Divisibilité, nombres premiers et congruences — programme de Maths complémentaires Terminale
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Division euclidienne et divisibilité
Corrigé :
1. $523 = 17 \times 30 + 13$ : quotient $30$, reste $13$.
2. $523 - 13 = 510 = 17 \times 30$, donc $17 \mid 510$.
3. $n(n+1)(n+2)$ est le produit de trois entiers consécutifs. Parmi tout trois consécutifs, l'un est divisible par $2$ et l'un (possiblement différent) est divisible par $3$, donc le produit est divisible par $2 \times 3 = 6$.
Exercice 2 — PGCD et algorithme d'Euclide
Corrigé :
1. $357 = 119 \times 3 + 0$ → $\text{PGCD}(357,119) = 119$.
2. Puisque le reste est $0$, $119 \mid 357$ par définition de la division euclidienne.
3. On cherche $357u + 119v = 119$. Puisque $357 = 3 \times 119$, on peut prendre $u = 0$ et $v = 1$ : $0 + 119 \times 1 = 119$ ✓. (Ou $u = 1, v = -2$ : $357 - 238 = 119$ ✓.)
Exercice 3 — Nombres premiers et décomposition
Corrigé :
1. $1260 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$ ; $756 = 2^2 \times 3^3 \times 7$.
2. $\text{PGCD}(1260, 756) = 2^{\min(2,2)} \times 3^{\min(2,3)} \times 5^{\min(1,0)} \times 7^{\min(1,1)} = 2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252$.
3. $\frac{1260}{756} = \frac{1260/252}{756/252} = \frac{5}{3}$.
Exercice 4 — Congruences
Corrigé :
1. $3^6 \equiv 1 \pmod 7$ (ordre $6$). $200 = 6 \times 33 + 2$, donc $3^{200} \equiv 3^2 = 9 \equiv 2 \pmod 7$.
2. Les chiffres des unités de $9^n$ : $9^1 \to 9$, $9^2 \to 1$, $9^3 \to 9$, $9^4 \to 1$… Période $2$. $2025$ est impair, donc le chiffre des unités est $9$.
3. On cherche l'inverse de $5$ modulo $11$ : $5 \times 9 = 45 = 11 \times 4 + 1 \equiv 1 \pmod{11}$, donc $5^{-1} \equiv 9$. Solution : $x \equiv 9 \times 3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$.
Exercice 5 — Problème de synthèse — Théorème de Gauss
Corrigé :
1. $\text{PGCD}(a,6)=1$ et $6 \mid 5a$. Puisque $\text{PGCD}(6, 5)=1$ (car $5$ et $6$ sont premiers entre eux), le théorème de Gauss donne $6 \mid a$.
2. Soit $d = \text{PGCD}(n, n+2)$. Alors $d \mid n$ et $d \mid (n+2)$, donc $d \mid (n+2) - n = 2$. Ainsi $d \mid 2$, c'est-à-dire $d \in \{1, 2\}$.
3. Si $n$ est impair, $n+2$ est aussi impair. $d = \text{PGCD}(n, n+2)$ divise $n$ (impair), donc $d$ est impair. Comme $d \mid 2$ et $d$ est impair, $d = 1$.
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