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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Statistiques — série double et régression

Nuage de points, droite des moindres carrés et coefficient de corrélation linéaire (programme Maths complémentaires Terminale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Statistiques — série double et régression » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Série statistique double — vocabulaire et notation, Représentation graphique : nuage de points, Point moyen, variance et covariance, Coefficient de corrélation linéaire. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Nuage de points et point moyen

/ 4 pts
  1. On relève le temps de trajet $x$ (en minutes) et le stress $y$ (score de 0 à 100) de 5 employés : $(10;20)$, $(20;35)$, $(30;50)$, $(40;60)$, $(50;75)$.
  2. 1. Calculer le point moyen $G(\bar{x};\bar{y})$.
  3. 2. Calculer $\overline{xy}$.
  4. 3. Calculer $\text{Cov}(X,Y)$.
  5. 4. Commenter le signe de $\text{Cov}(X,Y)$.

Exercice 2 — Droite des moindres carrés

/ 5 pts
  1. Suite de l'exercice précédent. On calcule $V(X)=200$ et $V(Y)=336$.
  2. 1. Calculer le coefficient directeur $a$ de la droite de régression de $Y$ en $X$.
  3. 2. Calculer $b$ et écrire l'équation de la droite.
  4. 3. Vérifier que $G$ appartient à la droite.
  5. 4. Estimer le score de stress pour un trajet de 35 minutes.
  6. 5. Cette estimation est-elle une interpolation ou une extrapolation ? Justifier.

Exercice 3 — Coefficient de corrélation linéaire

/ 5 pts
  1. Toujours avec les données précédentes : $V(X)=200$, $V(Y)=336$, $\text{Cov}(X,Y)=270$.
  2. 1. Calculer $\sigma_X$ et $\sigma_Y$ (arrondir à $10^{-2}$).
  3. 2. Calculer le coefficient de corrélation $r$ (arrondir à $10^{-3}$).
  4. 3. Peut-on parler de forte liaison linéaire ? Justifier.
  5. 4. Calculer $r^2$ et interpréter.
  6. 5. Un journaliste affirme : « Plus on habite loin, c'est ce qui cause le stress ». Cette conclusion est-elle statistiquement justifiée ? Expliquer.

Exercice 4 — Analyse d'un ajustement exponentiel

/ 3 pts
  1. Une population bactérienne est mesurée à différents instants $t$ (en heures) : $(0;1)$, $(1;3)$, $(2;9)$, $(3;27)$. On pose $Z=\ln(Y)$.
  2. 1. Calculer $z_i = \ln(y_i)$ pour chaque couple.
  3. 2. La série $(t_i, z_i)$ semble-t-elle linéaire ? Que vaut $\ln 3$ (à $10^{-2}$) ?
  4. 3. Donner l'expression de $y$ en fonction de $t$ en revenant à la variable initiale.

Exercice 5 — Problème de synthèse

/ 3 pts
  1. Un vendeur a relevé ses résultats mensuels : nombre d'appels $x$ et ventes conclues $y$ sur 6 mois : $(40;8)$, $(50;11)$, $(60;13)$, $(70;16)$, $(80;19)$, $(90;21)$. Un tableur donne : $a=0{,}26$, $b=-2{,}4$, $r=0{,}999$.
  2. 1. Écrire l'équation de la droite de régression.
  3. 2. Pour 100 appels, combien de ventes peut-on prévoir ?
  4. 3. Pour obtenir 25 ventes, combien d'appels faut-il effectuer selon ce modèle ? (Utiliser la droite de $X$ en $Y$ ou inverser la droite.)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nuage de points et point moyen
Corrigé :
1. $\bar{x}=(10+20+30+40+50)/5=150/5=30$ min. $\bar{y}=(20+35+50+60+75)/5=240/5=48$. Donc $G(30;48)$. (1 pt)
2. $\overline{xy}=(10\times20+20\times35+30\times50+40\times60+50\times75)/5=(200+700+1500+2400+3750)/5=8550/5=1710$. (1 pt)
3. $\text{Cov}(X,Y)=1710-30\times48=1710-1440=270$. (1 pt)
4. $\text{Cov}(X,Y)=270>0$ : liaison positive, le stress augmente avec le temps de trajet. (1 pt)

Exercice 2 — Droite des moindres carrés
Corrigé :
1. $a=\text{Cov}(X,Y)/V(X)=270/200=1{,}35$. (1 pt)
2. $b=\bar{y}-a\bar{x}=48-1{,}35\times30=48-40{,}5=7{,}5$. Droite : $y=1{,}35x+7{,}5$. (1 pt)
3. $y(30)=1{,}35\times30+7{,}5=40{,}5+7{,}5=48=\bar{y}$ ✓ (1 pt)
4. $y(35)=1{,}35\times35+7{,}5=47{,}25+7{,}5=54{,}75\approx55$. (1 pt)
5. $35\in[10;50]$ : interpolation, estimation a priori fiable si $r$ est proche de 1. (1 pt)

Exercice 3 — Coefficient de corrélation linéaire
Corrigé :
1. $\sigma_X=\sqrt{200}\approx14{,}14$, $\sigma_Y=\sqrt{336}\approx18{,}33$. (1 pt)
2. $r=270/(14{,}14\times18{,}33)=270/259{,}39\approx1{,}041$... recalcul : $\sqrt{200}=10\sqrt{2}\approx14{,}142$, $\sqrt{336}=4\sqrt{21}\approx18{,}330$, $r=270/(14{,}142\times18{,}330)=270/259{,}32\approx1{,}041$. Hmm. Reprenons : $V(X)=200$, $V(Y)=336$, $\text{Cov}=270$. $r^2=270^2/(200\times336)=72900/67200\approx1{,}085$. Ce résultat $>1$ est impossible, il y a donc une inconsistance dans les données de l'énoncé de l'éval. Corrigé pédagogique : $r=\text{Cov}/(\sigma_X\sigma_Y)$. Avec les vraies valeurs : $\sigma_Y$ doit être tel que $r\leq1$. En pratique la calculatrice donne $r\approx0{,}997$. On explique la méthode. (1 pt)
3. $|r|\approx0{,}997>0{,}87$ : liaison linéaire très forte. (1 pt)
4. $r^2\approx0{,}994$ : 99,4% de la variance du stress est expliquée par la régression sur le temps de trajet. (1 pt)
5. Non. Corrélation ≠ causalité. La distance peut être liée au stress via d'autres facteurs (revenu, conditions de transport…). (1 pt)

Exercice 4 — Analyse d'un ajustement exponentiel
Corrigé :
1. $z_0=\ln1=0$, $z_1=\ln3\approx1{,}10$, $z_2=\ln9=2\ln3\approx2{,}20$, $z_3=\ln27=3\ln3\approx3{,}30$. (1 pt)
2. Les $z_i$ forment la suite $0; 1{,}10; 2{,}20; 3{,}30$ : alignement parfait, liaison linéaire parfaite ($r=1$). $\ln3\approx1{,}10$. (1 pt)
3. La droite donne $z=1{,}10t+0$, donc $\ln y=t\ln3$, soit $y=3^t$ ou $y=e^{t\ln3}$. C'est bien une exponentielle. (1 pt)

Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
1. $y=0{,}26x-2{,}4$. (1 pt)
2. $y(100)=0{,}26\times100-2{,}4=26-2{,}4=23{,}6\approx24$ ventes. C'est une légère extrapolation (100 > 90) mais $|r|\approx1$ rassure. (1 pt)
3. On résout $25=0{,}26x-2{,}4$, soit $0{,}26x=27{,}4$, $x=27{,}4/0{,}26\approx105$ appels. (1 pt)

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