Congruences modulo n, critères de divisibilité et arithmétique modulaire (programme de Maths expertes Terminale)
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Calculs de restes et propriétés
Corrigé :
1. $-23 = (-4)\times7 + 5$, donc $-23\equiv 5\pmod7$. (1 pt)
2. $7\equiv1\pmod6$, donc $7^{100}\equiv1^{100}=1\pmod6$. (1 pt)
3. $10=9+1\equiv1\pmod9$. Pour tout $N=\sum a_i\cdot10^i$ : $10^i\equiv1^i=1\pmod9$, donc $N\equiv\sum a_i\pmod9$. $N$ divisible par 9 $\Leftrightarrow$ somme des chiffres divisible par 9. (2 pts)
Exercice 2 — Équation de congruence
Corrigé :
1. $d=\gcd(9,15)=3$. $3\mid6$, donc des solutions existent. On divise par 3 : $3x\equiv2\pmod5$. L'inverse de 3 mod 5 : $3\times2=6\equiv1\pmod5$, donc $3^{-1}\equiv2$. Ainsi $x\equiv4\pmod5$. Solutions modulo 15 : $x\equiv4,9,14\pmod{15}$. (2 pts)
2. $\gcd(4,10)=2$ et $2\nmid3$, donc pas de solution. (1 pt)
3. $\gcd(5,12)=1$, donc l'inverse de 5 existe. $5\times5=25\equiv1\pmod{12}$, donc $5^{-1}\equiv5$. Solution : $x\equiv5\times1=5\pmod{12}$. (2 pts)
Exercice 3 — Petit théorème de Fermat
Corrigé :
1. Soit $p$ premier et $a$ entier avec $p\nmid a$. Alors $a^{p-1}\equiv1\pmod p$. (1 pt)
2. $3^{10}\equiv1\pmod{11}$ (Fermat, 11 premier). $200=20\times10$. Donc $3^{200}=(3^{10})^{20}\equiv1^{20}=1\pmod{11}$. (2 pts)
3. Si $11\nmid n$ : $n^{10}\equiv1\pmod{11}$, donc $n^{11}=n^{10}\cdot n\equiv1\cdot n=n\pmod{11}$. Si $11\mid n$ : $n\equiv0$, $n^{11}\equiv0\equiv n\pmod{11}$. Dans les deux cas, $n^{11}\equiv n\pmod{11}$. (2 pts)
Exercice 4 — Divisibilité et congruences
Corrigé :
1. Tout entier impair s'écrit $n=2k+1$. Alors $n^2=4k^2+4k+1=4k(k+1)+1$. Comme $k$ et $k+1$ sont consécutifs, l'un est pair, donc $k(k+1)$ est pair, i.e. $k(k+1)=2m$. Ainsi $n^2=8m+1\equiv1\pmod8$. (2 pts)
2. Si $a$ et $b$ sont impairs, $a^2\equiv1\pmod8$ et $b^2\equiv1\pmod8$, donc $a^2-b^2\equiv0\pmod8$ : leur différence est divisible par 8. (1 pt)
Exercice 5 — Application au chiffrement
Corrigé :
1. $\phi(35)=(5-1)(7-1)=4\times6=24$. (1 pt)
2. Chercher $d$ avec $11d\equiv1\pmod{24}$. Algorithme d'Euclide étendu : $24=2\times11+2$, $11=5\times2+1$. Remontée : $1=11-5\times2=11-5\times(24-2\times11)=11\times11-5\times24$. Donc $11\times11\equiv1\pmod{24}$ : $d=11$. (1 pt)
3. $2^{11}=2048$. $2048\div35=58$ reste $18$ (car $58\times35=2030$). $C=18$. (1 pt)
Cours particuliers de maths expertes (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.