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Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Échantillonnage et estimation

Intervalles de confiance et fluctuation d'échantillonnage — programme officiel Terminale générale (option Maths complémentaires)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Échantillonnage et estimation » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Population, échantillon et proportion, Fluctuation d'échantillonnage, Loi des grands nombres et convergence, Intervalle de fluctuation à 95 %. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de fluctuation

/ 4 pts
  1. Une usine affirme que la proportion de pièces défectueuses est $p = 0{,}04$. Un contrôleur prélève un échantillon de $n = 625$ pièces.
  2. 1. Calculer la demi-largeur $\frac{1}{\sqrt{n}}$ de l'intervalle de fluctuation à 95 %.
  3. 2. Déterminer l'intervalle de fluctuation $I_f$ à 95 %.
  4. 3. Le contrôleur observe $f = 0{,}06$ pièces défectueuses. Que peut-il conclure ?

Exercice 2 — Construction et lecture d'un intervalle de confiance

/ 5 pts
  1. Un sondage réalisé auprès de $n = 1600$ lycéens indique que $f = 0{,}38$ pratiquent un sport en compétition.
  2. 1. Calculer la marge d'erreur $\frac{1}{\sqrt{n}}$.
  3. 2. Construire l'intervalle de confiance $I_c$ à 95 % pour la proportion $p$.
  4. 3. Peut-on affirmer à 95 % que moins de 40 % des lycéens pratiquent un sport en compétition ? Justifier.

Exercice 3 — Taille d'échantillon et précision

/ 4 pts
  1. Un institut de sondage souhaite estimer la proportion de personnes favorables à une nouvelle loi.
  2. 1. Quelle taille minimale $n$ faut-il pour obtenir une marge d'erreur inférieure à $3\,\%$ ?
  3. 2. On dispose d'un budget permettant d'interroger au maximum $n = 500$ personnes. Quelle est la marge d'erreur maximale à 95 % pour cet échantillon ? (Arrondir au millième.)
  4. 3. Si la taille de l'échantillon passe de $n = 400$ à $n = 1600$, par quel facteur la marge d'erreur est-elle divisée ?

Exercice 4 — Analyse d'un sondage électoral

/ 4 pts
  1. Avant un vote, un sondage de $n = 900$ personnes donne $f = 0{,}53$ en faveur d'une proposition.
  2. 1. Calculer l'intervalle de confiance à 95 % (donner les bornes arrondies au millième).
  3. 2. La proposition sera adoptée si elle obtient strictement plus de $50\,\%$ des voix. Peut-on affirmer à 95 % qu'elle sera adoptée ? Justifier.
  4. 3. Si un second sondage de $n = 3600$ personnes donne le même résultat $f = 0{,}53$, reconstruire l'intervalle de confiance. La conclusion change-t-elle ?

Exercice 5 — Synthèse — Test d'une proportion

/ 3 pts
  1. Un test médical est supposé positif pour $p = 0{,}15$ des patients non malades (faux positifs). Sur un échantillon de $n = 400$ patients non malades, on obtient $f = 0{,}20$ de faux positifs.
  2. 1. Construire l'intervalle de fluctuation à 95 % (pour $p = 0{,}15$ et $n = 400$).
  3. 2. La valeur $f = 0{,}20$ est-elle dans cet intervalle ? Que conclut-on ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Fluctuation d'échantillonnage et intervalle de fluctuation
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{625}} = \frac{1}{25} = 0{,}04$.
2. $I_f = [0{,}04 - 0{,}04\;; 0{,}04 + 0{,}04] = [0\;; 0{,}08]$.
3. $f = 0{,}06 \in [0\;; 0{,}08]$, donc la fréquence observée est dans l'intervalle de fluctuation à 95 %. La valeur $p = 0{,}04$ n'est pas remise en cause : la fréquence observée est compatible avec l'affirmation de l'usine.

Exercice 2 — Construction et lecture d'un intervalle de confiance
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{1600}} = \frac{1}{40} = 0{,}025$.
2. $I_c = [0{,}38 - 0{,}025\;; 0{,}38 + 0{,}025] = [0{,}355\;; 0{,}405]$.
3. La borne supérieure est $0{,}405 > 0{,}40$, donc $p = 0{,}40$ appartient à l'intervalle de confiance. On ne peut pas affirmer à 95 % que $p < 0{,}40$ : la valeur $40\,\%$ est compatible avec les données.

Exercice 3 — Taille d'échantillon et précision
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{n}} \leq 0{,}03 \Leftrightarrow n \geq \frac{1}{(0{,}03)^2} \approx 1111$, donc $n \geq 1112$.
2. $\frac{1}{\sqrt{500}} \approx \frac{1}{22{,}4} \approx 0{,}045$ soit une marge de $4{,}5\,\%$.
3. $\frac{1/\sqrt{400}}{1/\sqrt{1600}} = \frac{\sqrt{1600}}{\sqrt{400}} = \frac{40}{20} = 2$ : la marge est divisée par 2.

Exercice 4 — Analyse d'un sondage électoral
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{900}} = \frac{1}{30} \approx 0{,}033$. Intervalle : $[0{,}53 - 0{,}033\;; 0{,}53 + 0{,}033] = [0{,}497\;; 0{,}563]$.
2. $0{,}50 \in [0{,}497\;; 0{,}563]$, donc on ne peut pas affirmer à 95 % que $p > 0{,}50$. La borne inférieure $0{,}497$ est légèrement inférieure à $0{,}50$.
3. $\frac{1}{\sqrt{3600}} = \frac{1}{60} \approx 0{,}017$. Intervalle : $[0{,}513\;; 0{,}547]$. Désormais $0{,}50 \notin [0{,}513\;; 0{,}547]$, donc on peut affirmer à 95 % que la proposition sera adoptée.

Exercice 5 — Synthèse — Test d'une proportion
Corrigé :
1. $\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05$. Intervalle de fluctuation : $[0{,}15 - 0{,}05\;; 0{,}15 + 0{,}05] = [0{,}10\;; 0{,}20]$.
2. $f = 0{,}20$ est à la borne supérieure de l'intervalle, donc encore dans $[0{,}10\;; 0{,}20]$. Au niveau 95 %, on n'a pas de raison statistique de rejeter l'hypothèse $p = 0{,}15$ : la fréquence de faux positifs observée reste compatible avec la valeur annoncée par le test.

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