organisation cristalline. Une roche est une association de cristaux d'un même minéral ou de plusieurs minéraux.

Le chlorure de sodium, modèle de l'état cristallin

Le sel de cuisine est formé de petits grains aux faces planes et aux angles droits, souvent presque cubiques. Cette forme macroscopique traduit l'organisation microscopique : un empilement régulier d'ions Na⁺ et Cl⁻.

Structure du chlorure de sodium. La maille est un cube. Les ions Cl⁻ occupent les 8 sommets et les centres des 6 faces (réseau cubique à faces centrées) ; les ions Na⁺ occupent les milieux des 12 arêtes et le centre du cube. Le long de chaque arête, ions positifs et négatifs alternent.

Environnement d'un ion. Chaque ion Na⁺ est entouré de 6 ions Cl⁻ à égale distance, et inversement. La cohésion du cristal vient de l'attraction électrostatique entre ions de signes opposés. La maille est électriquement neutre : elle contient autant d'ions Na⁺ que d'ions Cl⁻, ce que traduit la formule NaCl.

Avec un logiciel de visualisation 3D. On fait tourner la maille, on masque une sorte d'ions, on mesure des distances : les ions Cl⁻ seuls dessinent un réseau CFC, et les ions Na⁺ seuls en dessinent un second, décalé d'une demi-arête.

Du microscopique au macroscopique. Un grain de sel d'un demi-millimètre d'arête contient environ un million de mailles alignées le long de chaque arête : ses faces planes et ses angles droits prolongent, à notre échelle, la géométrie cubique de la maille.

Réseaux cubique simple et cubique à faces centrées

Maille cubique. Cube d'arête

a

(le paramètre de maille). Dans le réseau cubique simple (CS), les atomes occupent les 8 sommets ; dans le réseau cubique à faces centrées (CFC), ils occupent les 8 sommets et les centres des 6 faces.

Représenter la maille en perspective cavalière. On trace la face avant en vraie grandeur (un carré), les arêtes fuyantes à 45° et réduites de moitié, puis la face arrière ; les arêtes cachées sont en pointillés. On place ensuite les atomes aux sommets, puis, en CFC, aux centres des faces.

Population N. Nombre d'atomes appartenant en propre à une maille. Un atome partagé entre plusieurs mailles ne compte que pour une fraction :

Position	Sommet	Milieu d'arête	Centre de face	Centre du cube
Mailles qui se partagent l'atome	8	4	2	1
Contribution à la maille	1/8	1/4	1/2	1

CS :

N = 8 \times \frac{1}{8} = 1

; CFC :

N = 4

(méthode 1).

Coordinence. Nombre de plus proches voisins d'un atome. CS : 6 (deux voisins sur chacun des trois axes, à la distance

a

). CFC : 12 (quatre voisins dans chacun des trois plans passant par l'atome, à la distance

\frac{a \sqrt{2}}{2}

Compacité C. Fraction du volume de la maille réellement occupée par les atomes, modélisés par des sphères dures de rayon

r

C = \frac{N \times \frac{4}{3} π r^{3}}{a^{3}}

Elle est toujours inférieure à 1 et sans unité. En CS, les atomes sont tangents le long d'une arête (

a = 2 r

) ; en CFC, le long d'une diagonale de face (

a \sqrt{2} = 4 r

Le réseau CS est très rare dans la nature. Le réseau CFC, l'un des plus compacts possibles pour des sphères identiques, est celui de nombreux métaux (cuivre, aluminium, argent, or, plomb…).

Masse volumique et polymorphisme

Masse volumique d'un cristal. Le cristal n'étant qu'une répétition de mailles, sa masse volumique est celle d'une maille :

ρ = \frac{N \times m}{a^{3}} = \frac{N \times M}{N_{A} \times a^{3}}

où

m

est la masse d'une entité (kg),

M

sa masse molaire (kg/mol),

N_{A} = 6, 02 \times 10^{23} {mol}^{- 1}

a

l'arête (m). On obtient

ρ

en kg/m³ (1 g/cm³ = 10³ kg/m³).

Lecture. À rayon atomique égal, une structure plus compacte place plus de matière dans le même volume : sa masse volumique est plus grande. La structure microscopique fixe ainsi une propriété macroscopique mesurable.

Polymorphisme. Un composé de formule chimique donnée peut cristalliser sous plusieurs structures, qui ont des propriétés macroscopiques différentes (masse volumique, dureté, conductivité…).

Exemple : le carbone. Le graphite (atomes en feuillets empilés, faiblement liés entre eux) est tendre, conducteur et de masse volumique 2,26 g/cm³. Le diamant (réseau tridimensionnel où chaque atome est lié à 4 voisins) est très dur, isolant et de masse volumique 3,51 g/cm³.

Conséquence : la notion de minéral. Un minéral se caractérise par sa composition chimique et par son organisation cristalline. Graphite et diamant sont donc deux minéraux distincts ; de même, la calcite et l'aragonite sont deux minéraux de formule CaCO₃.

Minéraux, roches et cristaux du vivant

Roche. Association de cristaux d'un même minéral (sel gemme : halite ; marbre : calcite) ou de plusieurs minéraux (granite : quartz, feldspaths, micas). Certaines roches volcaniques contiennent aussi du verre.

Refroidissement et structure d'une roche magmatique. Plus un magma refroidit lentement, plus les atomes ont le temps de s'ordonner et plus les cristaux sont gros.
• Refroidissement lent, en profondeur : roche entièrement cristallisée, cristaux jointifs visibles à l'œil nu (structure grenue).
• Refroidissement rapide, en surface : quelques grands cristaux (phénocristaux, formés avant l'éruption), de petits cristaux (microlites) et du verre (structure microlitique).
• Solidification très rapide : verre presque pur (roche vitreuse).

Cristaux dans le vivant. Les êtres vivants fabriquent aussi des cristaux (biominéralisation) : carbonate de calcium des coquilles (calcite, aragonite), phosphate de calcium des os et des dents (hydroxyapatite), oxalate de calcium de nombreux calculs rénaux, carbonate de calcium des otolithes de l'oreille interne.

Méthodes

Méthode 1 — Déterminer la population d'une maille cubique

Repérer toutes les positions occupées : sommets, milieux d'arêtes, centres de faces, centre du cube.
Compter les entités de chaque type de position.
Multiplier chaque nombre par la contribution (1/8, 1/4, 1/2 ou 1) et additionner.
Pour un cristal ionique, vérifier que la maille est électriquement neutre.

Exemple rédigé. Maille CFC : 8 atomes aux sommets, chacun partagé entre 8 mailles, et 6 atomes aux centres des faces, chacun partagé entre 2 mailles.

N = 8 \times \frac{1}{8} + 6 \times \frac{1}{2} = 1 + 3 = 4

. La maille CFC contient 4 atomes en propre.

Méthode 2 — Calculer la compacité (atomes sphériques tangents)

Repérer la direction le long de laquelle les atomes se touchent.
En déduire la relation entre $a$ et $r$ (Pythagore si besoin).
Calculer le volume occupé : $N \times \frac{4}{3} π r^{3}$ .
Diviser par $a^{3}$ après avoir tout exprimé en fonction de $r$ : le rayon se simplifie.

Exemple rédigé (CFC). Les atomes sont tangents le long d'une diagonale de face, de longueur

a \sqrt{2}

(Pythagore dans un carré de côté

a

). Cette diagonale contient un rayon d'un atome de sommet, le diamètre de l'atome du centre de la face et un rayon de l'autre atome de sommet :

a \sqrt{2} = 4 r

, d'où

a = 2 \sqrt{2} r

. Volume occupé :

4 \times \frac{4}{3} π r^{3} = \frac{16}{3} π r^{3}

. Volume de la maille :

a^{3} = 16 \sqrt{2} r^{3}

. Donc

C = \frac{16 π r^{3}}{3 \times 16 \sqrt{2} r^{3}} = \frac{π}{3 \sqrt{2}} \approx 0, 74

. 74 % du volume est occupé, quel que soit le rayon.

Méthode 3 — Calculer la masse volumique à partir de la maille

Déterminer la population $N$ .
Calculer la masse d'une entité $m = \frac{M}{N_{A}}$ , avec $M$ en kg/mol.
Convertir $a$ en mètres et calculer $a^{3}$ .
Calculer $ρ = \frac{N \times m}{a^{3}}$ et comparer à la valeur mesurée (écart relatif).

Exemple rédigé. Le cuivre cristallise en CFC ;

a = 361

pm et

M = 63, 5

g/mol.

m = \frac{63, 5 \times 10^{- 3}}{6, 02 \times 10^{23}} \approx 1, 055 \times 10^{- 25}

kg, donc la maille a une masse

4 \times 1, 055 \times 10^{- 25} \approx 4, 219 \times 10^{- 25}

kg. Son volume vaut

(361 \times 10^{- 12})^{3} \approx 4, 705 \times 10^{- 29}

m³.

ρ = \frac{4, 219 \times 10^{- 25}}{4, 705 \times 10^{- 29}} \approx 8, 97 \times 10^{3}

kg/m³. ρ ≈ 8,97 g/cm³, en accord avec la valeur mesurée pour le cuivre.

Méthode 4 — Relier la structure d'une roche à son refroidissement

Observer : la roche est-elle entièrement cristallisée ? Les cristaux sont-ils jointifs ? Y a-t-il du verre ?
Comparer les tailles de cristaux : une seule génération ou deux (grands cristaux et microlites) ?
Conclure : gros cristaux jointifs → refroidissement lent en profondeur ; microlites et verre → refroidissement rapide en surface ; deux générations → refroidissement en deux temps.

Exemple rédigé. Une diorite est entièrement formée de cristaux jointifs de 1 à 4 mm, sans verre. Tous les atomes ont eu le temps de s'ordonner en cristaux de grande taille : le magma a refroidi lentement, en profondeur (structure grenue).

Pièges et erreurs classiques

Compter 1 atome par sommet. Un atome de sommet appartient à 8 mailles : il compte pour 1/8. Une maille CFC dessinée montre 14 atomes mais n'en contient que 4 en propre.

Écrire a = 2r en CFC. Deux atomes de sommets ne se touchent pas le long de l'arête : chacun touche l'atome du centre de la face. Le contact est sur la diagonale de face,

a \sqrt{2} = 4 r

Unités dans ρ.

a

en mètres (1 pm = 10⁻¹² m),

M

en kg/mol et

a

au cube. Laisser

M

en g/mol multiplie le résultat par 1 000.

Multiplier par $N_{A}$ . La masse d'une entité est

m = \frac{M}{N_{A}}

: c'est un nombre minuscule, pas un nombre gigantesque.

Confondre population, coordinence et compacité. En CFC : 4 atomes par maille, 12 plus proches voisins, 74 % du volume occupé. Ce sont trois grandeurs différentes.

Cristal, minéral, roche. Un cristal est un objet ; un minéral est une espèce (composition + structure) ; une roche est un assemblage de cristaux, parfois avec du verre. Même formule ne signifie pas même minéral.

Le verre n'est pas un liquide. C'est un solide amorphe : il a une forme propre, mais aucune maille ne s'y répète.

En bref

Cristal : empilement régulier et périodique d'entités, décrit par une maille qui se répète ; solide amorphe (verre) : empilement sans ordre.
Contributions : sommet 1/8, arête 1/4, face 1/2, centre 1 → CS : 1 atome par maille, CFC : 4.
Contact : $a = 2 r$ (CS), $a \sqrt{2} = 4 r$ (CFC) ; compacité 0,52 et 0,74 ; coordinence 6 et 12.
Masse volumique : $ρ = \frac{N \times M}{N_{A} \times a^{3}}$ , en unités SI.
Minéral = composition chimique + organisation cristalline ; une même formule peut donner plusieurs minéraux (polymorphisme).
Roche = association de cristaux ; refroidissement lent → gros cristaux jointifs ; rapide → microlites et verre.
Le vivant fabrique des cristaux : coquilles, os et dents, calculs rénaux.

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