Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Variables aléatoires
Loi de probabilité, espérance et écart-type (programme de Mathématiques 1ère, sans spé)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une variable aléatoire, c'est…
- A. un nombre fixé à l'avance
- B. un nombre associé au résultat d'une expérience aléatoire
- C. une probabilité
- D. une moyenne
Réponse
B. un nombre associé au résultat d'une expérience aléatoire — C'est un nombre dont la valeur dépend du hasard, associé à chaque résultat de l'expérience.
Pour que $p_1 = 0{,}3$, $p_2 = 0{,}5$ et $p_3 = p$ forment une loi de probabilité, $p$ vaut…
- A. 0
- B. 0,1
- C. 0,2
- D. 0,3
Réponse
C. 0,2 — La somme doit valoir 1 : 0,3 + 0,5 + p = 1, donc p = 0,2.
L'espérance $E(X)$ représente…
- A. la valeur la plus probable
- B. le résultat moyen sur un grand nombre d'expériences
- C. la plus grande valeur de X
- D. une probabilité
Réponse
B. le résultat moyen sur un grand nombre d'expériences — E(X) est la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités : le résultat moyen attendu.
Si $X$ prend la valeur 0 avec probabilité $\frac{1}{3}$ et la valeur 1 avec probabilité $\frac{2}{3}$, alors $E(X) = $
- A. $\frac{1}{3}$
- B. $\frac{2}{3}$
- C. $\frac{1}{2}$
- D. $1$
Réponse
B. $\frac{2}{3}$ — E(X) = 0×(1/3) + 1×(2/3) = 2/3.
L'écart-type $\sigma(X)$ se calcule à partir de la variance par…
- A. $\sigma(X) = V(X)$
- B. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
- C. $\sigma(X) = V(X)^2$
- D. $\sigma(X) = 2V(X)$
Réponse
B. $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$ — L'écart-type est la racine carrée de la variance.
La somme de toutes les probabilités d'une loi vaut toujours…
- A. 0
- B. le nombre de valeurs
- C. 1
- D. l'espérance
Réponse
C. 1 — Par définition d'une loi de probabilité, la somme des probabilités est égale à 1.
Un jeu est équitable lorsque…
- A. $E(\text{gain}) \gt 0$
- B. $E(\text{gain}) = 0$
- C. $E(\text{gain}) \lt 0$
- D. $V(\text{gain}) = 0$
Réponse
B. $E(\text{gain}) = 0$ — Équitable signifie que le gain moyen est nul : E(gain) = 0.
Si $P(X=2) = 0{,}5$ et $P(X=4) = 0{,}5$, alors $E(X) = $
- A. $2$
- B. $3$
- C. $4$
- D. $6$
Réponse
B. $3$ — E(X) = 2×0,5 + 4×0,5 = 1 + 2 = 3.
L'espérance d'une variable aléatoire…
- A. est toujours un nombre entier
- B. est toujours positive
- C. peut ne pas être une valeur prise par X
- D. est égale à la plus grande valeur
Réponse
C. peut ne pas être une valeur prise par X — E(X) peut valoir par exemple 1,6 même si X ne prend que des valeurs entières.
Quand l'écart-type est grand, cela veut dire que les valeurs de $X$ sont…
- A. toutes égales
- B. très dispersées autour de la moyenne
- C. toujours nulles
- D. toujours positives
Réponse
B. très dispersées autour de la moyenne — Un grand écart-type indique une forte dispersion : les résultats sont très variables.
Pour un jeu, si $E(\text{gain}) = -2$€, le jeu est…
- A. favorable au joueur
- B. équitable
- C. défavorable au joueur
- D. gratuit
Réponse
C. défavorable au joueur — Un gain moyen négatif signifie qu'en moyenne le joueur perd : jeu défavorable.
Si $V(X) = 16$, alors $\sigma(X) = $
- A. $256$
- B. $4$
- C. $8$
- D. $2$
Réponse
B. $4$ — σ(X) = √16 = 4.
Niveau moyen — 12 questions
$X$ prend les valeurs 1 et 5 avec probabilités 0,8 et 0,2. $E(X) = $
- A. $1{,}8$
- B. $2$
- C. $3$
- D. $5$
Réponse
A. $1{,}8$ — E(X) = 1×0,8 + 5×0,2 = 0,8 + 1 = 1,8.
$X$ prend les valeurs 0, 3, 6 avec probabilités 0,2 ; 0,5 ; 0,3. $E(X) = $
- A. $3$
- B. $3{,}3$
- C. $4{,}5$
- D. $2{,}7$
Réponse
B. $3{,}3$ — E(X) = 0×0,2 + 3×0,5 + 6×0,3 = 0 + 1,5 + 1,8 = 3,3.
On tire un entier au hasard dans {1 ; 2 ; 3 ; 4} (équiprobable). $E(X) = $
- A. $2$
- B. $2{,}5$
- C. $3$
- D. $4$
Réponse
B. $2{,}5$ — E(X) = (1+2+3+4)/4 = 10/4 = 2,5.
$X$ prend les valeurs −1 et 1 avec probabilités 0,5 et 0,5. $E(X) = $
- A. $1$
- B. $0$
- C. $0{,}5$
- D. $-1$
Réponse
B. $0$ — E(X) = (−1)×0,5 + 1×0,5 = 0.
Avec la loi de la question précédente, $V(X) = $
- A. $0$
- B. $0{,}5$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
C. $1$ — V(X) = 0,5×(−1−0)² + 0,5×(1−0)² = 0,5 + 0,5 = 1.
$X$ prend les valeurs 0 et 10 avec probabilités 0,9 et 0,1. $E(X) = $
- A. $1$
- B. $5$
- C. $10$
- D. $0{,}9$
Réponse
A. $1$ — E(X) = 0×0,9 + 10×0,1 = 1.
Une loi a $P(X=2)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}4$ et $P(X=8)=p$. Alors $p = $
- A. $0{,}1$
- B. $0{,}2$
- C. $0{,}3$
- D. $0{,}4$
Réponse
C. $0{,}3$ — 0,3 + 0,4 + p = 1, donc p = 0,3.
Deux jeux ont la même espérance. Le jeu A a un écart-type de 3€, le jeu B de 1€. Lequel est le plus risqué ?
- A. le jeu A
- B. le jeu B
- C. ils sont identiques
- D. on ne peut pas savoir
Réponse
A. le jeu A — À espérance égale, l'écart-type le plus grand indique le plus de risque : c'est le jeu A.
Un jeu donne $G = 9$€ avec $p = 0{,}1$ et $G = -1$€ avec $p = 0{,}9$. $E(G) = $
- A. $0$
- B. $0{,}9$
- C. $1$
- D. $8$
Réponse
A. $0$ — E(G) = 9×0,1 + (−1)×0,9 = 0,9 − 0,9 = 0. Le jeu est équitable.
Pour calculer la variance, on a besoin d'avoir calculé d'abord…
- A. l'écart-type
- B. l'espérance
- C. la valeur maximale
- D. rien du tout
Réponse
B. l'espérance — La variance utilise les écarts (x − E(X)), il faut donc connaître E(X) avant.
$X$ prend les valeurs 2 et 6 avec probabilités 0,5 et 0,5. $V(X) = $
- A. $2$
- B. $4$
- C. $8$
- D. $16$
Réponse
B. $4$ — E(X)=4 ; V(X) = 0,5×(2−4)² + 0,5×(6−4)² = 0,5×4 + 0,5×4 = 4.
Si une variable aléatoire ne prend qu'une seule valeur (toujours la même), sa variance vaut…
- A. 1
- B. 0
- C. sa valeur
- D. l'espérance
Réponse
B. 0 — Aucune dispersion : tous les résultats sont identiques, donc V(X) = 0.
Niveau difficile — 12 questions
$X$ prend les valeurs $a$ et $2a$ avec probabilités $\frac{1}{3}$ et $\frac{2}{3}$. Si $E(X) = 10$, alors $a = $
- A. $3$
- B. $4$
- C. $5$
- D. $6$
Réponse
D. $6$ — E(X) = a×(1/3) + 2a×(2/3) = (a + 4a)/3 = 5a/3 = 10, donc a = 6.
$V(X) = 0$ signifie que…
- A. X est nulle
- B. X prend toujours la même valeur
- C. E(X) = 0
- D. X est négative
Réponse
B. X prend toujours la même valeur — Une variance nulle signifie aucune dispersion : X est certaine (constante).
$X$ prend les valeurs 1, 2, 3, 4 de façon équiprobable. $E(X) = $
- A. $2$
- B. $2{,}5$
- C. $3$
- D. $10$
Réponse
B. $2{,}5$ — E(X) = (1+2+3+4)/4 = 2,5.
$X$ prend les valeurs 0, 1, 2 avec probabilités $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$. $V(X) = $
- A. $\frac{1}{4}$
- B. $\frac{1}{2}$
- C. $1$
- D. $\frac{3}{4}$
Réponse
B. $\frac{1}{2}$ — E(X)=1 ; V(X) = (1/4)(0−1)² + (1/2)(1−1)² + (1/4)(2−1)² = 1/4 + 0 + 1/4 = 1/2.
Un jeu coûte 3€. Le gain brut $X$ a pour espérance $E(X) = 2{,}5$€. Le gain net moyen du joueur est…
- A. $2{,}5$€
- B. $-0{,}5$€
- C. $5{,}5$€
- D. $0$€
Réponse
B. $-0{,}5$€ — Gain net moyen = E(X) − 3 = 2,5 − 3 = −0,5€ : le joueur perd en moyenne 0,50€.
Deux variables ont le même écart-type de 2€, mais des espérances de 1€ (jeu A) et 3€ (jeu B). Pour un même risque, lequel rapporte le plus en moyenne ?
- A. le jeu A
- B. le jeu B
- C. aucun
- D. les deux pareil
Réponse
B. le jeu B — Même risque (écart-type), mais B a la plus grande espérance : B rapporte plus en moyenne.
$X$ prend les valeurs −3 et 3 avec probabilités 0,5 et 0,5. L'écart-type $\sigma(X)$ vaut…
- A. $0$
- B. $3$
- C. $9$
- D. $1{,}5$
Réponse
B. $3$ — E(X)=0 ; V(X)=0,5×9 + 0,5×9 = 9 ; σ(X)=√9 = 3.
Pour qu'un jeu où l'on paie $t$€ et où le gain brut a une espérance de 4€ soit favorable au joueur, il faut…
- A. $t \gt 4$
- B. $t = 4$
- C. $t \lt 4$
- D. $t = 0$
Réponse
C. $t \lt 4$ — Favorable signifie gain net moyen positif : 4 − t > 0, donc t < 4€.
Une loi a $P(X=k) = \frac{k}{10}$ pour $k \in \{1 ; 2 ; 3 ; 4\}$. La somme des probabilités vaut…
- A. $\frac{4}{10}$
- B. $\frac{10}{10}$
- C. $\frac{6}{10}$
- D. $1{,}2$
Réponse
B. $\frac{10}{10}$ — (1+2+3+4)/10 = 10/10 = 1 : c'est bien une loi de probabilité.
Avec la loi précédente ($P(X=k)=\frac{k}{10}$, $k\in\{1,2,3,4\}$), $E(X) = $
- A. $2{,}5$
- B. $3$
- C. $\frac{10}{4}$
- D. $4$
Réponse
B. $3$ — E(X) = (1×1 + 2×2 + 3×3 + 4×4)/10 = (1+4+9+16)/10 = 30/10 = 3.
Deux jeux ont la même espérance de gain (positive). Pour limiter le risque, on choisit celui qui a…
- A. le plus grand écart-type
- B. le plus petit écart-type
- C. le plus de valeurs possibles
- D. le moins de valeurs possibles
Réponse
B. le plus petit écart-type — À espérance égale, le plus petit écart-type correspond au moins de risque.
Un joueur joue 100 fois à un jeu d'espérance −0,40€ par partie. Sur 100 parties, il peut s'attendre à…
- A. gagner environ 40€
- B. perdre environ 40€
- C. ne rien perdre
- D. perdre environ 4€
Réponse
B. perdre environ 40€ — Gain moyen total ≈ 100 × (−0,40) = −40€ : il perd environ 40€ sur le long terme.
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