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Échantillonnage et estimation
Intervalles de confiance et fluctuation d'échantillonnage — programme officiel Terminale générale (option Maths complémentaires)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quelle est la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 % pour $n = 100$ ?
- A. $\frac{1}{100}$
- B. $\frac{1}{10}$
- C. $\frac{1}{50}$
- D. $\frac{1}{5}$
Réponse
B. $\frac{1}{10}$ — $\frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10} = 0{,}1$.
La fluctuation d'échantillonnage désigne :
- A. L'erreur systématique d'un sondage
- B. La variabilité des fréquences d'un échantillon à l'autre
- C. La taille minimale d'un sondage
- D. L'écart entre deux sondages consécutifs
Réponse
B. La variabilité des fréquences d'un échantillon à l'autre — La fluctuation est la variabilité naturelle des fréquences due au hasard du tirage.
Pour $f = 0{,}40$ et $n = 400$, la borne supérieure de l'intervalle de confiance à 95 % est :
- A. $0{,}44$
- B. $0{,}45$
- C. $0{,}50$
- D. $0{,}42$
Réponse
B. $0{,}45$ — $0{,}40 + \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}40 + 0{,}05 = 0{,}45$.
Si $n = 2500$, la marge d'erreur à 95 % est :
- A. $5\,\%$
- B. $4\,\%$
- C. $2\,\%$
- D. $1\,\%$
Réponse
C. $2\,\%$ — $\frac{1}{\sqrt{2500}} = \frac{1}{50} = 0{,}02 = 2\,\%$.
La vraie proportion $p$ d'une population est une valeur :
- A. Aléatoire qui change à chaque sondage
- B. Inconnue mais fixe
- C. Toujours égale à la fréquence observée
- D. Comprise entre 0 et 0,5
Réponse
B. Inconnue mais fixe — $p$ est une constante (fixe) mais inconnue. C'est pour l'estimer qu'on fait un sondage.
Quelle taille minimale faut-il pour une marge d'erreur inférieure à $10\,\%$ ?
- A. $n = 50$
- B. $n = 100$
- C. $n = 400$
- D. $n = 1000$
Réponse
B. $n = 100$ — $n \geq \frac{1}{(0{,}10)^2} = 100$.
L'intervalle de confiance à 95 % $[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$ est centré en :
- A. $p$
- B. $f$
- C. $\frac{p+f}{2}$
- D. $\frac{1}{\sqrt{n}}$
Réponse
B. $f$ — L'intervalle de confiance est centré sur la fréquence observée $f$.
Quelle affirmation est vraie concernant la loi des grands nombres ?
- A. $f$ sera exactement égale à $p$ pour $n$ grand
- B. La probabilité $|f-p| \gt \varepsilon$ tend vers 0 quand $n \to \infty$
- C. La fluctuation augmente avec $n$
- D. $p$ change quand $n$ augmente
Réponse
B. La probabilité $|f-p| \gt \varepsilon$ tend vers 0 quand $n \to \infty$ — La loi des grands nombres dit que $P(|F-p|\gt \varepsilon)\to 0$, pas que $f = p$ exactement.
Pour $n = 25$, la demi-largeur de l'intervalle de confiance à 95 % est :
- A. $0{,}04$
- B. $0{,}10$
- C. $0{,}20$
- D. $0{,}25$
Réponse
C. $0{,}20$ — $\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5} = 0{,}20$.
L'écart-type de la variable $F = X/n$ (loi binomiale de paramètres $n$ et $p$) est :
- A. $\sqrt{np(1-p)}$
- B. $\frac{p(1-p)}{n}$
- C. $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
- D. $\frac{1}{n}$
Réponse
C. $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ — $\sigma(F) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$.
La fréquence observée $f$ dans un échantillon est :
- A. La vraie proportion de la population
- B. Une estimation de $p$
- C. Toujours supérieure à $p$
- D. Une valeur certaine
Réponse
B. Une estimation de $p$ — $f$ est une estimation (aléatoire) de la vraie proportion $p$, qui varie d'un échantillon à l'autre.
L'intervalle de fluctuation à 95 % suppose que :
- A. $p$ est inconnue
- B. $f$ est inconnue
- C. $p$ est connue
- D. $n$ est très petit
Réponse
C. $p$ est connue — L'intervalle de fluctuation est construit à partir de $p$ (connue). Il contient $f$ avec probabilité $\geq 95\,\%$.
Niveau moyen — 12 questions
Un sondage de $n = 900$ donne $f = 0{,}55$. L'intervalle de confiance à 95 % est :
- A. $[0{,}517\;; 0{,}583]$
- B. $[0{,}50\;; 0{,}60]$
- C. $[0{,}52\;; 0{,}58]$
- D. $[0{,}48\;; 0{,}62]$
Réponse
A. $[0{,}517\;; 0{,}583]$ — $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$, donc $[0{,}55-0{,}033\;; 0{,}55+0{,}033] \approx [0{,}517\;; 0{,}583]$.
Pour $p = 0{,}3$ et $n = 400$, l'intervalle de fluctuation à 95 % est :
- A. $[0{,}20\;; 0{,}40]$
- B. $[0{,}25\;; 0{,}35]$
- C. $[0{,}27\;; 0{,}33]$
- D. $[0{,}15\;; 0{,}45]$
Réponse
B. $[0{,}25\;; 0{,}35]$ — $\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ donc $[0{,}3-0{,}05\;; 0{,}3+0{,}05] = [0{,}25\;; 0{,}35]$.
Si on multiplie $n$ par 9, la marge d'erreur est divisée par :
- A. $3$
- B. $9$
- C. $\sqrt{3}$
- D. $6$
Réponse
A. $3$ — La marge est $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ; multiplier $n$ par 9 divise la marge par $\sqrt{9} = 3$.
Un sondage donne $f = 0{,}47$ et l'intervalle de confiance à 95 % est $[0{,}42\;; 0{,}52]$. Peut-on affirmer que la majorité ($p \gt 0{,}5$) est atteinte ?
- A. Oui, car $f \gt 0{,}4$
- B. Non, car $0{,}5 \in [0{,}42\;; 0{,}52]$
- C. Oui, car la borne supérieure dépasse $0{,}5$
- D. Non, car $f \lt 0{,}5$
Réponse
B. Non, car $0{,}5 \in [0{,}42\;; 0{,}52]$ — Comme $0{,}50$ est dans l'intervalle de confiance, on ne peut pas conclure à 95 %.
On cherche à tester si $p = 0{,}6$ en observant $f = 0{,}72$ avec $n = 100$. Que conclut-on ?
- A. On ne peut rien conclure
- B. $f$ est dans l'intervalle de fluctuation, donc $p = 0{,}6$ est plausible
- C. $f$ est hors de l'intervalle de fluctuation, donc on remet en cause $p = 0{,}6$
- D. Il faut refaire le sondage
Réponse
C. $f$ est hors de l'intervalle de fluctuation, donc on remet en cause $p = 0{,}6$ — L'intervalle de fluctuation est $[0{,}6-0{,}1\;; 0{,}6+0{,}1] = [0{,}5\;; 0{,}7]$, et $0{,}72 \gt 0{,}7$, donc hors de l'intervalle.
Quelle taille d'échantillon garantit une marge d'erreur inférieure à $2{,}5\,\%$ ?
- A. $n = 1000$
- B. $n = 1500$
- C. $n = 1600$
- D. $n = 2500$
Réponse
C. $n = 1600$ — $n \geq \frac{1}{(0{,}025)^2} = \frac{1}{0{,}000625} = 1600$.
L'espérance de la fréquence $F$ dans un échantillon de taille $n$ de proportion $p$ est :
- A. $\frac{p}{n}$
- B. $p$
- C. $np$
- D. $\frac{1}{n}$
Réponse
B. $p$ — $E(F) = p$ : la fréquence observée est en moyenne égale à la vraie proportion.
Pour $n = 100$ et $p = 0{,}7$, l'écart-type de $F$ est :
- A. $0{,}046$
- B. $0{,}07$
- C. $0{,}21$
- D. $0{,}0046$
Réponse
A. $0{,}046$ — $\sigma(F) = \sqrt{\frac{0{,}7 \times 0{,}3}{100}} = \sqrt{0{,}0021} \approx 0{,}046$.
Un sondage de $n = 400$ donne $f = 0{,}28$. La borne inférieure de l'intervalle de confiance à 95 % est :
- A. $0{,}23$
- B. $0{,}24$
- C. $0{,}25$
- D. $0{,}26$
Réponse
A. $0{,}23$ — $0{,}28 - \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}28 - 0{,}05 = 0{,}23$.
L'intervalle de confiance à 95 % garantit que :
- A. La vraie proportion $p$ est toujours dans l'intervalle
- B. $p$ est dans l'intervalle dans environ 95 % des cas (si l'on répète)
- C. La fréquence $f$ est dans l'intervalle à 95 %
- D. $p = f$ avec probabilité 95 %
Réponse
B. $p$ est dans l'intervalle dans environ 95 % des cas (si l'on répète) — C'est l'intervalle (pas $p$) qui est aléatoire : 95 % des intervalles construits de cette façon contiendraient $p$.
Pour avoir une marge d'erreur deux fois plus petite, il faut :
- A. Doubler la taille de l'échantillon
- B. Quadrupler la taille de l'échantillon
- C. Diviser la taille par 2
- D. Diviser la taille par 4
Réponse
B. Quadrupler la taille de l'échantillon — La marge est $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ; la diviser par 2 revient à multiplier $n$ par 4.
Quelle condition est requise pour utiliser la formule $f \pm \frac{1}{\sqrt{n}}$ ?
- A. $n \lt 30$
- B. $n \geq 30$ et $f \notin \{0, 1\}$
- C. $p = 0{,}5$ exactement
- D. $f = 0{,}5$
Réponse
B. $n \geq 30$ et $f \notin \{0, 1\}$ — Il faut $n \geq 30$ (pour l'approximation normale) et $f \notin \{0, 1\}$ (sinon la variance est nulle).
Niveau difficile — 13 questions
On observe $f = 0{,}18$ avec $n = 2500$. L'intervalle de confiance à 95 % est :
- A. $[0{,}16\;; 0{,}20]$
- B. $[0{,}178\;; 0{,}182]$
- C. $[0{,}15\;; 0{,}21]$
- D. $[0{,}14\;; 0{,}22]$
Réponse
A. $[0{,}16\;; 0{,}20]$ — $\frac{1}{\sqrt{2500}} = 0{,}02$ donc $[0{,}18-0{,}02\;; 0{,}18+0{,}02] = [0{,}16\;; 0{,}20]$.
Un fabricant affirme $p = 0{,}01$. Dans $n = 10\,000$ articles, on trouve $f = 0{,}015$. La valeur $f$ est-elle dans l'intervalle de fluctuation à 95 % ?
- A. Oui, car $|f - p| \lt \frac{1}{\sqrt{n}}$
- B. Non, car $f \gt p$
- C. Oui, mais c'est une coïncidence
- D. Non, car $n$ est trop grand
Réponse
A. Oui, car $|f - p| \lt \frac{1}{\sqrt{n}}$ — $\frac{1}{\sqrt{10000}} = 0{,}01$, intervalle $[0\;; 0{,}02]$. $0{,}015 \in [0\;; 0{,}02]$, donc oui.
Pour estimer $p$ avec une marge $\leq 0{,}5\,\%$, quelle taille minimale faut-il ?
- A. $n = 10\,000$
- B. $n = 20\,000$
- C. $n = 40\,000$
- D. $n = 50\,000$
Réponse
C. $n = 40\,000$ — $n \geq \frac{1}{(0{,}005)^2} = \frac{1}{0{,}000025} = 40\,000$.
Deux sondages donnent des intervalles de confiance à 95 % qui ne se chevauchent pas. Que peut-on conclure ?
- A. Rien, c'est normal
- B. Les deux estimations sont incompatibles au niveau 95 %
- C. Il faut refaire les deux sondages
- D. L'un des sondages est invalide
Réponse
B. Les deux estimations sont incompatibles au niveau 95 % — Si les deux intervalles ne se chevauchent pas, les deux estimations de $p$ sont statistiquement incompatibles à 95 %.
On sait que $p(1-p) \leq \frac{1}{4}$ pour tout $p \in [0,1]$. À quoi sert ce résultat dans la construction de l'intervalle de confiance ?
- A. À montrer que $p = 0{,}5$ est le cas le plus favorable
- B. À majorer l'écart-type $\sigma(F) \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$ dans tous les cas
- C. À minorer la marge d'erreur
- D. À prouver que $f = 0{,}5$ en moyenne
Réponse
B. À majorer l'écart-type $\sigma(F) \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$ dans tous les cas — Puisque $p(1-p) \leq 1/4$, on a $\sigma(F) \leq \frac{1}{2\sqrt{n}}$. Avec le facteur 2 de l'approximation normale, on obtient la marge $\frac{1}{\sqrt{n}}$ valable quelle que soit $p$.
Un sondage à $n = 1000$ donne $f = 0{,}48$. L'intervalle de confiance à 95 % est $[0{,}448\;; 0{,}512]$. Peut-on dire que le candidat est majoritaire ?
- A. Oui, car $f \gt 0{,}45$
- B. Non, car $0{,}50 \in [0{,}448\;; 0{,}512]$
- C. Oui, car la borne supérieure dépasse 50 %
- D. Non, car $f \lt 0{,}5$
Réponse
B. Non, car $0{,}50 \in [0{,}448\;; 0{,}512]$ — $0{,}50 \in [0{,}448\;; 0{,}512]$, donc on ne peut pas conclure à 95 % que $p \gt 0{,}5$.
On double la taille d'un échantillon. L'écart-type de $F$ est multiplié par :
- A. $\frac{1}{2}$
- B. $2$
- C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$
- D. $\sqrt{2}$
Réponse
C. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ — $\sigma(F) = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$ ; si $n \to 2n$, $\sigma \to \sqrt{\frac{p(1-p)}{2n}} = \frac{\sigma}{\sqrt{2}}$.
Dans un intervalle de confiance à 95 % $[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\;; f + \frac{1}{\sqrt{n}}]$, si $n$ augmente, que se passe-t-il ?
- A. L'intervalle s'élargit
- B. L'intervalle se resserre
- C. $f$ augmente
- D. $p$ diminue
Réponse
B. L'intervalle se resserre — Quand $n$ augmente, $\frac{1}{\sqrt{n}}$ diminue, donc l'intervalle se resserre autour de $f$ : l'estimation devient plus précise.
La variable $Z = \frac{F - p}{\sqrt{p(1-p)/n}}$ suit approximativement :
- A. Une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$
- B. Une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$
- C. Une loi uniforme sur $[0,1]$
- D. Une loi exponentielle
Réponse
B. Une loi normale $\mathcal{N}(0,1)$ — Par le théorème central limite, $Z$ suit approximativement $\mathcal{N}(0,1)$ pour $n$ grand.
Si on veut que $|f - p| \leq 0{,}02$ avec probabilité $\geq 95\,\%$, quelle condition faut-il sur $n$ ?
- A. $n \geq 100$
- B. $n \geq 1000$
- C. $n \geq 2500$
- D. $n \geq 50$
Réponse
C. $n \geq 2500$ — $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}02 \Leftrightarrow n \geq \frac{1}{0{,}0004} = 2500$.
Un intervalle de confiance à 95 % qui ne contient pas $0{,}5$ signifie :
- A. Que $p = 0{,}5$ avec certitude
- B. Qu'on peut affirmer $p \neq 0{,}5$ au niveau 95 %
- C. Que l'estimation est incorrecte
- D. Que $p \gt 0{,}5$ avec certitude
Réponse
B. Qu'on peut affirmer $p \neq 0{,}5$ au niveau 95 % — Si $0{,}5 \notin I_c$, on peut rejeter l'hypothèse $p = 0{,}5$ au niveau de confiance 95 %.
Pour $p = 0{,}9$ et $n = 100$, la condition $0{,}05 \leq p \leq 0{,}95$ est :
- A. Non vérifiée, car $p = 0{,}9 \lt 0{,}95$
- B. Vérifiée, car $0{,}05 \leq 0{,}9 \leq 0{,}95$
- C. Non vérifiée, car $p$ est trop grand
- D. Vérifiée seulement si $n \gt 200$
Réponse
B. Vérifiée, car $0{,}05 \leq 0{,}9 \leq 0{,}95$ — $0{,}05 \leq 0{,}9 \leq 0{,}95$ est bien vérifiée : la condition porte sur les bornes de l'intervalle.
Un sondage de $n = 400$ donne $f = 0{,}50$. La valeur $p = 0{,}44$ est-elle dans l'intervalle de confiance à 95 % ?
- A. Oui, car $p$ est proche de $f$
- B. Non, car $|f - p| = 0{,}06 \gt \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$
- C. Oui, car $p \lt f$
- D. Non, car $f = 0{,}5$ exactement
Réponse
B. Non, car $|f - p| = 0{,}06 \gt \frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$ — $|0{,}50 - 0{,}44| = 0{,}06 \gt 0{,}05 = \frac{1}{\sqrt{400}}$, donc $p = 0{,}44 \notin [0{,}45\;; 0{,}55]$.
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