Maths expertes (option Tle) · Classe de Terminale

Graphes probabilistes et chaînes de Markov

Modélisation de phénomènes aléatoires évolutifs par des graphes probabilistes et des matrices de transition (programme Maths expertes Tle)

À propos de cette page

Cette évaluation sur « Graphes probabilistes et chaînes de Markov » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths expertes (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Graphes probabilistes — définition et vocabulaire, Matrice de transition, Chaînes de Markov — définition et propriété sans mémoire, Distribution d'état à l'instant n. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths expertes (option tle).

Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Graphe probabiliste et matrice de transition

/ 4 pts

Un système peut être dans deux états : $E_1$ et $E_2$. À chaque étape, si on est en $E_1$, on reste en $E_1$ avec probabilité $0{,}8$ et on passe en $E_2$ avec probabilité $0{,}2$. Si on est en $E_2$, on passe en $E_1$ avec probabilité $0{,}6$ et on reste en $E_2$ avec probabilité $0{,}4$.
(a) Représentez le graphe probabiliste (décrivez les arcs et leurs probabilités).
(b) Écrivez la matrice de transition $M$ (convention : ligne $i$ = état de départ $E_i$).
(c) Vérifiez que la somme de chaque ligne de $M$ est bien égale à 1.

Exercice 2 — Distribution d'état après plusieurs étapes

/ 5 pts

On reprend la matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ et la distribution initiale $\pi^{(0)} = (1, 0)$ (système dans l'état $E_1$ au départ).
(a) Calculez $\pi^{(1)}$ (distribution après 1 étape).
(b) Calculez $\pi^{(2)}$ (distribution après 2 étapes).
(c) Calculez $M^2$ (entrée $(M^2)_{11}$ arrondie à 2 déc.).

Exercice 3 — Calcul de l'état stationnaire

/ 5 pts

On cherche l'état stationnaire $\pi^* = (a, b)$ avec $a + b = 1$ de la chaîne de Markov de matrice $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$.
(a) Écrire le système $\pi^* \cdot M = \pi^*$ (deux équations).
(b) Combiner avec $a + b = 1$ pour trouver $a$ et $b$.
(c) Interpréter $\pi^*$ : que représente-t-il pour le système ?

Exercice 4 — Modélisation et interprétation

/ 6 pts

Une entreprise suit l'état de ses machines : Fonctionnelle (F) ou En panne (P). Par jour : si une machine est fonctionnelle, elle tombe en panne avec probabilité $0{,}1$ ; si elle est en panne, elle est réparée avec probabilité $0{,}3$.
(a) Écrire la matrice de transition $M$ (états dans l'ordre F, P).
(b) Une machine est fonctionnelle aujourd'hui. Quelle est la probabilité qu'elle soit en panne dans 2 jours ?
(c) Calculer l'état stationnaire $\pi^*$.
(d) L'entreprise a 100 machines. À long terme, combien sont en panne en moyenne ?

✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Graphe probabiliste et matrice de transition
Corrigé :
(a) Arcs : $E_1 \xrightarrow{0{,}8} E_1$, $E_1 \xrightarrow{0{,}2} E_2$, $E_2 \xrightarrow{0{,}6} E_1$, $E_2 \xrightarrow{0{,}4} E_2$.
(b) $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$.
(c) Ligne 1 : $0{,}8 + 0{,}2 = 1$ ✓ ; Ligne 2 : $0{,}6 + 0{,}4 = 1$ ✓.

Exercice 2 — Distribution d'état après plusieurs étapes
Corrigé :
(a) $\pi^{(1)} = (1, 0) \cdot \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix} = (0{,}8,\; 0{,}2)$.
(b) $\pi^{(2)} = (0{,}8, 0{,}2) \cdot M = (0{,}8 \times 0{,}8 + 0{,}2 \times 0{,}6,\; 0{,}8 \times 0{,}2 + 0{,}2 \times 0{,}4) = (0{,}64 + 0{,}12,\; 0{,}16 + 0{,}08) = (0{,}76,\; 0{,}24)$.
(c) $(M^2)_{11} = 0{,}76$ (aussi calculable directement : $0{,}8^2 + 0{,}2 \times 0{,}6 = 0{,}64 + 0{,}12 = 0{,}76$).

Exercice 3 — Calcul de l'état stationnaire
Corrigé :
(a) $(a, b) \cdot M = (a, b)$ donne :
— 1ère composante : $0{,}8a + 0{,}6b = a$, soit $-0{,}2a + 0{,}6b = 0$, d'où $b = a/3$.
— 2e composante : $0{,}2a + 0{,}4b = b$, soit $0{,}2a = 0{,}6b$, d'où $b = a/3$ (cohérent).
(b) Avec $a + b = 1$ : $a + a/3 = 1 \Rightarrow 4a/3 = 1 \Rightarrow a = 3/4$, $b = 1/4$. Donc $\pi^* = (3/4,\; 1/4)$.
(c) $\pi^*$ est la distribution vers laquelle converge le système sur le long terme : à long terme, le système est dans l'état $E_1$ 75% du temps et dans $E_2$ 25% du temps.

Exercice 4 — Modélisation et interprétation
Corrigé :
(a) $M = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ (ligne 1 : depuis F, ligne 2 : depuis P).
(b) $\pi^{(0)} = (1,0)$. $\pi^{(1)} = (0{,}9,\; 0{,}1)$. $\pi^{(2)}_P = 0{,}9 \times 0{,}1 + 0{,}1 \times 0{,}7 = 0{,}09 + 0{,}07 = 0{,}16$. La probabilité est $0{,}16 = 16\%$.
(c) Système : $0{,}9a + 0{,}3(1-a) = a \Rightarrow 0{,}3 = 0{,}4a \Rightarrow a = 3/4$. Donc $\pi^* = (3/4,\; 1/4)$.
(d) À long terme, la proportion de machines en panne est $\pi^*_P = 1/4$. Avec 100 machines, il y en a en moyenne $\mathbf{25}$ en panne.

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