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Gravitation : l’attraction universelle
L’interaction gravitationnelle entre deux masses et ses deux forces, le calcul d’une force avec la loi de gravitation universelle fournie, ce qui fait varier la force (masses, carré de la distance), le poids vu comme la gravitation de l’astre, et le rôle de la gravitation dans le mouvement des astres et des satellites.
À propos de cette page
Deux masses s’attirent : l’interaction gravitationnelle
Une pomme tombe, la Lune tourne autour de la Terre, la Terre autour du Soleil : derrière ces trois mouvements, une seule et même action, la gravitation.
• L’interaction entre deux objets A et B se modélise par deux forces : FA/B, exercée par A sur B, et FB/A, exercée par B sur A.
• Ces deux forces ont la même direction (la droite qui joint les centres de A et B), des sens opposés (chacune est dirigée vers l’autre objet) et la même valeur. Chacune s’applique au centre de l’objet qui la subit.
• Même valeur ne veut pas dire même effet : plus la masse d’un objet est grande, plus sa vitesse change lentement sous l’action d’une force (inertie). C’est pourquoi la pomme tombe vers la Terre, alors que la Terre ne bouge presque pas vers la pomme (« Forces : modéliser une action et prévoir le mouvement »).
Les deux forces de l’interaction Terre-Lune
| FA/B (exercée par A sur B) | FB/A (exercée par B sur A) | |
|---|---|---|
| point d’application | le centre de B | le centre de A |
| direction | la droite qui joint les centres de A et B | la même droite |
| sens | de B vers A | de A vers B |
| valeur | F | la même valeur F |
Sur un schéma, les deux flèches ont donc la même longueur, sur la même droite, et pointent l’une vers l’autre. Chaque flèche part du centre de l’objet qui subit la force.
Une idée de Newton
Dans ses Principes mathématiques de la philosophie naturelle, publiés en 1687, Isaac Newton affirme que la force qui fait tomber les objets sur Terre est la même que celle qui retient la Lune autour de la Terre et les planètes autour du Soleil. C’est pour cela qu’on parle de gravitation universelle : les mêmes lois valent sur Terre et dans le ciel.
Une enclume. La Terre attire une enclume de 40 kg avec une force d’environ 390 N ; l’enclume attire la Terre avec une force d’environ 390 N aussi, appliquée au centre de la Terre et dirigée vers l’enclume.
Le Soleil et Jupiter. FSoleil/Jupiter s’applique au centre de Jupiter et est dirigée vers le Soleil ; FJupiter/Soleil s’applique au centre du Soleil et est dirigée vers Jupiter. Les deux ont la même valeur.
Deux livres sur une table. Ils s’attirent aussi, mais la force est si faible (partie 2) qu’elle ne les fait pas bouger : les frottements de la table l’emportent largement.
Réflexe — pour décrire FA/B : point d’application au centre de B, direction la droite des centres, sens de B vers A, valeur la même que celle de FB/A.
Attention — « la Terre, plus massive, attire la pomme plus fort que la pomme n’attire la Terre » est faux : les deux forces ont la même valeur. Ce qui diffère, c’est leur effet sur chacun des deux objets.
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Calculer une force de gravitation avec la loi de Newton
Newton ne s’est pas contenté de dire que deux masses s’attirent : il a donné la formule qui calcule la valeur de cette force. Au collège, la formule est toujours donnée ; il faut savoir l’utiliser.
• Unités : F en newtons (N), les masses en kilogrammes (kg), d en mètres (m) ; G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² est la constante de gravitation universelle, la même partout dans l’Univers.
• d est la distance entre les centres des deux objets. La formule s’applique aux objets en forme de boule (astres, boules) ou très petits devant la distance qui les sépare.
• G est minuscule : entre deux objets de la vie courante, la force est infime. Elle devient importante dès qu’un des deux objets a une masse d’astre.
La rédaction : la force entre la Terre et la Lune
Données : masse de la Terre 5,97 × 10²⁴ kg ; masse de la Lune 7,35 × 10²² kg ; distance entre leurs centres 384 000 km, soit 3,84 × 10⁸ m.
F = G × mA × mB ÷ d²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 7,35 × 10²² ÷ (3,84 × 10⁸)²
F ≈ 2,0 × 10²⁰ N.
À la calculatrice, 10⁻¹¹ se tape avec la touche « ×10x » ou « EE » : 6.67E-11. On met le dénominateur entre parenthèses et l’on n’oublie pas le carré.
Avant de calculer : les conversions
| Donnée de l’énoncé | Conversion | Valeur à utiliser |
|---|---|---|
| distance en kilomètres | 1 km = 1 000 m = 10³ m | 384 000 km = 3,84 × 10⁸ m |
| masse en tonnes | 1 t = 1 000 kg | 2,5 t = 2 500 kg |
| objet à une altitude h au-dessus d’un astre de rayon R | distance au centre de l’astre | d = R + h |
Rappel sur les puissances de 10 : 10³ × 10⁸ = 10¹¹ (on ajoute les exposants) ; (10⁸)² = 10¹⁶ (on double l’exposant).
L’expérience de Cavendish (1798). Henry Cavendish mesure en laboratoire l’attraction entre une grosse boule de plomb de 158 kg et une petite de 0,73 kg, dont les centres sont à une vingtaine de centimètres. Avec d ≈ 0,22 m : F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 158 × 0,73 ÷ 0,22² ≈ 1,6 × 10⁻⁷ N, plusieurs dizaines de millions de fois moins que le poids de la petite boule (0,73 × 9,8 ≈ 7,2 N).
Une sonde de 1 200 kg à 10 000 km du centre de la Terre. d = 10 000 km = 10⁷ m ; F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 1 200 ÷ (10⁷)² ≈ 4,8 × 10³ N.
Ordre de grandeur. Pour des objets de quelques kilogrammes à un mètre l’un de l’autre, F est de l’ordre de 10⁻⁹ N : on ne la sent jamais.
Réflexe — je convertis les masses en kg et la distance en m (entre les centres), j’écris la formule, je remplace, je calcule avec le carré de d, j’écris le résultat en notation scientifique avec l’unité N.
Attention — trois erreurs fréquentes : oublier d’élever d au carré, garder d en kilomètres, et prendre la distance entre les surfaces au lieu de la distance entre les centres.
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Ce qui fait varier la force de gravitation
Sans calculer la force elle-même, la formule permet de prévoir comment elle change quand une masse ou la distance change.
• Elle est inversement proportionnelle au carré de la distance : si la distance est multipliée par k, la force est divisée par k².
• Si plusieurs grandeurs changent, on multiplie les effets les uns par les autres.
• Quand la distance augmente, la force diminue très vite, mais elle ne devient jamais nulle : la gravitation agit à toute distance.
Le tableau des effets
| Si l’on… | alors F est… | pourquoi |
|---|---|---|
| multiplie une des masses par 3 | multipliée par 3 | F est proportionnelle à chaque masse |
| multiplie les deux masses par 2 | multipliée par 4 | 2 × 2 = 4 |
| multiplie la distance par 2 | divisée par 4 | 2² = 4 |
| multiplie la distance par 3 | divisée par 9 | 3² = 9 |
| divise la distance par 2 | multipliée par 4 | le carré de la distance est divisé par 4 |
Une sonde qui s’éloigne de la Terre
Au sol, à 1 rayon terrestre du centre, la Terre attire la sonde avec 4 000 N. À 2 rayons du centre (distance × 2), la force est divisée par 4 : 1 000 N. À 4 rayons (distance × 4), elle est divisée par 16 : 250 N. La courbe n’est pas une droite : la force baisse d’abord vite, puis de plus en plus lentement.
Une masse change. Un astéroïde deux fois plus massif, à la même distance du Soleil, est attiré deux fois plus fort.
La distance change. Une sonde passe de 54 000 km à 18 000 km du centre d’une planète : la distance est divisée par 3, la force est multipliée par 3² = 9.
Deux changements. On triple une des masses et on triple la distance : × 3 pour la masse, ÷ 9 pour la distance ; au total, 3 ÷ 9 = 1/3, la force est divisée par 3.
Réflexe — je cherche par combien chaque grandeur est multipliée : une masse × k → force × k ; la distance × k → force ÷ k² ; puis je combine.
Attention — distance doublée ne veut pas dire force divisée par 2, mais par 4. Et la distance se compte depuis le centre de l’astre : un satellite qui monte à une altitude égale au rayon de la Terre double sa distance au centre, il ne passe pas de 0 à R.
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Le poids, une force de gravitation : g selon l’astre et l’altitude
Le poids d’un objet, que l’on calcule avec P = m × g (« Poids et masse : P = m × g »), n’est pas une force à part : c’est la gravitation exercée par l’astre sur lequel l’objet se trouve.
• Comme P = m × g, l’intensité de pesanteur vaut g = G × M ÷ R² : c’est la force de gravitation exercée sur une masse de 1 kg. Elle ne dépend que de l’astre, pas de l’objet.
• g est d’autant plus grand que l’astre est massif, et d’autant plus petit que son rayon est grand (à cause du carré).
• Quand on s’élève au-dessus d’un astre, la distance au centre augmente : g et le poids diminuent. À une distance double du centre, ils sont divisés par 4.
Retrouver le g de la Terre
Force exercée par la Terre sur 1 kg posé au sol : g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ × 1 ÷ (6,37 × 10⁶)² ≈ 9,8 N/kg. On retrouve la valeur mesurée avec un dynamomètre. (La rotation de la Terre modifie très légèrement le poids, de moins de 0,4 % : on la néglige.)
Pourquoi g change d’un astre à l’autre
| Astre | Masse M (kg) | Rayon R | g = G × M ÷ R² (N/kg) |
|---|---|---|---|
| Terre | 5,97 × 10²⁴ | 6 370 km | 9,8 |
| Lune | 7,35 × 10²² | 1 737 km | 1,6 |
| Mars | 6,42 × 10²³ | 3 390 km | 3,7 |
| Mercure | 3,30 × 10²³ | 2 440 km | 3,7 |
Mars est environ 1,9 fois plus massive que Mercure, mais son rayon est 1,39 fois plus grand, et 1,39² ≈ 1,9 : les deux effets se compensent, et les deux planètes ont presque le même g, environ 3,7 N/kg.
Sur la Lune. g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 7,35 × 10²² ÷ (1,737 × 10⁶)² ≈ 1,62 N/kg, soit environ 1,6 N/kg : la Lune est 81 fois moins massive que la Terre, mais aussi plus petite.
En altitude. À 6 370 km d’altitude, un objet est à 2 rayons du centre de la Terre : son poids est divisé par 2² = 4, et g y vaut 9,8 ÷ 4 ≈ 2,5 N/kg.
La masse ne change pas. Un robot de 50 kg a une masse de 50 kg sur la Lune, sur Mars ou en orbite ; seule la force de gravitation qu’il subit change.
Réflexe — pour trouver g à la surface d’un astre, je calcule la force de gravitation sur 1 kg avec d = R en mètres ; au-dessus, d = R + altitude.
Attention — pour un objet posé au sol, la distance n’est pas 0 : c’est le rayon de l’astre, car d se mesure depuis le centre de l’astre.
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La gravitation gouverne le mouvement des astres
Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ? Parce qu’elle tombe en permanence… et la manque à chaque instant.
• La Lune ne va pas tout droit : la Terre l’attire en permanence vers son centre. Cette force, perpendiculaire à sa vitesse, courbe sa trajectoire sans la ralentir : la Lune tourne autour de la Terre sur une orbite presque circulaire.
• De même, le Soleil, qui concentre 99,8 % de la masse du système solaire, retient les planètes sur leurs orbites ; les planètes retiennent leurs satellites ; une galaxie tient ensemble ses milliards d’étoiles. La gravitation gouverne le mouvement des astres.
• Un satellite artificiel, lancé au-dessus de l’atmosphère avec une vitesse suffisante, tourne autour de la Terre sans moteur : seule la gravitation agit sur lui.
Le boulet de canon de Newton
Newton imagine un canon au sommet d’une très haute montagne, sans air. Lancé doucement, le boulet retombe près de la montagne ; plus vite, il tombe plus loin, car la Terre est ronde et son sol « fuit » sous le boulet. À environ 8 km/s (plus de 28 000 km/h), le boulet tombe exactement aussi vite que le sol s’éloigne : il fait le tour de la Terre sans jamais la toucher. C’est ce que fait un satellite.
Les marées
La Lune attire davantage l’eau des océans du côté de la Terre qui lui fait face (plus proche) que celle du côté opposé (plus loin). C’est la principale cause des marées ; le Soleil y contribue aussi, environ deux fois moins que la Lune.
La vitesse de la Lune. Elle parcourt son orbite d’environ 384 000 km de rayon en 27,3 jours : 2 × π × 384 000 ≈ 2 413 000 km en 655,2 h, soit environ 3 700 km/h, ou 1,0 km/s (« Mouvement : vitesse et vecteur vitesse »).
Sans le Soleil. Si le Soleil disparaissait, plus rien ne courberait la trajectoire de la Terre : elle partirait en ligne droite, dans la direction de sa vitesse à cet instant.
Un satellite freiné. En orbite basse, il reste un peu d’air qui freine le satellite : sa vitesse ne suffit plus, il descend peu à peu et finit par brûler en rentrant dans l’atmosphère.
Réflexe — pour expliquer une orbite : sans force, l’astre irait tout droit ; l’astre central l’attire vers son centre ; cette force courbe sa trajectoire, sa vitesse l’empêche de tomber dessus.
Attention — « dans l’espace, il n’y a plus de gravitation » est faux : sans gravitation, la Lune et les satellites partiraient en ligne droite. Et il ne faut pas de moteur pour rester en orbite.
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Pour aller plus loin
Le poids sur Terre et sur les autres astres. Calculer un poids ou une masse avec P = m × g, les valeurs de g sur la Lune, Mars ou Vénus et l’impesanteur des astronautes : voir « Poids et masse : P = m × g ».
Forces et mouvement. Faire le bilan des forces subies par un objet et prévoir son mouvement (forces qui se compensent ou non) : voir « Forces : modéliser une action et prévoir le mouvement ».
Énergie. Un objet qui tombe sous l’effet de la gravitation transforme son énergie de position en énergie cinétique : voir « Énergie mécanique : cinétique, de position et conservation ».
Au lycée. En 2ᵈᵉ, la force de gravitation s’écrit comme un vecteur et sert à étudier le mouvement des satellites et des planètes : voir « Mouvements et interactions ».
- Deux objets qui ont une masse s’attirent : l’interaction gravitationnelle est attractive, à distance et universelle.
- Les deux forces FA/B et FB/A ont la même direction (droite des centres), des sens opposés et la même valeur.
- F = G × mA × mB ÷ d², avec les masses en kg, d en m entre les centres et G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg².
- Une masse × k → force × k ; distance × k → force ÷ k².
- Le poids est la force de gravitation exercée par l’astre : g = G × M ÷ R² dépend de la masse et du rayon de l’astre, et diminue avec l’altitude.
- La gravitation courbe la trajectoire des astres et des satellites : sans elle, ils iraient en ligne droite.
Questions fréquentes
Qu’est-ce que l’interaction gravitationnelle ?
C’est l’attraction qui s’exerce entre deux objets qui ont une masse. Elle agit à distance, elle est toujours attractive et elle concerne tous les objets de l’Univers. Elle se modélise par deux forces de même direction, de sens opposés et de même valeur.
Comment calculer une force de gravitation ?
On utilise la formule F = G × mA × mB ÷ d², avec les masses en kilogrammes, la distance d entre les centres en mètres et G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg². Le résultat est en newtons ; on l’écrit souvent en notation scientifique.
Que devient la force si la distance double ?
Elle est divisée par 4, car la force est inversement proportionnelle au carré de la distance (2² = 4). Si la distance triple, elle est divisée par 9 ; si une masse double, elle double.
Quel est le lien entre le poids et la gravitation ?
Le poids d’un objet est la force de gravitation exercée par l’astre sur lequel il se trouve. Pour une personne de 70 kg au sol, la formule de Newton donne environ 687 N, et 70 × 9,8 = 686 N : c’est la même force. Ainsi g = G × M ÷ R² dépend de la masse et du rayon de l’astre.
Pourquoi la Lune ne tombe-t-elle pas sur la Terre ?
Elle tombe en permanence vers la Terre, qui l’attire, mais elle avance vite (environ 1 km/s) : sa trajectoire est sans cesse courbée et se referme en orbite. Sans la force de la Terre, la Lune partirait en ligne droite.
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