Tests statistiques

Exercice 1 — Vocabulaire et intervalle de fluctuation
Corrigé :
1. $\alpha = P(\text{rejeter } H_0 \mid H_0 \text{ vraie})$ : c'est la probabilité de rejeter à tort l'hypothèse nulle (fausse alarme). On fixe $\alpha = 5\%$.
2. Rejeter $H_0$ signifie que les données observées sont incompatibles avec le modèle $H_0$ au niveau de risque choisi. Cela ne prouve pas que $H_0$ est fausse : il y a 5 % de chances qu'on se soit trompé.
3. $1/\sqrt{625} = 1/25 = 0{,}04$. Intervalle : $[0{,}6 - 0{,}04\,;\, 0{,}6 + 0{,}04] = [0{,}56\,;\, 0{,}64]$.
4. $f = 0{,}57 \in [0{,}56\,;\, 0{,}64]$ : on ne rejette pas $H_0$ au seuil de 5 %.

Exercice 2 — Test de conformité — Qualité industrielle
Corrigé :
1. $H_0 : p = 0{,}9$ (le taux de conformité est conforme à la cible) ; $H_1 : p \ne 0{,}9$ (le taux a changé).
2. $f = 348/400 = 0{,}87$.
3. $1/\sqrt{400} = 1/20 = 0{,}05$ ; IF $= [0{,}9 - 0{,}05\,;\, 0{,}9 + 0{,}05] = [0{,}85\,;\, 0{,}95]$.
4. $f = 0{,}87 \in [0{,}85\,;\, 0{,}95]$ : on ne rejette pas $H_0$ au seuil de 5 %. Le lot est statistiquement conforme à la cible de 90 %.
5. Le risque serait de 5 % : c'est le risque de première espèce $\alpha$.

Exercice 3 — Test unilatéral — Campagne publicitaire
Corrigé :
1. $H_0 : p = 0{,}35$ ; $H_1 : p \gt 0{,}35$ (test unilatéral à droite).
2. $1/\sqrt{256} = 1/16 = 0{,}0625$ ; borne droite : $0{,}35 + 0{,}0625 = 0{,}4125$.
3. $f = 0{,}41 \lt 0{,}4125$ : $f$ n'est pas dans la zone de rejet ($f \gt 0{,}4125$). On ne peut pas conclure que la campagne a significativement augmenté le taux d'intention d'achat au seuil de 5 %.
4. IC $= [0{,}41 - 0{,}0625\,;\, 0{,}41 + 0{,}0625] = [0{,}3475\,;\, 0{,}4725]$. On estime le taux réel dans $[34{,}75\%\,;\, 47{,}25\%]$ avec 95 % de confiance.

Exercice 4 — Intervalle de confiance et taille d'échantillon
Corrigé :
1. $1/\sqrt{n} \lt 0{,}03 \Leftrightarrow \sqrt{n} \gt 33{,}3 \Leftrightarrow n \gt 1111$. La taille minimale est $n = 1112$ (ou $n \ge 1112$).
2. $1/\sqrt{900} = 1/30 \approx 0{,}033$ ; IC $= [0{,}18 - 0{,}033\,;\, 0{,}18 + 0{,}033] = [0{,}147\,;\, 0{,}213]$.
3. $0{,}25 \notin [0{,}147\,;\, 0{,}213]$ : la valeur $p_0 = 0{,}25$ n'est pas dans l'IC. On peut rejeter l'hypothèse $p = 0{,}25$ au seuil de 5 %.

Exercice 5 — Analyse critique d'un test
Corrigé :
1. $f = 0{,}67 \gt 0{,}667$, donc $f$ est hors de l'intervalle (tout juste). La conclusion de rejeter $H_0$ est correcte dans sa logique, mais très marginale (la fréquence dépasse à peine la borne).
2. $n = 36 \ge 30$ ✓, $np_0 = 36 \times 0{,}5 = 18 \ge 5$ ✓, $n(1-p_0) = 18 \ge 5$ ✓ : les conditions sont satisfaites.
3. Avec $n = 36$, la demi-largeur est $1/6 \approx 0{,}167$ : l'intervalle est très large. Le test a une faible puissance (il est difficile de détecter un écart réel). Il serait préférable d'augmenter $n$ pour obtenir un test plus sensible.