Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Tests statistiques
Prise de décision sous incertitude : test d'hypothèse, risque de première espèce, intervalle de fluctuation et de confiance (programme Tle spé)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Dans un test statistique, $H_0$ est l'hypothèse :
- A. Alternative
- B. Nulle
- C. Rejetée
- D. Confirmée
Réponse
B. Nulle — $H_0$ est l'hypothèse nulle, le modèle de référence que l'on cherche à tester.
Le risque de première espèce $\alpha$ est la probabilité de :
- A. Rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse
- B. Ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse
- C. Rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie
- D. Ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie
Réponse
C. Rejeter $H_0$ alors qu'elle est vraie — L'erreur de première espèce : on rejette $H_0$ à tort (fausse alarme).
La demi-largeur de l'intervalle de fluctuation au seuil 95 % est :
- A. $\sqrt{n}$
- B. $1/n$
- C. $1/\sqrt{n}$
- D. $n$
Réponse
C. $1/\sqrt{n}$ — La formule approchée de l'intervalle de fluctuation utilise $1/\sqrt{n}$ comme demi-largeur.
Si $n = 100$ et $p_0 = 0{,}3$, la borne supérieure de l'intervalle de fluctuation est :
- A. $0{,}2$
- B. $0{,}4$
- C. $0{,}3$
- D. $0{,}31$
Réponse
B. $0{,}4$ — $p_0 + 1/\sqrt{100} = 0{,}3 + 0{,}1 = 0{,}4$.
Si $f$ est hors de l'intervalle de fluctuation, on :
- A. Ne peut pas conclure
- B. Rejette $H_1$
- C. Rejette $H_0$
- D. Accepte $H_0$ définitivement
Réponse
C. Rejette $H_0$ — Si la fréquence observée sort de l'intervalle, on rejette l'hypothèse nulle $H_0$ au seuil choisi.
Dans un test unilatéral droit, $H_1$ est de la forme :
- A. $p \ne p_0$
- B. $p \lt p_0$
- C. $p \gt p_0$
- D. $p = p_0$
Réponse
C. $p \gt p_0$ — Unilatéral droit signifie qu'on cherche à détecter si $p \gt p_0$ (déviation vers le haut).
L'intervalle de confiance est construit à partir de :
- A. La valeur $p_0$ supposée
- B. La fréquence observée $f$
- C. L'hypothèse $H_1$
- D. Le risque de 2e espèce
Réponse
B. La fréquence observée $f$ — L'intervalle de confiance $[f - 1/\sqrt{n}\,;\, f + 1/\sqrt{n}]$ est centré sur la fréquence observée $f$.
Avec $n = 400$, la demi-largeur de l'IC à 95 % est :
- A. $1/20$
- B. $1/400$
- C. $20$
- D. $1/200$
Réponse
A. $1/20$ — $1/\sqrt{400} = 1/20 = 0{,}05$.
Lequel de ces éléments est fixé AVANT le test ?
- A. La fréquence $f$
- B. Le rejet ou non de $H_0$
- C. Le risque $\alpha$
- D. L'intervalle de confiance
Réponse
C. Le risque $\alpha$ — Le risque de première espèce $\alpha$ est choisi avant le test, généralement à 5 %.
Si $f \in \left[p_0 - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p_0 + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$, on conclut que :
- A. $H_0$ est vraie
- B. $H_0$ est fausse
- C. On ne rejette pas $H_0$
- D. On rejette $H_1$
Réponse
C. On ne rejette pas $H_0$ — On ne rejette pas $H_0$, ce qui ne signifie pas qu'elle est prouvée vraie.
Le niveau de confiance de l'intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}}\,;\, f + \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est :
- A. 5 %
- B. 95 %
- C. 50 %
- D. 100 %
Réponse
B. 95 % — La formule $\pm 1/\sqrt{n}$ correspond à un niveau de confiance de 95 %.
Dans un test de conformité, si $H_0$ est vraie, on la rejettera par erreur dans environ ___ % des cas (avec $\alpha = 5\%$).
- A. 1 %
- B. 5 %
- C. 10 %
- D. 0 %
Réponse
B. 5 % — Par définition du risque de première espèce : 5 % des tests conduiront à un rejet abusif.
Niveau moyen — 12 questions
Pour $n = 225$, $p_0 = 0{,}6$, la borne inférieure de l'IF est :
- A. $0{,}533$
- B. $0{,}667$
- C. $0{,}6$
- D. $0{,}55$
Réponse
A. $0{,}533$ — $0{,}6 - 1/15 \approx 0{,}6 - 0{,}067 = 0{,}533$.
Un sondage de $n = 1600$ personnes donne $f = 0{,}55$. L'IC à 95 % est :
- A. $[0{,}50\,;\, 0{,}60]$
- B. $[0{,}525\,;\, 0{,}575]$
- C. $[0{,}53\,;\, 0{,}57]$
- D. $[0{,}45\,;\, 0{,}65]$
Réponse
B. $[0{,}525\,;\, 0{,}575]$ — $1/\sqrt{1600} = 1/40 = 0{,}025$ ; IC = $[0{,}55-0{,}025\,;\, 0{,}55+0{,}025] = [0{,}525\,;\, 0{,}575]$.
On teste $H_0 : p = 0{,}5$ contre $H_1 : p \lt 0{,}5$ (unilatéral gauche) avec $n = 100$. La zone de rejet est :
- A. $f \gt 0{,}6$
- B. $f \lt 0{,}4$
- C. $f \gt 0{,}4$
- D. $f \lt 0{,}5$
Réponse
B. $f \lt 0{,}4$ — Zone de rejet unilatéral gauche : $f \lt p_0 - 1/\sqrt{n} = 0{,}5 - 0{,}1 = 0{,}4$.
Pour $n = 400$ et $f = 0{,}47$, calculer $f - 1/\sqrt{n}$.
- A. $0{,}47$
- B. $0{,}42$
- C. $0{,}52$
- D. $0{,}37$
Réponse
B. $0{,}42$ — $0{,}47 - 1/20 = 0{,}47 - 0{,}05 = 0{,}42$.
Si $p_0 = 0{,}4 \notin IC$, on peut conclure :
- A. $p = 0{,}4$ est validé
- B. On rejette $H_0 : p = 0{,}4$ au seuil 5 %
- C. On ne peut rien conclure
- D. $\alpha$ a changé
Réponse
B. On rejette $H_0 : p = 0{,}4$ au seuil 5 % — Si $p_0$ est hors de l'IC calculé, cela équivaut à rejeter $H_0 : p = p_0$ dans un test de conformité.
Pour $n = 100$, $p_0 = 0{,}7$ et $f = 0{,}82$ : conclure sur le test bilatéral.
- A. On rejette $H_0$
- B. On ne rejette pas $H_0$
- C. Données insuffisantes
- D. Impossible à déterminer
Réponse
A. On rejette $H_0$ — IF = $[0{,}60\,;\, 0{,}80]$ ; $f = 0{,}82 \gt 0{,}80$, donc $f$ est hors de l'IF : on rejette $H_0$.
Pour $n = 100$, $p_0 = 0{,}7$ et $f = 0{,}78$, conclure sur un test bilatéral ($\alpha=5\%$).
- A. On rejette $H_0$
- B. On ne rejette pas $H_0$
- C. $f$ est dans la zone de rejet gauche
- D. Aucune conclusion possible
Réponse
B. On ne rejette pas $H_0$ — IF = $[0{,}60\,;\, 0{,}80]$ ; $f = 0{,}78 \in [0{,}60\,;\, 0{,}80]$ : on ne rejette pas $H_0$.
Quadrupler la taille de l'échantillon divise la demi-largeur de l'IC par :
- A. $4$
- B. $2$
- C. $\sqrt{2}$
- D. $16$
Réponse
B. $2$ — $1/\sqrt{4n} = \frac{1}{2\sqrt{n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ : la demi-largeur est divisée par 2.
Dans un IC à 95 %, la proba que l'intervalle contienne la vraie valeur $p$ est :
- A. 5 %
- B. 50 %
- C. 95 %
- D. 100 %
Réponse
C. 95 % — Par construction, 95 % des intervalles calculés par cette méthode contiennent la vraie valeur $p$.
Pour $n = 100$ et $f = 0{,}35$, l'IC est $[0{,}25\,;\, 0{,}45]$. Si $p_0 = 0{,}3$, peut-on rejeter $H_0 : p = 0{,}3$ ?
- A. Oui, car $0{,}3 \notin [0{,}25\,;\, 0{,}45]$
- B. Non, car $0{,}3 \in [0{,}25\,;\, 0{,}45]$
- C. Oui, car $f \gt p_0$
- D. Impossible de conclure
Réponse
B. Non, car $0{,}3 \in [0{,}25\,;\, 0{,}45]$ — $0{,}3 \in [0{,}25\,;\, 0{,}45]$ : la valeur $p_0$ est dans l'IC, donc on ne rejette pas $H_0$.
Le test de conformité bilatéral au seuil 5 % avec $n = 400$, $p_0 = 0{,}5$ et $f = 0{,}46$ :
- A. Rejette $H_0$
- B. Ne rejette pas $H_0$
- C. Accepte $H_1$
- D. Aucune de ces réponses
Réponse
B. Ne rejette pas $H_0$ — IF = $[0{,}45\,;\, 0{,}55]$ ; $f = 0{,}46 \in [0{,}45\,;\, 0{,}55]$, on ne rejette pas $H_0$.
Pourquoi l'intervalle $\left[p_0 \pm \frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ est-il une approximation conservatrice ?
- A. Car $p(1-p) \le \frac{1}{4}$, donc $\sqrt{p(1-p)/n} \le \frac{1}{2\sqrt{n}}$
- B. Car $\sqrt{n}$ est toujours inférieur à $n$
- C. Car $\alpha = 5\%$ est trop petit
- D. Car la loi binomiale est symétrique
Réponse
A. Car $p(1-p) \le \frac{1}{4}$, donc $\sqrt{p(1-p)/n} \le \frac{1}{2\sqrt{n}}$ — $p(1-p)$ est maximisé pour $p=1/2$ où il vaut $1/4$. Ainsi $\sigma_{F_n} = \sqrt{p(1-p)/n} \le 1/(2\sqrt{n})$ et la demi-largeur $2\sigma \le 1/\sqrt{n}$.
Niveau difficile — 12 questions
Un test bilatéral à 5 % rejette $H_0$ si $f \lt p_0 - 1/\sqrt{n}$ ou $f \gt p_0 + 1/\sqrt{n}$. Quelle est la probabilité (sous $H_0$) que $f$ soit dans la zone de rejet ?
- A. $2{,}5\%$
- B. $5\%$
- C. $10\%$
- D. $1\%$
Réponse
B. $5\%$ — Par construction de l'intervalle de fluctuation à 95 %, la zone de rejet a une probabilité de 5 % sous $H_0$.
Si l'on répète 1000 fois le même test avec $H_0$ toujours vraie et $\alpha = 5\%$, combien de fois s'attend-on à un rejet erroné ?
- A. $1$
- B. $5$
- C. $50$
- D. $100$
Réponse
C. $50$ — $1000 \times 0{,}05 = 50$ rejections de $H_0$ par erreur (risque de première espèce).
On réalise un test de conformité sur $n = 100$, $p_0 = 0{,}5$, et on obtient $f = 0{,}61$. Quelle est la conclusion ?
- A. On ne rejette pas $H_0$, $f \in [0{,}4\,;\, 0{,}6]$
- B. On rejette $H_0$, $f \notin [0{,}4\,;\, 0{,}6]$
- C. $H_0$ est prouvée vraie
- D. $\alpha$ est supérieur à 5 %
Réponse
B. On rejette $H_0$, $f \notin [0{,}4\,;\, 0{,}6]$ — IF $= [0{,}4\,;\, 0{,}6]$ ; $f = 0{,}61 \gt 0{,}6$ : $f$ est hors de l'intervalle, on rejette $H_0$.
L'erreur de 2e espèce (ne pas rejeter $H_0$ alors qu'elle est fausse) augmente quand :
- A. $n$ augmente
- B. $\alpha$ diminue
- C. $\alpha$ augmente
- D. $n$ diminue et $\alpha$ reste fixe
Réponse
B. $\alpha$ diminue — Diminuer $\alpha$ rend la zone de rejet plus petite, donc plus difficile à atteindre. Le risque de 2e espèce (ne pas rejeter $H_0$ fausse) augmente.
Pour tester si le dé est truqué ($p(6) \ne 1/6$), on lance 600 fois et obtient 120 fois le 6. $f =$ ?
- A. $1/6$
- B. $0{,}20$
- C. $0{,}16$
- D. $0{,}25$
Réponse
B. $0{,}20$ — $f = 120/600 = 0{,}20$.
Avec $n = 600$ et $p_0 = 1/6$, $1/\sqrt{600}$ vaut environ (arrondi au centième) :
- A. $0{,}02$
- B. $0{,}04$
- C. $0{,}05$
- D. $0{,}01$
Réponse
B. $0{,}04$ — $1/\sqrt{600} \approx 1/24{,}5 \approx 0{,}041 \approx 0{,}04$.
Avec $f = 0{,}20$, $p_0 = 1/6 \approx 0{,}167$ et IF $\approx [0{,}127\,;\, 0{,}207]$, conclure :
- A. On rejette $H_0$
- B. On ne rejette pas $H_0$
- C. Le dé est prouvé équilibré
- D. $\alpha \gt 5\%$
Réponse
B. On ne rejette pas $H_0$ — $f = 0{,}20 \in [0{,}127\,;\, 0{,}207]$ : on ne peut pas rejeter l'hypothèse que le dé est équilibré.
L'intervalle de confiance $[f - 1/\sqrt{n}\,;\, f + 1/\sqrt{n}]$ est valide si :
- A. $n \ge 30$, $nf \ge 5$ et $n(1-f) \ge 5$
- B. $n \ge 10$ seulement
- C. $f = 0{,}5$
- D. $p_0$ est connu
Réponse
A. $n \ge 30$, $nf \ge 5$ et $n(1-f) \ge 5$ — Les conditions d'approximation normale pour l'IC sont $n \ge 30$ et $nf \ge 5$ et $n(1-f) \ge 5$.
Pour un IC à 95 % avec $n = 100$ et $f = 0{,}08$, les conditions sont-elles satisfaites ?
- A. Oui : $n=100 \ge 30$, $nf=8 \ge 5$, $n(1-f)=92 \ge 5$
- B. Non, car $f \lt 0{,}5$
- C. Non, car $nf = 8 \lt 10$
- D. Oui, mais uniquement si $p_0$ est connu
Réponse
A. Oui : $n=100 \ge 30$, $nf=8 \ge 5$, $n(1-f)=92 \ge 5$ — $nf = 100 \times 0{,}08 = 8 \ge 5$ et $n(1-f) = 92 \ge 5$ : toutes les conditions sont satisfaites.
Si un IC à 95 % ne contient pas $p_0$, cela équivaut à rejeter $H_0 : p = p_0$ dans un test :
- A. Unilatéral droit à 5 %
- B. Unilatéral gauche à 5 %
- C. Bilatéral à 5 %
- D. Bilatéral à 10 %
Réponse
C. Bilatéral à 5 % — L'IC à 95 % et le test bilatéral à 5 % sont duaux : $p_0 \notin IC_{95\%} \Leftrightarrow $ rejet de $H_0$ dans le test bilatéral à 5 %.
Pour estimer $p$ avec une marge d'erreur inférieure à 1 %, combien faut-il de personnes dans le sondage ?
- A. $n \gt 100$
- B. $n \gt 1000$
- C. $n \gt 10\,000$
- D. $n \gt 100\,000$
Réponse
C. $n \gt 10\,000$ — $1/\sqrt{n} \lt 0{,}01 \Leftrightarrow \sqrt{n} \gt 100 \Leftrightarrow n \gt 10\,000$.
Dans un test bilatéral à 5 %, si $f = p_0 + 0{,}999/\sqrt{n}$, on :
- A. Rejette $H_0$
- B. Ne rejette pas $H_0$
- C. Accepte $H_1$
- D. Doit augmenter $n$
Réponse
B. Ne rejette pas $H_0$ — $f = p_0 + 0{,}999/\sqrt{n} \lt p_0 + 1/\sqrt{n}$ : $f$ est encore dans l'IF, on ne rejette pas $H_0$.
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