Lycée · 1ʳᵉ · Mathématiques
Variables aléatoires
Loi de probabilité, espérance et écart-type (programme de Mathématiques 1ère, sans spé)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Compléter et lire une loi de probabilité
/ 4 ptsOn considère la variable aléatoire $X$ dont la loi est :
| $X$ | $-1$ | $0$ | $2$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0{,}2$ | $0{,}3$ | $a$ | $0{,}1$ |
a) Déterminer la valeur de $a$.
- Calculer $P(X \ge 0)$.
- Quelle est la valeur la plus probable de $X$ ?
Exercice 2 — Espérance, variance et écart-type
/ 5 ptsLa variable aléatoire $Y$ suit la loi :
| $Y$ | $1$ | $3$ | $8$ |
|---|---|---|---|
| $P(Y=y)$ | $0{,}5$ | $0{,}3$ | $0{,}2$ |
a) Calculer $E(Y)$.
- Calculer $V(Y)$.
- En déduire l'écart-type $\sigma(Y)$ (arrondi au centième).
Exercice 3 — Modéliser un jeu de hasard
/ 5 ptsUn jeu coûte 4€ pour jouer. On lance un dé équilibré à 6 faces. On gagne le montant suivant : 12€ si on obtient 6, 6€ si on obtient 4 ou 5, et 0€ sinon. Soit $X$ le montant gagné (avant le coût du jeu).
- Donner la loi de probabilité de $X$.
- Calculer $E(X)$.
- Le gain net moyen du joueur est $E(X) - 4$. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
Exercice 4 — Comparer deux jeux et décider
/ 6 ptsDeux jeux proposent un gain net (en euros) modélisé par les variables aléatoires suivantes.
Jeu A : $A$ prend les valeurs $-2$ et $2$ avec probabilités $0{,}5$ et $0{,}5$.
Jeu B : $B$ prend les valeurs $-10$ et $10$ avec probabilités $0{,}5$ et $0{,}5$.
- Calculer $E(A)$ et $E(B)$.
- Calculer $V(A)$ et $V(B)$.
- En déduire les écarts-types $\sigma(A)$ et $\sigma(B)$.
- Les deux jeux ont-ils le même gain moyen ? Lequel est le plus risqué ? Que conseiller à un joueur qui n'aime pas le risque ?
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Compléter et lire une loi de probabilité
Corrigé :
a) La somme des probabilités vaut 1 : $0{,}2 + 0{,}3 + a + 0{,}1 = 1$, donc $a = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.
b) $P(X \ge 0) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=5) = 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}8$.
c) La plus grande probabilité est $0{,}4$ : la valeur la plus probable est $X = 2$.
Exercice 2 — Espérance, variance et écart-type
Corrigé :
a) $E(Y) = 1\times0{,}5 + 3\times0{,}3 + 8\times0{,}2 = 0{,}5 + 0{,}9 + 1{,}6 = 3$.
b) $V(Y) = 0{,}5\times(1-3)^2 + 0{,}3\times(3-3)^2 + 0{,}2\times(8-3)^2 = 0{,}5\times4 + 0 + 0{,}2\times25 = 2 + 5 = 7$.
c) $\sigma(Y) = \sqrt{7} \approx 2{,}65$.
Exercice 3 — Modéliser un jeu de hasard
Corrigé :
a) $X = 12$ si le dé donne 6 (1 chance sur 6) ; $X = 6$ si le dé donne 4 ou 5 (2 chances sur 6) ; $X = 0$ sinon (1, 2 ou 3, soit 3 chances sur 6).
| $X$ | $0$ | $6$ | $12$ |
|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{3}{6}$ | $\frac{2}{6}$ | $\frac{1}{6}$ |
c) Gain net moyen $= E(X) - 4 = 4 - 4 = 0$. Le jeu est équitable : ni favorable ni défavorable au joueur.
Exercice 4 — Comparer deux jeux et décider
Corrigé :
a) $E(A) = (-2)\times0{,}5 + 2\times0{,}5 = 0$. $E(B) = (-10)\times0{,}5 + 10\times0{,}5 = 0$.
b) Comme $E(A)=0$ : $V(A) = 0{,}5\times(-2)^2 + 0{,}5\times(2)^2 = 2 + 2 = 4$. De même $V(B) = 0{,}5\times(-10)^2 + 0{,}5\times(10)^2 = 50 + 50 = 100$.
c) $\sigma(A) = \sqrt{4} = 2$€ et $\sigma(B) = \sqrt{100} = 10$€.
d) Les deux jeux ont le même gain moyen (0€, ils sont équitables). Mais $\sigma(B) = 10 \gt \sigma(A) = 2$ : le jeu B est beaucoup plus dispersé, donc plus risqué. À un joueur qui n'aime pas le risque, on conseille le jeu A (résultats plus proches de la moyenne).
Ce contrôle de mathématiques 1ʳᵉ en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Variables aléatoires » : 4 exercices, 55 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Compléter et lire une loi de probabilité/ 4 pts
- Exercice 2 — Espérance, variance et écart-type/ 5 pts
- Exercice 3 — Modéliser un jeu de hasard/ 5 pts
- Exercice 4 — Comparer deux jeux et décider/ 6 pts
Notions évaluées
Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?, La loi de probabilité (tableau), Représenter une loi de probabilité, L'espérance : le gain moyen, Variance et écart-type : la dispersion, Application : jeux de hasard et décision.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 55 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Variables aléatoires » ?
- 55 minutes pour 4 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 55 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de première ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Variables aléatoires » du programme officiel de mathématiques en première, soit Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?, La loi de probabilité (tableau), Représenter une loi de probabilité, L'espérance : le gain moyen.
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