Des édifices ordonnés : les cristaux

a) (1) est une roche : c'est un assemblage de nombreux grains. (2) est un cristal : un objet unique, aux faces planes, dans lequel les atomes sont empilés de façon régulière. (3) est un minéral : une espèce définie à la fois par sa composition chimique (sa formule) et par son organisation cristalline, commune à tous les grains verts. (4) est la maille : le plus petit motif dont la répétition périodique reconstitue le cristal.

b) Maille (0,8 nm) < cristal (3 mm) < roche (30 cm). Nombre de mailles le long d'un côté du grain : $\frac{3\times {10}^{-3}}{0,8\times {10}^{-9}}\approx 3,8\times {10}^6$. Environ 4 millions de mailles sont alignées le long d'un côté du grain.

c) Non. Les grains verts sont des cristaux d'olivine, mais les grains noirs ont un autre aspect : ils appartiennent à un autre minéral (un pyroxène dans la péridotite). La péridotite est une roche formée de plusieurs minéraux.

a) Sur une face, l'atome central est au milieu de la diagonale : il est à la distance $\frac{a\sqrt{2}}{2}\approx 0,71a$ de chaque sommet, alors que deux sommets voisins sont séparés de $a$. Les atomes les plus proches sont donc un atome de sommet et un atome de centre de face : le contact se fait le long d'une diagonale de face.

b) La diagonale d'un carré de côté $a$ vérifie, d'après le théorème de Pythagore, $d^2=a^2+a^2=2a^2$, soit $d=a\sqrt{2}$. Le long de cette diagonale se succèdent un rayon (atome de sommet), un diamètre $2r$ (atome du centre de la face) et un rayon (autre sommet) : $d=r+2r+r=4r$. Donc $a\sqrt{2}=4r$. Alors $r=\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{405\times 1,414}{4}\approx 143$ pm. r ≈ 143 pm.

c) Considérons un atome situé à un sommet. Ses plus proches voisins sont les atomes des centres des faces qui se rejoignent en ce sommet, à la distance $\frac{a\sqrt{2}}{2}\approx 286$ pm (plus courte que $a=405$ pm). Par ce sommet passent trois plans perpendiculaires ; dans chacun, le sommet est commun à 4 faces carrées (appartenant à des mailles voisines), dont les 4 centres sont des plus proches voisins. $3\times 4=12$. La coordinence vaut 12.

a) Les atomes n'occupent que les 8 sommets, chacun partagé entre 8 mailles : $N=8\times \frac{1}{8}=1$. La maille contient 1 atome.

b) En cubique simple, deux atomes de sommets voisins se touchent le long de l'arête : $a=2r$, donc $r=\frac{335}{2}=167,5$ pm. r ≈ 168 pm.

c) Un atome touche ses voisins situés à la distance $a$ sur chacun des trois axes, de part et d'autre : $3\times 2=6$. La coordinence vaut 6.

d) $V_{\text{atome}}=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \times (167,5\times {10}^{-12}{)}^3\approx 1,97\times {10}^{-29}$ m³ et $V_{\text{maille}}=a^3=(335\times {10}^{-12}{)}^3\approx 3,76\times {10}^{-29}$ m³. $C=\frac{1\times 1,97\times {10}^{-29}}{3,76\times {10}^{-29}}\approx 0,52$, ce qui correspond bien à $\frac{\pi }{6}$. Compacité ≈ 0,52 : environ 48 % du volume de la maille est vide.

a) La masse d'un atome est la masse molaire divisée par la constante d'Avogadro, avec $M$ en kg/mol : $m=\frac{M}{N_A}=\frac{107,9\times {10}^{-3}}{6,02\times {10}^{23}}\approx 1,792\times {10}^{-25}$ kg. m ≈ 1,792 × 10⁻²⁵ kg.

b) La maille CFC contient $N=8\times \frac{1}{8}+6\times \frac{1}{2}=4$ atomes. $m_{\text{maille}}=4\times 1,792\times {10}^{-25}\approx 7,169\times {10}^{-25}$ kg.

c) $a=409\times {10}^{-12}$ m $=4,09\times {10}^{-10}$ m, donc $V=a^3=(4,09\times {10}^{-10}{)}^3\approx 6,842\times {10}^{-29}$ m³.

d) $\rho =\frac{m_{\text{maille}}}{V}=\frac{7,169\times {10}^{-25}}{6,842\times {10}^{-29}}\approx 1,048\times {10}^4$ kg/m³, soit 10,48 g/cm³. Écart relatif avec la valeur mesurée : $\frac{|10,48-10,49|}{10,49}\approx 0,1\%$. Le modèle CFC rend compte de la masse volumique de l'argent à 0,1 % près.

a) 8 ions aux sommets (contribution 1/8) et 6 aux centres des faces (contribution 1/2) : $8\times \frac{1}{8}+6\times \frac{1}{2}=4$. 4 ions Cl⁻ par maille.

b) 12 ions aux milieux des arêtes, chaque arête étant commune à 4 mailles, et 1 ion au centre, qui appartient entièrement à la maille : $12\times \frac{1}{4}+1=4$. 4 ions Na⁺ par maille. La maille contient autant de Na⁺ que de Cl⁻ : les charges $+4$ et $-4$ se compensent, la maille est neutre et la proportion 1 pour 1 correspond à la formule NaCl.

c) Les ions Cl⁻ les plus proches de l'ion central sont ceux des centres des 6 faces, tous à la distance $\frac{a}{2}$. Coordinence 6 ; distance $\frac{564}{2}=282$ pm.

d) La maille contient 4 « unités » NaCl de masse molaire $23,0+35,5=58,5$ g/mol : $m_{\text{maille}}=\frac{4\times 58,5\times {10}^{-3}}{6,02\times {10}^{23}}\approx 3,887\times {10}^{-25}$ kg. $V=(564\times {10}^{-12}{)}^3\approx 1,794\times {10}^{-28}$ m³. $\rho =\frac{3,887\times {10}^{-25}}{1,794\times {10}^{-28}}\approx 2,17\times {10}^3$ kg/m³. ρ ≈ 2,17 g/cm³.

a) Un minéral se définit par sa composition chimique et par son organisation cristalline. Les trois minéraux ont la même composition mais des structures différentes : c'est un cas de polymorphisme, que révèlent leurs masses volumiques différentes. Ce sont trois minéraux distincts.

b) $\rho =\frac{m}{V}=\frac{18,7}{5,20}\approx 3,60$ g/cm³. Cette valeur coïncide avec celle du disthène (écart d'environ 0,1 %) et s'éloigne de plus de 10 % de celles des deux autres minéraux. Le cristal est du disthène.

c) $V=\frac{m}{\rho }$. Andalousite : $V_1=\frac{1000}{3,15}\approx 317$ cm³ ; disthène : $V_2=\frac{1000}{3,60}\approx 278$ cm³. Variation relative : $\frac{V_2-V_1}{V_1}=\frac{277,8-317,5}{317,5}\approx -0,125$. Le volume diminue d'environ 12,5 %.

d) Une forte pression favorise l'arrangement qui occupe le moins de volume pour une même masse, c'est-à-dire le plus dense. Le disthène, de masse volumique la plus élevée, est favorisé en profondeur.

a) 1 g/cm³ $=\frac{{10}^{-3}\text{kg}}{{10}^{-6}{\text{m}}^3}={10}^3$ kg/m³, donc ρ = 2,145 × 10⁴ kg/m³.

b) La masse volumique du cristal est celle d'une maille : $\rho =\frac{N\times m}{a^3}$ avec $N=4$ en CFC et $m=\frac{M}{N_A}$. Donc $\rho =\frac{4M}{N_A\times a^3}$, et en isolant $a^3$ : $a^3=\frac{4M}{N_A\times \rho }$.

c) $a^3=\frac{4\times 195,1\times {10}^{-3}}{6,02\times {10}^{23}\times 2,145\times {10}^4}\approx 6,044\times {10}^{-29}$ m³, d'où $a=\sqrt[3]{6,044\times {10}^{-29}}\approx 3,924\times {10}^{-10}$ m. a ≈ 392 pm.

d) En CFC, les atomes sont tangents le long d'une diagonale de face : $a\sqrt{2}=4r$, donc $r=\frac{a\sqrt{2}}{4}=\frac{392,4\times 1,414}{4}\approx 139$ pm. r ≈ 139 pm.

1. Le gabbro est entièrement cristallisé : ses cristaux sont jointifs, de taille millimétrique, sans verre ; c'est une structure grenue. Le basalte n'est que partiellement cristallisé : il présente deux générations de cristaux (grands cristaux d'olivine, ou phénocristaux, et microlites très petits) et du verre ; c'est une structure microlitique.

2. Plus la lame est chaude, plus la vanilline met de temps à se solidifier (de 4 s à 240 s) et plus les cristaux sont gros (de cristaux invisibles à 2,5 mm). Pour une solidification très rapide (4 s), aucun cristal ne se forme : la vanilline se fige sans ordre. Plus le refroidissement est lent, plus les cristaux sont grands ; un refroidissement très rapide donne un solide amorphe.

3. Le gabbro ne contient que de gros cristaux et pas de verre : d'après le document 2, sa solidification a été lente, laissant aux atomes le temps de s'ordonner en grands cristaux. Un refroidissement lent n'est possible qu'à l'abri de la surface, dans une roche encaissante chaude : le gabbro s'est formé par refroidissement lent d'un magma en profondeur ; il affleure aujourd'hui grâce à l'érosion.

4. Les phénocristaux d'olivine ont eu le temps de grandir : ils se sont formés lors d'une première phase de refroidissement lent, dans le réservoir magmatique en profondeur. Lors de l'éruption, le reste du magma, liquide, a refroidi très vite au contact de l'air : il n'a pu former que de minuscules microlites, et la fraction qui s'est solidifiée le plus vite a donné du verre. Le basalte témoigne d'un refroidissement en deux temps : lent en profondeur, puis rapide en surface.

5. Le verre a une forme propre et ne s'écoule pas : c'est un solide. Ce qui le distingue d'un cristal n'est pas son état physique mais son organisation : ses atomes sont empilés sans ordre géométrique, sans maille qui se répète. Le verre est un solide amorphe, pas un liquide.

1. 8 atomes aux sommets, chacun partagé entre 8 mailles, et 1 atome au centre, qui appartient entièrement à la maille : $N=8\times \frac{1}{8}+1=2$. 2 atomes par maille.

2. La grande diagonale $D$ est l'hypoténuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont une diagonale de face ($a\sqrt{2}$) et une arête ($a$) : $D^2=2a^2+a^2=3a^2$, donc $D=a\sqrt{3}$. Elle contient un rayon, le diamètre de l'atome central et un autre rayon : $a\sqrt{3}=4r$, soit $r=\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Volume occupé : $2\times \frac{4}{3}\pi r^3=\frac{8}{3}\pi \times \frac{3\sqrt{3}{a}^3}{64}=\frac{\pi \sqrt{3}}{8}{a}^3$. Donc $C=\frac{\pi \sqrt{3}}{8}\approx 0,68$. Compacité du fer α ≈ 0,68.

3. Masse d'un atome : $m=\frac{55,8\times {10}^{-3}}{6,02\times {10}^{23}}\approx 9,269\times {10}^{-26}$ kg.
Fer α : ${\rho }_{\alpha }=\frac{2\times 9,269\times {10}^{-26}}{(290,4\times {10}^{-12}{)}^3}=\frac{1,854\times {10}^{-25}}{2,449\times {10}^{-29}}\approx 7,57\times {10}^3$ kg/m³.
Fer γ : ${\rho }_{\gamma }=\frac{4\times 9,269\times {10}^{-26}}{(364,7\times {10}^{-12}{)}^3}=\frac{3,708\times {10}^{-25}}{4,851\times {10}^{-29}}\approx 7,64\times {10}^3$ kg/m³.
ρ_α ≈ 7,57 × 10³ kg/m³ et ρ_γ ≈ 7,64 × 10³ kg/m³.

4. À 912 °C, le fer passe de la structure α à la structure γ, plus dense. La masse de la barre ne change pas, donc son volume diminue brutalement, et sa longueur aussi : c'est ce que montre le document 2. Pour une même masse, $V=\frac{m}{\rho }$, donc $\frac{V_{\gamma }}{V_{\alpha }}=\frac{{\rho }_{\alpha }}{{\rho }_{\gamma }}=\frac{7,57}{7,64}\approx 0,99$. Le volume diminue d'environ 1 %.

5. Le rapport des compacités ne donnerait celui des masses volumiques que si les atomes avaient le même rayon dans les deux structures. Or $r_{\alpha }=\frac{a_{\alpha }\sqrt{3}}{4}=\frac{290,4\times 1,732}{4}\approx 125,7$ pm et $r_{\gamma }=\frac{a_{\gamma }\sqrt{2}}{4}=\frac{364,7\times 1,414}{4}\approx 128,9$ pm : le modèle des sphères dures attribue à l'atome un rayon un peu plus grand en CFC (où il a 12 voisins) qu'en cubique centré (8 voisins). Comme $\rho =C\times \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}$, on a $\frac{{\rho }_{\gamma }}{{\rho }_{\alpha }}=\frac{0,74}{0,68}\times {\left(\frac{125,7}{128,9}\right)}^3\approx 1,09\times 0,93\approx 1,01$, en accord avec la question 3. Le gain de compacité est presque compensé par l'augmentation du rayon apparent des atomes : la masse volumique n'augmente que d'environ 1 %.

1. Volume du fragment : $V=21,19-20,00=1,19$ mL $=1,19$ cm³. $\rho =\frac{3,48}{1,19}\approx 2,92$ g/cm³. Écart avec l'aragonite : $\frac{2,93-2,92}{2,93}\approx 0,3\%$ ; avec la calcite : $\frac{2,92-2,71}{2,71}\approx 8\%$. Le fragment est constitué d'aragonite.

2. La masse volumique dépend de la masse contenue dans une maille et du volume de cette maille. Calcite et aragonite contiennent les mêmes ions Ca²⁺ et CO₃²⁻, mais disposés différemment (mailles de formes différentes) : l'empilement de l'aragonite est plus serré. À composition identique, c'est l'organisation cristalline qui fixe la masse volumique.

3. La masse reste 3,48 g et le minéral devient de la calcite : $V^{\prime }=\frac{3,48}{2,71}\approx 1,28$ cm³. Variation relative : $\frac{1,284-1,19}{1,19}\approx +0,08$. Le volume augmente d'environ 8 % : la transformation en calcite, moins dense, fait gonfler le fragment, ce qui explique les fissures qui apparaissent dans une nacre chauffée.

4. Un minéral est une espèce définie par sa composition chimique et son organisation cristalline. La coquille, elle, est une structure fabriquée par un être vivant : un assemblage de très nombreux cristaux (ici d'aragonite) liés par de la matière organique. La coquille contient un minéral, l'aragonite, mais n'en est pas un, de même qu'une roche formée de cristaux n'est pas un minéral.

5. Par exemple : les os et les dents, qui contiennent des cristaux d'hydroxyapatite (un phosphate de calcium) ; les calculs rénaux, souvent formés de cristaux d'oxalate de calcium ; les otolithes de l'oreille interne, en carbonate de calcium.