Gravitation universelle

Exercice 1 — Connaître les lois fondamentales
1. Loi de gravitation universelle de Newton :
Deux corps ponctuels de masses m_A et m_B, séparés d'une distance d, s'attirent mutuellement avec des forces de même intensité :
F = G × m_A × m_B / d²
Cette force est toujours attractive, à distance, et s'applique à tous les corps ayant une masse.

2. Valeur de la constante G :
G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻²
C'est une constante universelle, identique partout dans l'Univers.

3. Différence masse / poids :

• La masse (symbole m) est la quantité de matière d'un objet. Elle est invariante (la même partout dans l'Univers). Unité : kilogramme (kg). Elle se mesure avec une balance.
• Le poids (symbole P) est la force gravitationnelle exercée par un astre sur l'objet. Il dépend du lieu (de l'astre et de l'altitude). Unité : newton (N). Il se mesure avec un dynamomètre.

4. Formule du poids :
P = m × g
où P est le poids (N), m la masse (kg) et g l'intensité de pesanteur locale (N/kg).

Exercice 2 — Calculs de forces gravitationnelles
1. Calcul de g à la surface de la Terre :
g = G × M_T / R_T²
g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 6,0 × 10²⁴ / (6,4 × 10⁶)²
g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 6,0 × 10²⁴ / 4,096 × 10¹³
g = 4,002 × 10¹⁴ / 4,096 × 10¹³
g ≈ 9,8 N/kg ✓ (conforme à la valeur connue)

2. Poids d'une personne de 70 kg :
• Sur Terre : P_T = m × g_T = 70 × 9,8 = 686 N
• Sur Mars : P_Mars = m × g_Mars = 70 × 3,7 = 259 N
• Comparaison : le poids sur Mars est environ 2,6 fois plus faible que sur Terre. La masse reste 70 kg dans les deux cas.

3. Force gravitationnelle entre les deux astéroïdes :
F = G × m_A × m_B / d²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (5 × 10¹²) × (5 × 10¹²) / (2 × 10⁵)²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 25 × 10²⁴ / 4 × 10¹⁰
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 6,25 × 10¹⁴
F ≈ 4,17 × 10⁴ N ≈ 41 700 N

4. Quand la distance est ramenée à 100 km (divisée par 2) :
La loi en carré inverse dit : F ∝ 1/d². Si d est divisé par 2, d² est divisé par 4, donc la force est multipliée par 4.
Nouvelle force ≈ 4 × 41 700 ≈ 166 800 N.
Justification : F = G m_A m_B / d² → si d → d/2, d² → d²/4 → F → 4F.

Exercice 3 — Représentation des forces
1. Forces sur la bille posée sur la table :
Deux forces s'exercent sur la bille à l'équilibre :

• Le poids P : point d'application = centre de la bille ; direction = verticale ; sens = vers le bas (vers le centre de la Terre). P = m × g = 0,2 × 10 = 2 N. Représenté par un vecteur ↓ au centre de la bille.
• La réaction normale du support R : point d'application = centre de la bille ; direction = verticale ; sens = vers le haut. R = 2 N (pour l'équilibre). Représenté par un vecteur ↑ au centre de la bille.

Les deux forces sont égales, opposées, colinéaires → bille en équilibre.

2. Force de gravitation :
La force de gravitation exercée par la Terre sur la bille est le poids P.
P = m × g = 0,2 × 10 = 2 N, dirigée verticalement vers le bas.

3. Bille en chute libre :
En chute libre, la bille n'est plus en contact avec la table : la réaction du support disparaît.
La seule force exercée sur la bille est son poids P = 2 N, dirigé verticalement vers le bas.
D'après le principe fondamental de la dynamique, une force non compensée provoque une accélération dans la même direction et le même sens. La bille accélère donc vers le bas (accélération g ≈ 10 m/s²).

Exercice 4 — Satellite en orbite
1. Satellite artificiel :
Un satellite artificiel est un objet fabriqué par l'Homme, placé en orbite autour d'un astre (généralement la Terre) par une fusée, et maintenu sur cette orbite par la seule gravitation (sans propulsion continue).
Exemple : l'ISS (Station spatiale internationale), les satellites météo, les satellites GPS.

2. Rôle de la force gravitationnelle :
Pour un satellite en orbite circulaire, la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite joue le rôle de force centripète : elle est constamment dirigée vers le centre de la Terre (vers le centre de l'orbite), perpendiculairement à la vitesse du satellite. Elle courbe la trajectoire sans modifier la valeur de la vitesse, maintenant ainsi le satellite sur son orbite circulaire.

3. Satellite géostationnaire :
Pour rester fixe par rapport à la surface de la Terre, le satellite géostationnaire doit avoir la même période de révolution que la Terre, soit T = 24 heures.
Il se situe à une altitude d'environ 36 000 km (≈ 3,6 × 10⁷ m) au-dessus de la surface terrestre.

4. Deux utilisations concrètes :

• Retransmission de signaux de télévision (TV par satellite)
• Télécommunications téléphoniques longue distance / Internet par satellite
• (Autre acceptée : météorologie / observation de la Terre en continu)

Exercice 5 — Analyse et raisonnement
1. Erreur de l'élève sur l'ISS :
L'affirmation est inexacte à deux niveaux :

• L'ISS n'est pas « loin » de la Terre : elle orbite à seulement 400 km d'altitude, là où g ≈ 8,6 N/kg. Un astronaute de 80 kg y a encore un poids d'environ 688 N — son poids n'est pas nul.
• Les astronautes ressentent l'apesanteur non parce que le poids est nul, mais parce que l'ISS et ses occupants sont en chute libre simultanée autour de la Terre (orbite = chute libre courbe continue). Comme tout tombe ensemble, aucune réaction du support ne s'exerce sur les astronautes : ils flottent.

Conclusion : c'est la chute libre, et non l'absence de gravitation, qui explique l'apesanteur dans l'ISS.

2. Marées et distance Terre-Lune :
La force gravitationnelle de la Lune sur les océans est donnée par F = G × M_Lune × m / d². Plus la Lune est proche (d plus petit), plus F est grande (inversement proportionnelle à d²). Cette force plus intense soulève davantage la masse d'eau, provoquant des marées de plus grande amplitude. Quand la Lune est plus éloignée, la force est plus faible et les marées sont moins importantes.

3. Prévision de g pour Jupiter :
g = G × M / R². Jupiter est 318 fois plus massive que la Terre (× 318 au numérateur) et son rayon est 11 fois plus grand (× 11 au dénominateur → × 121 après mise au carré).
g_Jupiter / g_Terre ≈ 318 / 121 ≈ 2,6
g à la surface de Jupiter est environ 2,6 fois plus grand que sur Terre (≈ 24,8 N/kg). L'effet de la grande masse l'emporte sur l'effet du grand rayon.