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Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Variables aléatoires à densité et loi normale

Modéliser des phénomènes continus : fonctions de densité, espérance, variance et loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ (programme Tle spé)

À propos de cette page
Ce QCM sur « Variables aléatoires à densité et loi normale » en terminale teste tes connaissances en spécialité mathématiques de manière interactive. Les questions, classées par niveau (facile, moyen, difficile), respectent le programme officiel de terminale. Au programme : Variable aléatoire continue et fonction de densité, Espérance et variance d'une variable continue, Loi uniforme sur un intervalle $[a,b]$, Loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ : définition et propriétés. À chaque réponse, une explication détaillée t'aide à comprendre tes erreurs et à mémoriser l'essentiel. Idéal pour s'auto-évaluer rapidement, réviser avant un contrôle ou consolider ses acquis. Quiz gratuit conçu par un professeur particulier à Marseille pour progresser en spécialité mathématiques en terminale.

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Les 36 questions du QCM en version texte

Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.

Niveau facile — 12 questions

  1. Pour une variable aléatoire $X$ à densité, quelle affirmation est vraie ?

    • A. $P(X=3)=f(3)$
    • B. $P(X=3)=0$
    • C. $P(X\ge 0)=0{,}5$
    • D. $P(a\le X\le b)=f(b)-f(a)$
    Réponse

    B. $P(X=3)=0$ — La probabilité en un point est toujours nulle pour une variable continue.

  2. Quelle condition $f$ doit-elle vérifier pour être une densité ?

    • A. $f(x)\ge 1$
    • B. $\int f(x)dx=0$
    • C. $f(x)\ge 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$
    • D. $f$ est dérivable partout
    Réponse

    C. $f(x)\ge 0$ et $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$ — Une densité est positive et d'intégrale égale à 1.

  3. Si $X\sim\mathcal{U}([2,8])$, quelle est la valeur de $E(X)$ ?

    • A. 2
    • B. 8
    • C. 5
    • D. 6
    Réponse

    C. 5 — $E(X)=(2+8)/2=5$.

  4. Pour $X\sim\mathcal{U}([0,6])$, $P(1\le X\le 4)=$

    • A. $1/2$
    • B. $1/3$
    • C. $3/4$
    • D. $1/6$
    Réponse

    A. $1/2$ — $(4-1)/(6-0)=3/6=1/2$.

  5. La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à :

    • A. $x=\sigma$
    • B. $x=0$
    • C. $x=\mu$
    • D. $x=\mu+\sigma$
    Réponse

    C. $x=\mu$ — La loi normale est symétrique autour de l'espérance $\mu$.

  6. Si $X\sim\mathcal{N}(5,4)$, l'écart-type de $X$ est :

    • A. 4
    • B. 2
    • C. 5
    • D. 16
    Réponse

    B. 2 — $\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{4}=2$.

  7. La variable $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$ suit :

    • A. $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$
    • B. $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$
    • C. $\mathcal{N}(0,1)$
    • D. $\mathcal{U}([0,1])$
    Réponse

    C. $\mathcal{N}(0,1)$ — Le centrage-réduction donne la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0,1)$.

  8. Que vaut $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)$ pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ?

    • A. Environ 68 %
    • B. Environ 95 %
    • C. Environ 99,7 %
    • D. Exactement 100 %
    Réponse

    B. Environ 95 % — Règle des 2 sigma : environ 95,4 %.

  9. $P(Z\le t)+P(Z\ge t)$ vaut, pour tout $t$ réel :

    • A. 0
    • B. 1
    • C. 0,5
    • D. $2\Phi(t)$
    Réponse

    B. 1 — Les événements $Z\le t$ et $Z\gt t$ forment une partition, donc leur somme vaut 1.

  10. Pour $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$, $P(Z\le 0)=$

    • A. 0
    • B. 0,25
    • C. 0,5
    • D. 1
    Réponse

    C. 0,5 — Par symétrie de la loi $\mathcal{N}(0,1)$, $P(Z\le 0)=0{,}5$.

  11. Quelle est la densité de la loi uniforme sur $[1,5]$ ?

    • A. $f(x)=\frac{1}{4}$
    • B. $f(x)=\frac{1}{5}$
    • C. $f(x)=4$
    • D. $f(x)=x/5$
    Réponse

    A. $f(x)=\frac{1}{4}$ — $f(x)=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}$ sur $[1,5]$.

  12. Pour $X\sim\mathcal{N}(10,9)$, la valeur $Z$ correspondant à $X=13$ est :

    • A. $1$
    • B. $3$
    • C. $\frac{1}{3}$
    • D. $\frac{13}{3}$
    Réponse

    A. $1$ — $Z=(13-10)/3=1$.

Niveau moyen — 12 questions

  1. Si $\Phi(1)=0{,}8413$, que vaut $P(-1\le Z\le 1)$ ?

    • A. $0{,}8413$
    • B. $0{,}6826$
    • C. $0{,}1587$
    • D. $1{,}6826$
    Réponse

    B. $0{,}6826$ — $2\Phi(1)-1=2\times 0{,}8413-1=0{,}6826$.

  2. Si $X\sim\mathcal{N}(20,16)$ ($\sigma=4$), calculer $P(X\le 24)$. Avec $\Phi(1)=0{,}8413$.

    • A. $0{,}1587$
    • B. $0{,}8413$
    • C. $0{,}6826$
    • D. $0{,}9772$
    Réponse

    B. $0{,}8413$ — $P(X\le 24)=P(Z\le 1)=\Phi(1)=0{,}8413$.

  3. Pour $X\sim\mathcal{U}([0,10])$, $V(X)=$

    • A. $10$
    • B. $100/12$
    • C. $5$
    • D. $50$
    Réponse

    B. $100/12$ — $V(X)=(10-0)^2/12=100/12\approx 8{,}33$.

  4. Avec $\Phi(2)=0{,}9772$, $P(Z\ge 2)=$

    • A. $0{,}9772$
    • B. $0{,}0228$
    • C. $0{,}0456$
    • D. $0{,}4772$
    Réponse

    B. $0{,}0228$ — $P(Z\ge 2)=1-\Phi(2)=1-0{,}9772=0{,}0228$.

  5. Si $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ pour $x\ge 0$ est une densité, alors $\int_0^{+\infty}f(x)dx=$

    • A. $\lambda$
    • B. $1/\lambda$
    • C. $1$
    • D. $0$
    Réponse

    C. $1$ — Par définition d'une densité, l'intégrale sur tout $\mathbb{R}$ vaut 1.

  6. Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, quelle transformation donne $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ ?

    • A. $Z=X-\mu$
    • B. $Z=X/\sigma$
    • C. $Z=(X-\mu)/\sigma$
    • D. $Z=(X+\mu)/\sigma$
    Réponse

    C. $Z=(X-\mu)/\sigma$ — Le centrage-réduction soustrait $\mu$ et divise par $\sigma$.

  7. Si $P(-t\le Z\le t)=0{,}954$, alors $t$ est approximativement :

    • A. $1$
    • B. $2$
    • C. $3$
    • D. $1{,}5$
    Réponse

    B. $2$ — Règle des 2 sigma : $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx 95{,}4\%$, donc $t=2$.

  8. Pour $X\sim\mathcal{N}(30,25)$ ($\sigma=5$), $P(X\ge 35)$ avec $\Phi(1)=0{,}8413$ est :

    • A. $0{,}8413$
    • B. $0{,}3174$
    • C. $0{,}1587$
    • D. $0{,}6587$
    Réponse

    C. $0{,}1587$ — $P(X\ge 35)=P(Z\ge 1)=1-\Phi(1)=0{,}1587$.

  9. La fonction de répartition $F(x)=P(X\le x)$ d'une loi normale est :

    • A. Décroissante
    • B. Constante
    • C. Croissante
    • D. Non définie
    Réponse

    C. Croissante — $F$ est une fonction de répartition, donc croissante, allant de 0 vers 1.

  10. Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, $E(X)$ vaut :

    • A. $\sigma$
    • B. $\sigma^2$
    • C. $\mu$
    • D. $0$
    Réponse

    C. $\mu$ — L'espérance de la loi normale est son paramètre $\mu$.

  11. Pour $X\sim\mathcal{N}(0,1)$, $P(X\le -1{,}96)$ avec $\Phi(1{,}96)=0{,}975$ est :

    • A. $0{,}975$
    • B. $0{,}025$
    • C. $0{,}05$
    • D. $0{,}95$
    Réponse

    B. $0{,}025$ — $P(Z\le -1{,}96)=1-\Phi(1{,}96)=0{,}025$.

  12. $X$ suit une loi à densité $f$. $P(a\lt X\lt b)$ est égal à :

    • A. $f(b)-f(a)$
    • B. $\int_a^b f(x)dx$
    • C. $b-a$
    • D. $f(a)+f(b)$
    Réponse

    B. $\int_a^b f(x)dx$ — La probabilité se calcule par l'intégrale de la densité.

Niveau difficile — 12 questions

  1. Soit $f(x)=cx^2$ sur $[0,3]$. Pour que $f$ soit une densité, $c$ doit valoir :

    • A. $1/9$
    • B. $1/3$
    • C. $3$
    • D. $9$
    Réponse

    A. $1/9$ — $\int_0^3 cx^2\,dx=c\cdot 9=1$, donc $c=1/9$.

  2. Pour $X\sim\mathcal{B}(100,0{,}05)$, peut-on approcher $X$ par une loi normale ?

    • A. Oui, $np=5\ge 5$
    • B. Non, $np=5\lt 5$
    • C. Oui sans conditions
    • D. Non, $p$ trop petit
    Réponse

    D. Non, $p$ trop petit — $np=5$ est juste à la limite ; conventionnellement $np\gt 5$ est requis (strictement), donc l'approximation est déconseillée.

  3. Si $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ et $Y=aX+b$, alors $Y\sim$ :

    • A. $\mathcal{N}(a\mu,\sigma^2)$
    • B. $\mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)$
    • C. $\mathcal{N}(\mu+b,\sigma^2)$
    • D. $\mathcal{N}(a\mu,a\sigma^2)$
    Réponse

    B. $\mathcal{N}(a\mu+b,a^2\sigma^2)$ — Transformation affine : $E(Y)=aE(X)+b=a\mu+b$, $V(Y)=a^2V(X)=a^2\sigma^2$.

  4. Pour la densité $f(x)=\frac{3}{8}x^2$ sur $[-2,2]$, $E(X)$ vaut :

    • A. $3/2$
    • B. $0$
    • C. $2/3$
    • D. $12/5$
    Réponse

    B. $0$ — $f$ est paire, donc $xf(x)$ est impaire ; l'intégrale sur $[-2,2]$ est nulle.

  5. Avec $X\sim\mathcal{N}(50,100)$ ($\sigma=10$), $P(30\le X\le 70)$ vaut (règle des $k\sigma$) :

    • A. 68%
    • B. 95%
    • C. 99,7%
    • D. 50%
    Réponse

    B. 95% — $\mu\pm 2\sigma=[30;70]$, donc environ 95 %.

  6. Si $\Phi(z_{0{,}95})=0{,}95$, l'intervalle $[\mu-z\sigma;\mu+z\sigma]$ à 90 % est donné par :

    • A. $z=1{,}96$
    • B. $z=1{,}645$
    • C. $z=2{,}33$
    • D. $z=1$
    Réponse

    B. $z=1{,}645$ — $P(-z\le Z\le z)=0{,}90\Rightarrow \Phi(z)=0{,}95$, d'où $z=1{,}645$.

  7. Pour $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, le maximum de sa densité est atteint en :

    • A. $x=\sigma$
    • B. $x=\mu$
    • C. $x=0$
    • D. $x=\mu+\sigma$
    Réponse

    B. $x=\mu$ — La cloche atteint son sommet au centre de symétrie $x=\mu$.

  8. Soit $X\sim\mathcal{B}(200,0{,}5)$. Par approximation normale, $\sigma=$ ?

    • A. $10$
    • B. $\sqrt{50}$
    • C. $50$
    • D. $100$
    Réponse

    A. $10$ — $\sigma=\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{200\times 0{,}5\times 0{,}5}=\sqrt{50}\approx 7{,}07$. Attention: $\sqrt{50}\neq 10$ mais 7,07. Réponse correcte ici $\sqrt{50}\approx 7{,}07$.

  9. Pour $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$, $P(Z\ge z)=0{,}025$ donne $z\approx$ (avec $\Phi(1{,}96)=0{,}975$) :

    • A. $1{,}645$
    • B. $1{,}96$
    • C. $2{,}33$
    • D. $2{,}58$
    Réponse

    B. $1{,}96$ — $P(Z\ge z)=0{,}025\Rightarrow\Phi(z)=0{,}975\Rightarrow z=1{,}96$.

  10. Si $V(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$ et $[a,b]=[2,8]$, alors $V(X)=$

    • A. $3$
    • B. $4$
    • C. $12$
    • D. $36$
    Réponse

    A. $3$ — $(8-2)^2/12=36/12=3$.

  11. Pour une densité $f$, $P(X\in\mathbb{R})=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ vaut :

    • A. Dépend de $f$
    • B. $0$
    • C. $\infty$
    • D. $1$
    Réponse

    D. $1$ — Par définition d'une densité de probabilité, l'intégrale totale vaut 1.

  12. Si $X\sim\mathcal{N}(0,1)$, $P(|X|\le 1{,}96)$ est environ (avec $\Phi(1{,}96)=0{,}975$) :

    • A. $0{,}975$
    • B. $0{,}95$
    • C. $0{,}99$
    • D. $0{,}68$
    Réponse

    B. $0{,}95$ — $P(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=2\Phi(1{,}96)-1=2\times 0{,}975-1=0{,}95$.

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