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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Loi normale

Loi de Gauss, courbe en cloche et intervalles de fluctuation — probabilités continues en Terminale

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Loi normale » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Variable aléatoire à densité : rappels, Définition de la loi normale N(μ, σ), La courbe en cloche et ses propriétés de symétrie, La loi normale centrée réduite N(0, 1). Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Paramètres et propriétés de la loi normale

/ 4 pts
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{N}(25, 4)$.
    a) Donner l'espérance et l'écart-type de $X$.
    b) Déterminer les valeurs $a$ et $b$ telles que l'intervalle $[a ; b]$, centré en $\mu$, contienne environ 95 % des valeurs de $X$.
    c) Donner la valeur de $P(X \leq 25)$ sans calcul. Justifier.

Exercice 2 — Centrage-réduction et calcul de probabilités

/ 6 pts
  1. Soit $X \sim \mathcal{N}(80, 6)$. On donne $\Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$ et $\Phi(2) \approx 0{,}9772$.
  2. a) Calculer la valeur centrée réduite de $x_1 = 89$ et de $x_2 = 68$.
  3. b) Calculer $P(X \leq 89)$.
  4. c) Calculer $P(X \geq 68)$.
  5. d) En déduire $P(68 \leq X \leq 89)$.

Exercice 3 — Application : contrôle qualité

/ 6 pts
  1. Une machine remplit des pots de confiture. La masse de confiture (en g) suit $\mathcal{N}(450, 8)$. Un pot est conforme si sa masse est dans $[434 ; 466]$ g. On donne $\Phi(2) \approx 0{,}9772$.
  2. a) Montrer que $P(434 \leq X \leq 466) \approx 0{,}9545$.
  3. b) Sur une production de 5 000 pots, combien en moyenne sont non conformes ?
  4. c) Pour améliorer la qualité, on veut que 99 % des pots soient conformes. En utilisant $P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) \approx 0{,}99$, calculer le nouvel écart-type $\sigma'$ nécessaire (l'intervalle $[434 ; 466]$ et $\mu = 450$ restent inchangés).

Exercice 4 — Trouver un paramètre inconnu

/ 4 pts
  1. Soit $X \sim \mathcal{N}(\mu, 5)$ (écart-type connu, espérance inconnue).
  2. On sait que $P(X \leq 42) = 0{,}1587$. On donne $\Phi(1) \approx 0{,}8413$.
  3. a) En utilisant la propriété de symétrie de $\Phi$, montrer que $\dfrac{42 - \mu}{5} = -1$.
  4. b) En déduire la valeur de $\mu$.
  5. c) Avec cette valeur de $\mu$, calculer $P(X \geq 52)$.
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Paramètres et propriétés de la loi normale
Corrigé :
a) $\mu = 25$ et $\sigma = 4$. (1 pt)
b) La règle des 95 % donne $[\mu - 2\sigma ; \mu + 2\sigma] = [25 - 8 ; 25 + 8] = [17 ; 33]$. (2 pts)
c) $P(X \leq 25) = 0{,}5$ car $\mu$ est l'axe de symétrie de la courbe en cloche, donc la médiane est égale à la moyenne. (1 pt)

Exercice 2 — Centrage-réduction et calcul de probabilités
Corrigé :
a) $z_1 = \dfrac{89 - 80}{6} = \dfrac{9}{6} = 1{,}5$ et $z_2 = \dfrac{68 - 80}{6} = \dfrac{-12}{6} = -2$. (1 pt)
b) $P(X \leq 89) = \Phi(1{,}5) \approx 0{,}9332$. (1 pt)
c) $P(X \geq 68) = 1 - P(X < 68) = 1 - \Phi(-2) = 1 - (1 - \Phi(2)) = \Phi(2) \approx 0{,}9772$. (2 pts)
d) $P(68 \leq X \leq 89) = P(X \leq 89) - P(X < 68) = \Phi(1{,}5) - \Phi(-2) = 0{,}9332 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9332 - 0{,}0228 = 0{,}9104$. (2 pts)

Exercice 3 — Application : contrôle qualité
Corrigé :
a) $z_1 = \dfrac{434 - 450}{8} = -2$ et $z_2 = \dfrac{466 - 450}{8} = 2$.
$P(434 \leq X \leq 466) = \Phi(2) - \Phi(-2) = 0{,}9772 - (1 - 0{,}9772) = 0{,}9772 - 0{,}0228 = 0{,}9544 \approx 0{,}9545$. (2 pts)
b) $P(\text{non conforme}) \approx 1 - 0{,}9545 = 0{,}0455$. Nombre de pots non conformes $\approx 5000 \times 0{,}0455 = 227{,}5$, soit environ 228 pots. (2 pts)
c) On veut $\dfrac{16}{\sigma'} = 2{,}58$ (car la demi-largeur de l'intervalle est $466 - 450 = 16$ et $P(-2{,}58 \leq Z \leq 2{,}58) = 0{,}99$).
Donc $\sigma' = \dfrac{16}{2{,}58} \approx 6{,}2$ g. (2 pts)

Exercice 4 — Trouver un paramètre inconnu
Corrigé :
a) $P(X \leq 42) = 0{,}1587 = \Phi\!\left(\dfrac{42-\mu}{5}\right)$.
Or $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$.
Donc $\dfrac{42-\mu}{5} = -1$. (2 pts)
b) $42 - \mu = -5$, soit $\mu = 47$. (1 pt)
c) Avec $\mu = 47$ : $z = \dfrac{52 - 47}{5} = 1$.
$P(X \geq 52) = 1 - \Phi(1) \approx 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$. (1 pt)

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