Sujet du bac 2026 de mathématiques SANS Spécialité (épreuve anticipée) — Métropole (général) — 26-matgeme1

Aucune justification n'est demandée sur la copie ; elles sont données ici pour comprendre chaque réponse.

Question 1. Réponse c. En multipliant numérateur et dénominateur par $2$ : ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{10}}=0,4$. ${\displaystyle \frac{2}{5}}=0,4$.

Question 2. Réponse c. Prendre $30\%$ d'une quantité, c'est la multiplier par ${\displaystyle \frac{30}{100}}$ : ${\displaystyle \frac{30}{100}}\times 150=0,3\times 150=45$. (Contrôle : $10\%$ de $150$ font $15$, donc $30\%$ font $3\times 15=45$.) $30\%$ de $150$ est égal à $45$.

Question 3. Réponse b. Un antécédent de $3$ est une abscisse $x$ telle que $f(x)=3$ : on cherche les points de la courbe d'ordonnée $3$. La courbe atteint l'ordonnée $3$ en un seul point, son sommet de coordonnées $(1;3)$. Donc $f(1)=3$ et $1$ est un antécédent de $3$. Pour les autres propositions, $f(0,5)$, $f(1,5)$ et $f(2)$ sont strictement inférieurs à $3$.

Question 4. Réponse d. $7x+4$$=5x+6⟺7x-5x$$=6-4⟺2x$$=2⟺x$$=1$. Vérification : $7\times 1+4=11$ et $5\times 1+6=11$. La solution est $x=1$.

Question 5. Réponse a. Diminuer de $10\%$ revient à multiplier par $0,9$, augmenter de $10\%$ revient à multiplier par $1,1$ : $50\times 0,9=45$ puis $45\times 1,1=49,5$. Le prix final est $49,50$ €. Le coefficient multiplicateur global vaut $0,9\times 1,1=0,99$ : c'est une baisse de $1\%$, pas un retour au prix initial.

Question 6. Réponse d. On remplace $x$ par $-1$ : $y=2\times (-1{)}^2-(-1)+3=2\times 1+1+3=6$. Le point de la courbe d'abscisse $-1$ est $D(-1;6)$.

Question 7. Réponse b. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $m$$={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}$$={\displaystyle \frac{4-2}{-3-(-1)}}$$={\displaystyle \frac{2}{-2}}$$=-1$. Le coefficient directeur est $-1$.

Question 8. Réponse b. On range les $6$ notes dans l'ordre croissant : $2;2;3;3;4;5$. L'effectif est pair, la médiane est la moyenne des 3^e et 4^e valeurs : ${\displaystyle \frac{3+3}{2}}=3$. La médiane est $3$.

1. On complète le tableau ligne par ligne et colonne par colonne :

• Section judo, seconde : $50-40=10$ ; section judo, première : $24-10-8=6$.
• Section aquatique, total : $120-24=96$ ; section aquatique, terminale : $14-8=6$ ; section aquatique, première : $96-40-6=50$.
• Total première : $6+50=56$ (contrôle : $50+56+14=120$).

Les valeurs en gras sont celles qu'il fallait calculer.

L'élève est choisi au hasard : on est en situation d'équiprobabilité sur les $120$ élèves, et la probabilité d'un événement est ${\displaystyle \frac{\text{nombre d'élèves concernés}}{120}}$.

2. L'événement $A\cap S$ est : « l'élève choisi est en section aquatique et en seconde ». D'après le tableau, $40$ élèves sont dans ce cas :

$P(A\cap S)={\displaystyle \frac{40}{120}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$. $P(A\cap S)={\displaystyle \frac{1}{3}}$.

3. On cherche $P_S(A)$ : l'univers se restreint aux $50$ élèves de seconde, dont $40$ sont en section aquatique.

$P_S(A)={\displaystyle \frac{P(A\cap S)}{P(S)}}={\displaystyle \frac{40}{50}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. La probabilité qu'un élève de seconde soit en section aquatique est ${\displaystyle \frac{4}{5}}$.

4. a. $24$ élèves sur $120$ sont en section judo : $P(J)={\displaystyle \frac{24}{120}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$. $P(J)={\displaystyle \frac{1}{5}}$.

4. b. Parmi les $14$ élèves de terminale, $8$ sont en section judo :

$P_T(J)={\displaystyle \frac{P(J\cap T)}{P(T)}}={\displaystyle \frac{8}{14}}={\displaystyle \frac{4}{7}}$. $P_T(J)={\displaystyle \frac{4}{7}}$.

4. c. Deux événements $J$ et $T$ (avec $P(T)\ne 0$) sont indépendants si et seulement si $P_T(J)=P(J)$, ou de manière équivalente $P(J\cap T)=P(J)\times P(T)$.

Ici $P_T(J)={\displaystyle \frac{4}{7}}$ et $P(J)={\displaystyle \frac{1}{5}}$. Or ${\displaystyle \frac{4}{7}}={\displaystyle \frac{20}{35}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{7}{35}}$, donc $P_T(J)\ne P(J)$.

Autre vérification : $P(J\cap T)={\displaystyle \frac{8}{120}}={\displaystyle \frac{1}{15}}$ alors que $P(J)\times P(T)={\displaystyle \frac{1}{5}}\times {\displaystyle \frac{14}{120}}={\displaystyle \frac{14}{600}}={\displaystyle \frac{7}{300}}$, et ${\displaystyle \frac{1}{15}}={\displaystyle \frac{20}{300}}\ne {\displaystyle \frac{7}{300}}$.

Les événements $J$ et $T$ ne sont pas indépendants : savoir que l'élève est en terminale modifie la probabilité qu'il soit en judo (elle passe de ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ à ${\displaystyle \frac{4}{7}}$).

A – Premier placement

1. Chaque année, le capital augmente de $200$ € :

$a_1=a_0+200=20000+200=20200$ et $a_2=a_1+200=20200+200=20400$. $a_1=20200$ € et $a_2=20400$ €.

2. a. Le capital d'une année s'obtient en ajoutant $200$ € au capital de l'année précédente : pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=a_n+200$.

2. b. On passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre $200$ : la suite $(a_n)$ est arithmétique, de raison $r=200$ et de premier terme $a_0=20000$.

3. Pour une suite arithmétique de premier terme $a_0$ et de raison $r$, on a pour tout entier naturel $n$ : $a_n=a_0+nr$. Pour tout entier naturel $n$, $a_n=20000+200n$. (Contrôle : $a_2=20000+400=20400$.)

4. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $a_n⩾22000$ :

$20000+200n⩾22000⟺200n⩾2000⟺n⩾10$.

Le plus petit entier qui convient est $n=10$ : $a_{10}=20000+200\times 10=22000$ et $a_9=21800<22000$. L'année correspondante est $2025+10=2035$. Avec le placement A, ils auront la somme nécessaire à partir de 2035.

B – Second placement

1. Augmenter de $2\%$ revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{2}{100}}=1,02$ :

$b_1=b_0+{\displaystyle \frac{2}{100}}\times b_0=20000+400=20400$, soit directement $b_1=20000\times 1,02=20400$. On retrouve bien $b_1=20400$ €.

2. a. Chaque année, le capital est multiplié par le coefficient multiplicateur $1,02$ : pour tout entier naturel $n$, $b_{n+1}=1,02\times b_n$.

2. b. On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $1,02$ : la suite $(b_n)$ est géométrique, de raison $q=1,02$ et de premier terme $b_0=20000$.

3. Pour une suite géométrique de premier terme $b_0$ et de raison $q$, on a pour tout entier naturel $n$ : $b_n=b_0\times q^n$. Pour tout entier naturel $n$, $b_n=20000\times 1,{02}^n$.

4. On cherche dans le tableur le premier rang $n$ pour lequel $b_n⩾22000$. On lit $b_4\approx 21649<22000$ et $b_5\approx 22082⩾22000$. Comme la suite est croissante (raison $1,02>1$ et termes positifs), le capital reste ensuite au-dessus de $22000$ €. Le rang $n=5$ correspond à l'année $2025+5=2030$. Avec le placement B, ils auront la somme nécessaire à partir de 2030.

C – Bilan

Avec le placement A, le capital atteint $22000$ € en 2035 ; avec le placement B, il dépasse $22000$ € dès 2030, soit cinq ans plus tôt. La raison : $2\%$ de $20000$ € font déjà $400$ € la première année, deux fois plus que les $200$ € du placement A, et les intérêts du placement B augmentent ensuite chaque année puisqu'ils sont calculés sur un capital qui grandit. Il faut conseiller le placement B à Emma et Pierre : il leur permet de réaliser leur projet dès 2030.