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Loi normale
Loi de Gauss, courbe en cloche et intervalles de fluctuation — probabilités continues en Terminale
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
La loi normale est une loi de probabilité :
- A. Discrète
- B. Continue
- C. Entière
- D. Géométrique
Réponse
B. Continue — La loi normale est une loi de probabilité continue, définie sur ℝ par une densité de probabilité.
Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, l'espérance de $X$ est :
- A. $\sigma$
- B. $\mu^2$
- C. $\mu$
- D. $\sigma^2$
Réponse
C. $\mu$ — L'espérance d'une loi normale N(μ, σ) est μ (premier paramètre).
La courbe de densité de la loi normale a la forme d'une :
- A. Droite
- B. Parabole
- C. Cloche
- D. Escalier
Réponse
C. Cloche — La courbe de densité de la loi normale est la célèbre courbe en cloche (courbe de Gauss).
La loi normale $\mathcal{N}(0, 1)$ est appelée loi normale :
- A. Symétrique
- B. Réduite
- C. Centrée réduite
- D. Binomiale
Réponse
C. Centrée réduite — N(0, 1) est la loi normale centrée (μ = 0) et réduite (σ = 1), dite 'loi normale centrée réduite'.
Pour $X \sim \mathcal{N}(5, 2)$, quel est l'écart-type ?
- A. 5
- B. 2
- C. 25
- D. 4
Réponse
B. 2 — L'écart-type est σ = 2 (second paramètre dans la notation N(μ, σ)).
La courbe en cloche est symétrique par rapport à :
- A. L'axe des ordonnées
- B. La valeur $\sigma$
- C. La valeur $\mu$
- D. Le point $(0 ; 0)$
Réponse
C. La valeur $\mu$ — La courbe de densité de N(μ, σ) est symétrique par rapport à la droite x = μ.
$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx$ :
- A. 50 %
- B. 68 %
- C. 95 %
- D. 99,7 %
Réponse
B. 68 % — Par la règle des 68-95-99,7 %, environ 68 % des valeurs sont dans l'intervalle [μ − σ ; μ + σ].
$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx$ :
- A. 68 %
- B. 85 %
- C. 95 %
- D. 99,7 %
Réponse
C. 95 % — Environ 95 % des valeurs sont dans l'intervalle [μ − 2σ ; μ + 2σ].
Pour $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$, on a $P(X \leq 0) =$ :
- A. 0
- B. 0,25
- C. 0,5
- D. 1
Réponse
C. 0,5 — Par symétrie, la moitié de la distribution est à gauche de 0 : P(Z ≤ 0) = Φ(0) = 0,5.
L'aire totale sous la courbe de densité d'une loi normale vaut :
- A. $\pi$
- B. $\mu$
- C. $\sigma$
- D. 1
Réponse
D. 1 — Comme pour toute densité de probabilité, l'aire totale sous la courbe vaut 1.
Si $\Phi$ est la fonction de répartition de $\mathcal{N}(0,1)$, alors $\Phi(-t) =$ :
- A. $\Phi(t)$
- B. $1 + \Phi(t)$
- C. $1 - \Phi(t)$
- D. $-\Phi(t)$
Réponse
C. $1 - \Phi(t)$ — Par la symétrie de N(0,1) : Φ(−t) = 1 − Φ(t). C'est la propriété fondamentale de symétrie.
Dans quel intervalle se situent environ 99,7 % des valeurs d'une loi $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ ?
- A. $[\mu-\sigma ; \mu+\sigma]$
- B. $[\mu-2\sigma ; \mu+2\sigma]$
- C. $[\mu-3\sigma ; \mu+3\sigma]$
- D. $[0 ; 1]$
Réponse
C. $[\mu-3\sigma ; \mu+3\sigma]$ — La règle des 99,7 % : presque toutes les valeurs (99,7 %) sont dans [μ − 3σ ; μ + 3σ].
Niveau moyen — 12 questions
Si $X \sim \mathcal{N}(10, 3)$, la valeur centrée réduite de $x = 16$ est :
- A. 2
- B. 0,5
- C. 3
- D. 6
Réponse
A. 2 — z = (16 − 10) / 3 = 6/3 = 2.
Si $X \sim \mathcal{N}(50, 10)$, la valeur centrée réduite de $x = 35$ est :
- A. 1,5
- B. −1,5
- C. 15
- D. −15
Réponse
B. −1,5 — z = (35 − 50) / 10 = −15/10 = −1,5.
Pour $X \sim \mathcal{N}(20, 4)$, $P(X \leq 28)$ est égale à (avec $\Phi(2) \approx 0{,}977$) :
- A. 0,023
- B. 0,977
- C. 0,5
- D. 0,75
Réponse
B. 0,977 — z = (28 − 20)/4 = 2. P(X ≤ 28) = Φ(2) ≈ 0,977.
Pour $X \sim \mathcal{N}(100, 15)$, $P(X \geq 130)$ est (avec $\Phi(2) \approx 0{,}977$) :
- A. 0,977
- B. 0,023
- C. 0,5
- D. 0,954
Réponse
B. 0,023 — z = (130 − 100)/15 = 2. P(X ≥ 130) = 1 − Φ(2) ≈ 1 − 0,977 = 0,023.
$P(-1 \leq Z \leq 1)$ pour $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ (avec $\Phi(1) \approx 0{,}841$) :
- A. 0,841
- B. 0,682
- C. 0,159
- D. 0,318
Réponse
B. 0,682 — P(−1 ≤ Z ≤ 1) = 2Φ(1) − 1 ≈ 2 × 0,841 − 1 = 0,682.
Si $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ et $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$, alors $P(Z \leq -1{,}96) =$
- A. 0,975
- B. 0,025
- C. 0,950
- D. 0,05
Réponse
B. 0,025 — Φ(−1,96) = 1 − Φ(1,96) = 1 − 0,975 = 0,025.
Pour calculer $P(X \leq a)$ avec $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, on utilise :
- A. $\Phi(a)$
- B. $\Phi(a - \mu)$
- C. $\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)$
- D. $\Phi(a \cdot \sigma - \mu)$
Réponse
C. $\Phi\!\left(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\right)$ — P(X ≤ a) = P(Z ≤ (a−μ)/σ) = Φ((a−μ)/σ) après centrage-réduction.
Pour $X \sim \mathcal{N}(30, 5)$, $P(20 \leq X \leq 40)$ est (règle 68-95-99,7 %) :
- A. 68 %
- B. 95 %
- C. 99,7 %
- D. 50 %
Réponse
B. 95 % — 20 = 30 − 10 = μ − 2σ et 40 = μ + 2σ. Donc P ≈ 95 %.
Les points d'inflexion de la courbe de $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ se situent en :
- A. $\mu \pm 2\sigma$
- B. $\mu$
- C. $\mu \pm \sigma$
- D. $0 \pm \sigma$
Réponse
C. $\mu \pm \sigma$ — Les points d'inflexion de la courbe en cloche sont en x = μ − σ et x = μ + σ.
Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, la variable $Z = (X - \mu)/\sigma$ suit :
- A. $\mathcal{N}(\mu, 1)$
- B. $\mathcal{N}(0, \sigma)$
- C. $\mathcal{N}(0, 1)$
- D. $\mathcal{N}(1, 0)$
Réponse
C. $\mathcal{N}(0, 1)$ — Le centrage-réduction transforme N(μ, σ) en N(0, 1).
Avec $\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975$, $P(-1{,}96 \leq Z \leq 1{,}96) =$
- A. 0,975
- B. 0,025
- C. 0,95
- D. 0,475
Réponse
C. 0,95 — P(−1,96 ≤ Z ≤ 1,96) = 2Φ(1,96) − 1 ≈ 2 × 0,975 − 1 = 0,95.
Pour $X \sim \mathcal{N}(200, 10)$, si $P(X \leq x_0) = 0{,}5$, alors $x_0 =$
- A. 0
- B. 10
- C. 200
- D. 100
Réponse
C. 200 — Φ(0) = 0,5, donc (x₀ − 200)/10 = 0, soit x₀ = 200 = μ. La médiane d'une loi normale est sa moyenne.
Niveau difficile — 12 questions
Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$ et $a \lt \mu \lt b$ avec $\mu - a = b - \mu = d$, alors $P(a \leq X \leq b) =$
- A. $\Phi(d/\sigma)$
- B. $2\Phi(d/\sigma) - 1$
- C. $1 - \Phi(d/\sigma)$
- D. $2\Phi(d) - 1$
Réponse
B. $2\Phi(d/\sigma) - 1$ — Par symétrie : P(μ−d ≤ X ≤ μ+d) = 2Φ(d/σ) − 1.
Si $P(X \leq 70) = 0{,}84$ avec $X \sim \mathcal{N}(60, \sigma)$ et $\Phi(1) \approx 0{,}84$, alors $\sigma =$
- A. 5
- B. 10
- C. 14
- D. 6
Réponse
B. 10 — (70 − 60)/σ = 1 (car Φ(1) ≈ 0,84), donc σ = 10.
Si $X \sim \mathcal{N}(\mu, 5)$ et $P(X \leq 80) = 0{,}5$, alors $\mu =$
- A. 75
- B. 80
- C. 85
- D. 0
Réponse
B. 80 — P(X ≤ μ) = 0,5 toujours pour une loi normale. Donc μ = 80.
Soit $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$. $P(Z \leq -2{,}5) + P(Z \geq 2{,}5) =$
- A. $2\Phi(2{,}5)$
- B. $2 - 2\Phi(2{,}5)$
- C. $\Phi(2{,}5)$
- D. $1 - \Phi(2{,}5)$
Réponse
B. $2 - 2\Phi(2{,}5)$ — Par symétrie : P(Z ≤ −2,5) = 1 − Φ(2,5). Et P(Z ≥ 2,5) = 1 − Φ(2,5). Somme = 2 − 2Φ(2,5).
Pour $X \sim \mathcal{N}(100, 10)$, on veut $P(X \geq c) = 5\,\%$. Avec $\Phi(1{,}645) \approx 0{,}95$, on a $c \approx$ :
- A. 83,55
- B. 116,45
- C. 101,645
- D. 110
Réponse
B. 116,45 — P(X ≥ c) = 0,05 ⟹ Φ((c−100)/10) = 0,95 ⟹ (c−100)/10 = 1,645 ⟹ c ≈ 116,45.
Parmi ces variables, laquelle peut raisonnablement être modélisée par une loi normale ?
- A. Nombre de voitures vendues (entier positif)
- B. Durée de vie de composants électroniques (toujours > 0)
- C. Erreurs de mesure d'un instrument de précision
- D. Résultat d'un lancer de dé
Réponse
C. Erreurs de mesure d'un instrument de précision — Les erreurs de mesure résultent de nombreuses petites perturbations indépendantes : elles suivent généralement une loi normale centrée en 0.
$X \sim \mathcal{N}(50, 5)$ et $Y = 2X - 10$. La loi de $Y$ est :
- A. $\mathcal{N}(90, 5)$
- B. $\mathcal{N}(90, 10)$
- C. $\mathcal{N}(40, 10)$
- D. $\mathcal{N}(50, 10)$
Réponse
B. $\mathcal{N}(90, 10)$ — E(Y) = 2×50 − 10 = 90 et σ(Y) = 2×5 = 10. Donc Y ∼ N(90, 10).
Soit $X \sim \mathcal{N}(0, 1)$. $P(X^2 \leq 4)$ est égale à (avec $\Phi(2) \approx 0{,}977$) :
- A. 0,977
- B. 0,954
- C. 0,023
- D. 0,046
Réponse
B. 0,954 — X² ≤ 4 ⟺ −2 ≤ X ≤ 2. P(−2 ≤ X ≤ 2) = 2Φ(2) − 1 ≈ 2×0,977 − 1 = 0,954.
Pour $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma)$, laquelle des affirmations suivantes est vraie ?
- A. $P(X = \mu) = 0{,}5$
- B. $P(X \leq \mu) = 0{,}5$
- C. $P(X \geq 0) = 0{,}5$
- D. $P(X \gt \mu) = 0$
Réponse
B. $P(X \leq \mu) = 0{,}5$ — Pour une variable continue, P(X = μ) = 0. En revanche P(X ≤ μ) = 0,5 (la moyenne est aussi la médiane pour une loi normale).
Pour $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$, si $\Phi(t_0) = 0{,}99$, alors $P(|Z| \gt t_0) =$
- A. 0,01
- B. 0,02
- C. 0,99
- D. 0,98
Réponse
B. 0,02 — P(|Z| > t₀) = P(Z < −t₀) + P(Z > t₀) = (1 − 0,99) + (1 − 0,99) = 0,02.
Une loi normale $\mathcal{N}(\mu, \sigma)$ est entièrement caractérisée par :
- A. Sa médiane uniquement
- B. Son mode et sa variance
- C. Son espérance et son écart-type
- D. Sa densité en un point
Réponse
C. Son espérance et son écart-type — La loi normale N(μ, σ) est entièrement déterminée par deux paramètres : l'espérance μ et l'écart-type σ.
On a $X \sim \mathcal{N}(10, 2)$ et $P(X \leq 6) = p$. Alors $P(X \geq 14) =$
- A. $1-p$
- B. $2p$
- C. $p$
- D. $1-2p$
Réponse
C. $p$ — Par symétrie autour de μ = 10 : la distance de 6 à μ est 4 = 2σ, idem pour 14. Donc P(X ≥ 14) = P(X ≤ 6) = p.
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