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Spécialité Mathématiques · Classe de Terminale

Tests statistiques

Prise de décision sous incertitude : test d'hypothèse, risque de première espèce, intervalle de fluctuation et de confiance (programme Tle spé)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Tests statistiques » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en spécialité mathématiques, comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Vocabulaire d'un test statistique : hypothèses et décision, Risque de première espèce et niveau de signification, Intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 %, Test de conformité sur une proportion (bilatéral). Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en spécialité mathématiques.
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Vocabulaire et intervalle de fluctuation

/ 4 pts
  1. Dans un test statistique, on pose $H_0 : p = p_0$ contre $H_1 : p \ne p_0$ au seuil de 5 %.
  2. 1. Donnez la définition du risque de première espèce $\alpha$.
  3. 2. Expliquez la différence entre « rejeter $H_0$ » et « $H_0$ est fausse ».
  4. 3. Pour $n = 625$ et $p_0 = 0{,}6$, calculez les bornes de l'intervalle de fluctuation à 95 %.
  5. 4. On observe $f = 0{,}57$. Quelle est la conclusion du test ?

Exercice 2 — Test de conformité — Qualité industrielle

/ 5 pts
  1. Une chaîne de production vise un taux de pièces conformes de 90 %. Un contrôleur vérifie un lot de $n = 400$ pièces et trouve 348 pièces conformes.
  2. 1. Posez les hypothèses $H_0$ et $H_1$ du test bilatéral.
  3. 2. Calculez la fréquence observée $f$.
  4. 3. Calculez l'intervalle de fluctuation à 95 %.
  5. 4. Concluez.
  6. 5. Si le résultat conduisait à rejeter $H_0$, quel serait le risque (en %) que cette décision soit une erreur ?

Exercice 3 — Test unilatéral — Campagne publicitaire

/ 5 pts
  1. Avant une campagne publicitaire, le taux d'intention d'achat d'un produit est $p_0 = 0{,}35$. Après la campagne, on sonde $n = 256$ personnes et on observe $f = 0{,}41$.
  2. On cherche à savoir si la campagne a augmenté le taux d'intention d'achat.
  3. 1. Formulez les hypothèses $H_0$ et $H_1$ (précisez le type de test).
  4. 2. Calculez la borne droite de la zone de rejet : $p_0 + 1/\sqrt{n}$.
  5. 3. Concluez quant à l'efficacité de la campagne au seuil de 5 %.
  6. 4. Calculez l'intervalle de confiance à 95 % pour le taux réel d'intention d'achat.

Exercice 4 — Intervalle de confiance et taille d'échantillon

/ 3 pts
  1. Un institut de sondage veut estimer la proportion de ménages possédant un véhicule électrique.
  2. 1. Pour une marge d'erreur inférieure à 3 % ($1/\sqrt{n} < 0{,}03$), quelle est la taille minimale de l'échantillon ?
  3. 2. L'institut interroge $n = 900$ ménages et observe $f = 0{,}18$. Donnez l'IC à 95 %.
  4. 3. Est-ce que la valeur $p_0 = 0{,}25$ est compatible avec cet intervalle ? Justifiez.

Exercice 5 — Analyse critique d'un test

/ 3 pts
  1. Un étudiant réalise un test bilatéral au seuil 5 % avec $H_0 : p = 0{,}5$, $n = 36$ et observe $f = 0{,}67$.
  2. 1. L'étudiant calcule IF $= [0{,}5 - 1/6\,;\, 0{,}5 + 1/6] \approx [0{,}333\,;\, 0{,}667]$ et conclut que $f = 0{,}67 \notin [0{,}333\,;\, 0{,}667]$ donc il rejette $H_0$. Cette conclusion est-elle correcte ?
  3. 2. Vérifiez les conditions de validité de l'intervalle de fluctuation pour $n = 36$, $p_0 = 0{,}5$.
  4. 3. Que peut-on reprocher à cet échantillon de taille $n = 36$ pour conduire un tel test ?
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Vocabulaire et intervalle de fluctuation
Corrigé :
1. $\alpha = P(\text{rejeter } H_0 \mid H_0 \text{ vraie})$ : c'est la probabilité de rejeter à tort l'hypothèse nulle (fausse alarme). On fixe $\alpha = 5\%$.
2. Rejeter $H_0$ signifie que les données observées sont incompatibles avec le modèle $H_0$ au niveau de risque choisi. Cela ne prouve pas que $H_0$ est fausse : il y a 5 % de chances qu'on se soit trompé.
3. $1/\sqrt{625} = 1/25 = 0{,}04$. Intervalle : $[0{,}6 - 0{,}04\,;\, 0{,}6 + 0{,}04] = [0{,}56\,;\, 0{,}64]$.
4. $f = 0{,}57 \in [0{,}56\,;\, 0{,}64]$ : on ne rejette pas $H_0$ au seuil de 5 %.

Exercice 2 — Test de conformité — Qualité industrielle
Corrigé :
1. $H_0 : p = 0{,}9$ (le taux de conformité est conforme à la cible) ; $H_1 : p \ne 0{,}9$ (le taux a changé).
2. $f = 348/400 = 0{,}87$.
3. $1/\sqrt{400} = 1/20 = 0{,}05$ ; IF $= [0{,}9 - 0{,}05\,;\, 0{,}9 + 0{,}05] = [0{,}85\,;\, 0{,}95]$.
4. $f = 0{,}87 \in [0{,}85\,;\, 0{,}95]$ : on ne rejette pas $H_0$ au seuil de 5 %. Le lot est statistiquement conforme à la cible de 90 %.
5. Le risque serait de 5 % : c'est le risque de première espèce $\alpha$.

Exercice 3 — Test unilatéral — Campagne publicitaire
Corrigé :
1. $H_0 : p = 0{,}35$ ; $H_1 : p > 0{,}35$ (test unilatéral à droite).
2. $1/\sqrt{256} = 1/16 = 0{,}0625$ ; borne droite : $0{,}35 + 0{,}0625 = 0{,}4125$.
3. $f = 0{,}41 < 0{,}4125$ : $f$ n'est pas dans la zone de rejet ($f > 0{,}4125$). On ne peut pas conclure que la campagne a significativement augmenté le taux d'intention d'achat au seuil de 5 %.
4. IC $= [0{,}41 - 0{,}0625\,;\, 0{,}41 + 0{,}0625] = [0{,}3475\,;\, 0{,}4725]$. On estime le taux réel dans $[34{,}75\%\,;\, 47{,}25\%]$ avec 95 % de confiance.

Exercice 4 — Intervalle de confiance et taille d'échantillon
Corrigé :
1. $1/\sqrt{n} < 0{,}03 \Leftrightarrow \sqrt{n} > 33{,}3 \Leftrightarrow n > 1111$. La taille minimale est $n = 1112$ (ou $n \ge 1112$).
2. $1/\sqrt{900} = 1/30 \approx 0{,}033$ ; IC $= [0{,}18 - 0{,}033\,;\, 0{,}18 + 0{,}033] = [0{,}147\,;\, 0{,}213]$.
3. $0{,}25 \notin [0{,}147\,;\, 0{,}213]$ : la valeur $p_0 = 0{,}25$ n'est pas dans l'IC. On peut rejeter l'hypothèse $p = 0{,}25$ au seuil de 5 %.

Exercice 5 — Analyse critique d'un test
Corrigé :
1. $f = 0{,}67 > 0{,}667$, donc $f$ est hors de l'intervalle (tout juste). La conclusion de rejeter $H_0$ est correcte dans sa logique, mais très marginale (la fréquence dépasse à peine la borne).
2. $n = 36 \ge 30$ ✓, $np_0 = 36 \times 0{,}5 = 18 \ge 5$ ✓, $n(1-p_0) = 18 \ge 5$ ✓ : les conditions sont satisfaites.
3. Avec $n = 36$, la demi-largeur est $1/6 \approx 0{,}167$ : l'intervalle est très large. Le test a une faible puissance (il est difficile de détecter un écart réel). Il serait préférable d'augmenter $n$ pour obtenir un test plus sensible.

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