Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Échantillonnage et estimation
Intervalles de confiance et fluctuation d'échantillonnage — programme officiel Terminale générale (option Maths complémentaires)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de fluctuation
/ 4 pts- Une usine affirme que la proportion de pièces défectueuses est $p = 0{,}04$. Un contrôleur prélève un échantillon de $n = 625$ pièces.
- 1. Calculer la demi-largeur $\frac{1}{\sqrt{n}}$ de l'intervalle de fluctuation à 95 %.
- 2. Déterminer l'intervalle de fluctuation $I_f$ à 95 %.
- 3. Le contrôleur observe $f = 0{,}06$ pièces défectueuses. Que peut-il conclure ?
Exercice 2 — Construction et lecture d'un intervalle de confiance
/ 5 pts- Un sondage réalisé auprès de $n = 1600$ lycéens indique que $f = 0{,}38$ pratiquent un sport en compétition.
- 1. Calculer la marge d'erreur $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
- 2. Construire l'intervalle de confiance $I_c$ à 95 % pour la proportion $p$.
- 3. Peut-on affirmer à 95 % que moins de 40 % des lycéens pratiquent un sport en compétition ? Justifier.
Exercice 3 — Taille d'échantillon et précision
/ 4 pts- Un institut de sondage souhaite estimer la proportion de personnes favorables à une nouvelle loi.
- 1. Quelle taille minimale $n$ faut-il pour obtenir une marge d'erreur inférieure à $3\,\%$ ?
- 2. On dispose d'un budget permettant d'interroger au maximum $n = 500$ personnes. Quelle est la marge d'erreur maximale à 95 % pour cet échantillon ? (Arrondir au millième.)
- 3. Si la taille de l'échantillon passe de $n = 400$ à $n = 1600$, par quel facteur la marge d'erreur est-elle divisée ?
Exercice 4 — Analyse d'un sondage électoral
/ 4 pts- Avant un vote, un sondage de $n = 900$ personnes donne $f = 0{,}53$ en faveur d'une proposition.
- 1. Calculer l'intervalle de confiance à 95 % (donner les bornes arrondies au millième).
- 2. La proposition sera adoptée si elle obtient strictement plus de $50\,\%$ des voix. Peut-on affirmer à 95 % qu'elle sera adoptée ? Justifier.
- 3. Si un second sondage de $n = 3600$ personnes donne le même résultat $f = 0{,}53$, reconstruire l'intervalle de confiance. La conclusion change-t-elle ?
Exercice 5 — Synthèse — Test d'une proportion
/ 3 pts- Un test médical est supposé positif pour $p = 0{,}15$ des patients non malades (faux positifs). Sur un échantillon de $n = 400$ patients non malades, on obtient $f = 0{,}20$ de faux positifs.
- 1. Construire l'intervalle de fluctuation à 95 % (pour $p = 0{,}15$ et $n = 400$).
- 2. La valeur $f = 0{,}20$ est-elle dans cet intervalle ? Que conclut-on ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de fluctuation
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0{,}04$.
2. $I_f = [0{,}04 - 0{,}04\;; 0{,}04 + 0{,}04] = [0\;; 0{,}08]$.
3. $f = 0{,}06 \in [0\;; 0{,}08]$, donc la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation à 95 %. La valeur $p = 0{,}04$ n'est pas remise en cause : la fréquence observée est compatible avec l'affirmation de l'usine.
Exercice 2 — Construction et lecture d'un intervalle de confiance
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{1600}} = \frac{1}{40} = 0{,}025$.
2. $I_c = [0{,}38 - 0{,}025\;; 0{,}38 + 0{,}025] = [0{,}355\;; 0{,}405]$.
3. La borne supérieure est $0{,}405 \gt 0{,}40$, donc $p = 0{,}40$ appartient à l'intervalle de confiance. On ne peut pas affirmer à 95 % que $p \lt 0{,}40$ : la valeur $40\,\%$ est compatible avec les données.
Exercice 3 — Taille d'échantillon et précision
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}03 \Leftrightarrow n \geq \frac{1}{(0{,}03)^2} \approx 1111$, donc $n \geq 1112$.
2. $\frac{1}{\sqrt{500}} \approx \frac{1}{22{,}4} \approx 0{,}045$ soit une marge de $4{,}5\,\%$.
3. $\frac{1/\sqrt{400}}{1/\sqrt{1600}} = \frac{\sqrt{1600}}{\sqrt{400}} = \frac{40}{20} = 2$ : la marge est divisée par 2.
Exercice 4 — Analyse d'un sondage électoral
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$. Intervalle : $[0{,}53 - 0{,}033\;; 0{,}53 + 0{,}033] = [0{,}497\;; 0{,}563]$.
2. $0{,}50 \in [0{,}497\;; 0{,}563]$, donc on ne peut pas affirmer à 95 % que $p \gt 0{,}50$. La borne inférieure $0{,}497$ est légèrement inférieure à $0{,}50$.
3. $\frac{1}{\sqrt{3600}} = \frac{1}{60} \approx 0{,}017$. Intervalle : $[0{,}513\;; 0{,}547]$. Désormais $0{,}50 \notin [0{,}513\;; 0{,}547]$, donc on peut affirmer à 95 % que la proposition sera adoptée.
Exercice 5 — Synthèse — Test d'une proportion
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$. Intervalle de fluctuation : $[0{,}15 - 0{,}05\;; 0{,}15 + 0{,}05] = [0{,}10\;; 0{,}20]$.
2. $f = 0{,}20$ est à la borne supérieure de l'intervalle, donc encore dans $[0{,}10\;; 0{,}20]$. Au niveau 95 %, on n'a pas de raison statistique de rejeter l'hypothèse $p = 0{,}15$ : la fréquence de faux positifs observée reste compatible avec la valeur annoncée par le test.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Échantillonnage et estimation » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de fluctuation/ 4 pts
- Exercice 2 — Construction et lecture d'un intervalle de confiance/ 5 pts
- Exercice 3 — Taille d'échantillon et précision/ 4 pts
- Exercice 4 — Analyse d'un sondage électoral/ 4 pts
- Exercice 5 — Synthèse — Test d'une proportion/ 3 pts
Notions évaluées
Population, échantillon et proportion, Fluctuation d'échantillonnage, Loi des grands nombres et convergence, Intervalle de fluctuation à 95 %, Intervalle de confiance à 95 %, Utilisation de la loi normale dans l'estimation.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (37 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Échantillonnage et estimation » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Échantillonnage et estimation » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Population, échantillon et proportion, Fluctuation d'échantillonnage, Loi des grands nombres et convergence, Intervalle de fluctuation à 95 %.
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