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Mathématiques · Classe de 1ʳᵉ

Variables aléatoires

Loi de probabilité, espérance et écart-type (programme de Mathématiques 1ère, sans spé)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Variables aléatoires » en première permet de faire le point sur ses connaissances en mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de première et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Qu'est-ce qu'une variable aléatoire ?, La loi de probabilité (tableau), Représenter une loi de probabilité, L'espérance : le gain moyen. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de première en mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 55 min · Noté sur 20
55:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Compléter et lire une loi de probabilité

/ 4 pts
  1. On considère la variable aléatoire $X$ dont la loi est :
    $X$$-1$$0$$2$$5$
    $P(X=x)$$0{,}2$$0{,}3$$a$$0{,}1$

    a) Déterminer la valeur de $a$.
  2. b) Calculer $P(X \ge 0)$.
  3. c) Quelle est la valeur la plus probable de $X$ ?

Exercice 2 — Espérance, variance et écart-type

/ 5 pts
  1. La variable aléatoire $Y$ suit la loi :
    $Y$$1$$3$$8$
    $P(Y=y)$$0{,}5$$0{,}3$$0{,}2$

    a) Calculer $E(Y)$.
  2. b) Calculer $V(Y)$.
  3. c) En déduire l'écart-type $\sigma(Y)$ (arrondi au centième).

Exercice 3 — Modéliser un jeu de hasard

/ 5 pts
  1. Un jeu coûte 4€ pour jouer. On lance un dé équilibré à 6 faces. On gagne le montant suivant : 12€ si on obtient 6, 6€ si on obtient 4 ou 5, et 0€ sinon. Soit $X$ le montant gagné (avant le coût du jeu).
  2. a) Donner la loi de probabilité de $X$.
  3. b) Calculer $E(X)$.
  4. c) Le gain net moyen du joueur est $E(X) - 4$. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Exercice 4 — Comparer deux jeux et décider

/ 6 pts
  1. Deux jeux proposent un gain net (en euros) modélisé par les variables aléatoires suivantes.
    Jeu A : $A$ prend les valeurs $-2$ et $2$ avec probabilités $0{,}5$ et $0{,}5$.
    Jeu B : $B$ prend les valeurs $-10$ et $10$ avec probabilités $0{,}5$ et $0{,}5$.
  2. a) Calculer $E(A)$ et $E(B)$.
  3. b) Calculer $V(A)$ et $V(B)$.
  4. c) En déduire les écarts-types $\sigma(A)$ et $\sigma(B)$.
  5. d) Les deux jeux ont-ils le même gain moyen ? Lequel est le plus risqué ? Que conseiller à un joueur qui n'aime pas le risque ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Compléter et lire une loi de probabilité
Corrigé :
a) La somme des probabilités vaut 1 : $0{,}2 + 0{,}3 + a + 0{,}1 = 1$, donc $a = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$.
b) $P(X \ge 0) = P(X=0) + P(X=2) + P(X=5) = 0{,}3 + 0{,}4 + 0{,}1 = 0{,}8$.
c) La plus grande probabilité est $0{,}4$ : la valeur la plus probable est $X = 2$.

Exercice 2 — Espérance, variance et écart-type
Corrigé :
a) $E(Y) = 1\times0{,}5 + 3\times0{,}3 + 8\times0{,}2 = 0{,}5 + 0{,}9 + 1{,}6 = 3$.
b) $V(Y) = 0{,}5\times(1-3)^2 + 0{,}3\times(3-3)^2 + 0{,}2\times(8-3)^2 = 0{,}5\times4 + 0 + 0{,}2\times25 = 2 + 5 = 7$.
c) $\sigma(Y) = \sqrt{7} \approx 2{,}65$.

Exercice 3 — Modéliser un jeu de hasard
Corrigé :
a) $X = 12$ si le dé donne 6 (1 chance sur 6) ; $X = 6$ si le dé donne 4 ou 5 (2 chances sur 6) ; $X = 0$ sinon (1, 2 ou 3, soit 3 chances sur 6).

$X$$0$$6$$12$
$P$$\frac{3}{6}$$\frac{2}{6}$$\frac{1}{6}$
b) $E(X) = 0\times\frac{3}{6} + 6\times\frac{2}{6} + 12\times\frac{1}{6} = \frac{12 + 12}{6} = \frac{24}{6} = 4$.
c) Gain net moyen $= E(X) - 4 = 4 - 4 = 0$. Le jeu est équitable : ni favorable ni défavorable au joueur.

Exercice 4 — Comparer deux jeux et décider
Corrigé :
a) $E(A) = (-2)\times0{,}5 + 2\times0{,}5 = 0$. $E(B) = (-10)\times0{,}5 + 10\times0{,}5 = 0$.
b) Comme $E(A)=0$ : $V(A) = 0{,}5\times(-2)^2 + 0{,}5\times(2)^2 = 2 + 2 = 4$. De même $V(B) = 0{,}5\times(-10)^2 + 0{,}5\times(10)^2 = 50 + 50 = 100$.
c) $\sigma(A) = \sqrt{4} = 2$€ et $\sigma(B) = \sqrt{100} = 10$€.
d) Les deux jeux ont le même gain moyen (0€, ils sont équitables). Mais $\sigma(B) = 10 > \sigma(A) = 2$ : le jeu B est beaucoup plus dispersé, donc plus risqué. À un joueur qui n'aime pas le risque, on conseille le jeu A (résultats plus proches de la moyenne).

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