Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Loi normale
Loi de Gauss, courbe en cloche et intervalles de fluctuation — probabilités continues en Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Paramètres et propriétés de la loi normale
/ 4 pts- Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(25, 4)$.
a) Donner l'espérance et l'écart-type de $X$.
b) Déterminer les valeurs $a$ et $b$ telles que l'intervalle $[a ; b]$, centré en $\mu$, contienne environ 95 % des valeurs de $X$.
c) Donner la valeur de $P(X \leq 25)$ sans calcul. Justifier.
Exercice 2 — Centrage-réduction et calcul de probabilités
/ 6 ptsSoit $X \sim \mathcal{N}(80, 6)$. On donne $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ et $\Phi(2) \approx 0{,}9772$.
- Calculer la valeur centrée réduite de $x_1 = 89$ et de $x_2 = 68$.
- Calculer $P(X \leq 89)$.
- Calculer $P(X \geq 68)$.
- En déduire $P(68 \leq X \leq 89)$.
Exercice 3 — Application : contrôle qualité
/ 6 ptsUne machine remplit des pots de confiture. La masse de confiture (en g) suit $\mathcal{N}(450, 8)$. Un pot est conforme si sa masse est dans $[434 ; 466]$ g. On donne $\Phi(2) \approx 0{,}9772$.
- Montrer que $P(434 \leq X \leq 466) \approx 0{,}9545$.
- Sur une production de 5 000 pots, combien en moyenne sont non conformes ?
- Pour améliorer la qualité, on veut que 99 % des pots soient conformes. En utilisant $P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) \approx 0{,}99$, calculer le nouvel écart-type $\sigma'$ nécessaire (l'intervalle $[434 ; 466]$ et $\mu = 450$ restent inchangés).
Exercice 4 — Trouver un paramètre inconnu
/ 4 ptsSoit $X \sim \mathcal{N}(\mu, 5)$ (écart-type connu, espérance inconnue).
On sait que $P(X \leq 42) = 0{,}1587$. On donne $\Phi(1) \approx 0{,}8413$.
- En utilisant la propriété de symétrie de $\Phi$, montrer que $\dfrac{42 - \mu}{5} = -1$.
- En déduire la valeur de $\mu$.
- Avec cette valeur de $\mu$, calculer $P(X \geq 52)$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Paramètres et propriétés de la loi normale
Corrigé :
a) $\mu = 25$ et $\sigma = 4$. (1 pt)
b) La règle des 95 % donne $[\mu - 2\sigma ; \mu + 2\sigma] = [25 - 8 ; 25 + 8] = [17 ; 33]$. (2 pts)
c) $P(X \leq 25) = 0{,}5$ car $\mu$ est l'axe de symétrie de la courbe en cloche, donc la médiane est égale à la moyenne. (1 pt)
Exercice 2 — Centrage-réduction et calcul de probabilités
Corrigé :
a) $z_1 = \dfrac{89 - 80}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ et $z_2 = \dfrac{68 - 80}{6} = \dfrac{-12}{6} = -2$. (1 pt)
b) $P(X \leq 89) = \Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$. (1 pt)
c) $P(X \geq 68) = 1 - P(X \lt 68) = 1 - \Phi(-2) = 1 - (1 - \Phi(2)) = \Phi(2) \approx 0{,}9772$. (2 pts)
d) $P(68 \leq X \leq 89) = P(X \leq 89) - P(X \lt 68) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-2) = 0{,}9332 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9332 - 0{,}0228 = 0{,}9104$. (2 pts)
Exercice 3 — Application : contrôle qualité
Corrigé :
a) $z_1 = \dfrac{434 - 450}{8} = -2$ et $z_2 = \dfrac{466 - 450}{8} = 2$.
$P(434 \leq X \leq 466) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544 \approx 0{,}9545$. (2 pts)
b) $P(\text{non conforme}) \approx 1 - 0{,}9545 = 0{,}0455$. Nombre de pots non conformes $\approx 5000 \times 0{,}0455 = 227{,}5$, soit environ 228 pots. (2 pts)
c) On veut $\dfrac{16}{\sigma'} = 2{,}58$ (car la demi-largeur de l'intervalle est $466 - 450 = 16$ et $P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) = 0{,}99$).
Donc $\sigma' = \dfrac{16}{2{,}58} \approx 6{,}2$ g. (2 pts)
Exercice 4 — Trouver un paramètre inconnu
Corrigé :
a) $P(X \leq 42) = 0{,}1587 = \Phi\!\left(\dfrac{42-\mu}{5}\right)$.
Or $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
Donc $\dfrac{42-\mu}{5} = -1$. (2 pts)
b) $42 - \mu = -5$, soit $\mu = 47$. (1 pt)
c) Avec $\mu = 47$ : $z = \dfrac{52 - 47}{5} = 1$.
$P(X \geq 52) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$. (1 pt)
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Loi normale » : 4 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Paramètres et propriétés de la loi normale/ 4 pts
- Exercice 2 — Centrage-réduction et calcul de probabilités/ 6 pts
- Exercice 3 — Application : contrôle qualité/ 6 pts
- Exercice 4 — Trouver un paramètre inconnu/ 4 pts
Notions évaluées
Variable aléatoire à densité : rappels, Définition de la loi normale N(μ, σ), La courbe en cloche et ses propriétés de symétrie, La loi normale centrée réduite N(0, 1), Centrage et réduction : passage à N(0, 1), La règle des 68-95-99,7 %.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Loi normale » ?
- 60 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Loi normale » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Variable aléatoire à densité : rappels, Définition de la loi normale N(μ, σ), La courbe en cloche et ses propriétés de symétrie, La loi normale centrée réduite N(0, 1).
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