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Arithmétique
Divisibilité, nombres premiers et congruences — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Quel est le reste de $25$ divisé par $7$ ?
- A. 2
- B. 3
- C. 4
- D. 5
Réponse
D. 5 — $25 = 7 \times 3 + 4$, reste $= 4$.
Laquelle de ces affirmations est vraie ?
- A. $6 \mid 15$
- B. $4 \mid 26$
- C. $9 \mid 63$
- D. $7 \mid 50$
Réponse
C. $9 \mid 63$ — $63 = 9 \times 7$, donc $9 \mid 63$.
$23$ est-il un nombre premier ?
- A. Non, car $23 = 1 \times 23$
- B. Oui
- C. Non, car $23 = 2 + 21$
- D. Non, car il est impair
Réponse
B. Oui — $23$ n'est divisible que par $1$ et $23$, c'est bien un nombre premier.
Quelle est la décomposition de $12$ en facteurs premiers ?
- A. $3 \times 4$
- B. $2^2 \times 3$
- C. $2 \times 6$
- D. $2^3 \times 3^2$
Réponse
B. $2^2 \times 3$ — $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$.
$n$ et $n+1$ sont-ils premiers entre eux pour tout entier $n$ ?
- A. Non, jamais
- B. Oui, toujours
- C. Seulement si $n$ est pair
- D. Seulement si $n$ est premier
Réponse
B. Oui, toujours — $\text{PGCD}(n, n+1) = \text{PGCD}(n, 1) = 1$ par l'algorithme d'Euclide.
Quel est $\text{PGCD}(15, 10)$ ?
- A. 2
- B. 3
- C. 5
- D. 10
Réponse
C. 5 — $15 = 10 \times 1 + 5$ ; $10 = 5 \times 2$. PGCD $= 5$.
Quel est le plus petit nombre premier pair ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
B. 2 — $2$ est le seul nombre premier pair.
$7 \mid 49$ est vrai car :
- A. $49 = 7 + 42$
- B. $49 = 7 \times 7$
- C. $49 \lt 50$
- D. $49$ est impair
Réponse
B. $49 = 7 \times 7$ — $49 = 7 \times 7$, donc $7 \mid 49$.
$a \equiv b \pmod n$ signifie que :
- A. $a = b$
- B. $n \mid (a + b)$
- C. $n \mid (a - b)$
- D. $a - b = n$
Réponse
C. $n \mid (a - b)$ — Par définition, $a \equiv b \pmod n \iff n \mid (a - b)$.
$18 \equiv ? \pmod 5$
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
C. 3 — $18 = 5 \times 3 + 3$, donc $18 \equiv 3 \pmod 5$.
Combien $36$ a-t-il de diviseurs positifs ?
- A. 7
- B. 8
- C. 9
- D. 6
Réponse
C. 9 — $36 = 2^2 \times 3^2$, nombre de diviseurs $= (2+1)(2+1) = 9$.
L'entier $1$ est-il premier ?
- A. Oui
- B. Non, car il a trop de diviseurs
- C. Non, car un nombre premier doit avoir exactement 2 diviseurs distincts
- D. Non, car il est plus petit que 2
Réponse
C. Non, car un nombre premier doit avoir exactement 2 diviseurs distincts — $1$ n'admet qu'un seul diviseur positif (lui-même), et non deux. Il n'est donc pas premier.
Niveau moyen — 12 questions
Lors du calcul de $\text{PGCD}(48, 18)$, quelle est la première étape de l'algorithme d'Euclide ?
- A. $48 = 18 \times 2 + 12$
- B. $48 = 18 \times 3 - 6$
- C. $18 = 48 \times 0 + 18$
- D. $48 = 18 + 30$
Réponse
A. $48 = 18 \times 2 + 12$ — $48 = 18 \times 2 + 12$ — c'est la division euclidienne de $48$ par $18$.
$\text{PGCD}(56, 98) = ?$
- A. 7
- B. 14
- C. 28
- D. 56
Réponse
B. 14 — $98 = 56 \times 1 + 42$ ; $56 = 42 \times 1 + 14$ ; $42 = 14 \times 3$. PGCD $= 14$.
Lesquels de ces deux entiers sont premiers entre eux ?
- A. $15$ et $25$
- B. $14$ et $21$
- C. $17$ et $34$
- D. $25$ et $36$
Réponse
D. $25$ et $36$ — $\text{PGCD}(25,36) = 1$ car $25 = 5^2$ et $36 = 2^2 \times 3^2$ n'ont pas de facteur commun.
L'identité de Bézout $au + bv = d$ (avec $d = \text{PGCD}(a,b)$) garantit que :
- A. $u$ et $v$ sont uniques
- B. $u$ et $v$ existent mais ne sont pas uniques
- C. $u = v$
- D. $d = 1$ toujours
Réponse
B. $u$ et $v$ existent mais ne sont pas uniques — Bézout garantit l'existence de $u, v$, mais pas leur unicité (il en existe une infinité).
Que vaut $3^4 \pmod 5$ ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
A. 1 — $3^2 = 9 \equiv 4 \pmod 5$ ; $3^4 = (3^2)^2 \equiv 4^2 = 16 \equiv 1 \pmod 5$.
Si $12 \mid a$ et $12 \mid b$, alors quel entier divise nécessairement $a + b$ ?
- A. $6$
- B. $12$
- C. $24$
- D. $144$
Réponse
B. $12$ — Si $12 \mid a$ et $12 \mid b$, alors $12 \mid (a+b)$.
$35x \equiv 0 \pmod 7$ est vérifiée pour :
- A. Aucun entier $x$
- B. Tous les entiers $x$
- C. Seulement $x = 7$
- D. Seulement $x = 0$
Réponse
B. Tous les entiers $x$ — $35 = 7 \times 5$ donc $35x = 7 \times 5x$, divisible par $7$ pour tout $x$.
Si $p$ est premier et $p \mid n^2$, alors :
- A. $p^2 \mid n^2$ seulement
- B. $p \mid n$
- C. $p \mid 2n$
- D. On ne peut rien conclure
Réponse
B. $p \mid n$ — Si $p$ est premier et $p \mid n^2 = n \times n$, le lemme d'Euclide donne $p \mid n$.
Quel est le reste de $100!$ divisé par $101$ (sachant que $101$ est premier) ?
- A. 0
- B. 1
- C. 100
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
A. 0 — $101$ est premier, donc $101 \mid 100!$ car... Non : $101 \gt 100$ donc $101 \nmid 100!$. Le reste est $100! \pmod{101}$. Par Wilson : $(101-1)! = 100! \equiv -1 \equiv 100 \pmod{101}$.
La fraction $\frac{2n+1}{n+1}$ est irréductible pour tout entier $n$ car :
- A. $\text{PGCD}(2n+1, n+1)$ divise $1$
- B. $2n+1$ est toujours premier
- C. $n+1$ est toujours premier
- D. $2n+1$ et $n+1$ sont pairs
Réponse
A. $\text{PGCD}(2n+1, n+1)$ divise $1$ — $\text{PGCD}(2n+1, n+1)$ divise $(2n+1) - 2(n+1) = -1$, donc vaut $1$.
Résoudre $2x \equiv 1 \pmod 9$ donne :
- A. $x \equiv 4 \pmod 9$
- B. $x \equiv 5 \pmod 9$
- C. $x \equiv 7 \pmod 9$
- D. Pas de solution
Réponse
B. $x \equiv 5 \pmod 9$ — $2 \times 5 = 10 \equiv 1 \pmod 9$. Donc $x \equiv 5 \pmod 9$.
Parmi ces entiers, lequel est congru à $0$ modulo $4$ ?
- A. $14$
- B. $18$
- C. $20$
- D. $22$
Réponse
C. $20$ — $20 = 4 \times 5$, donc $20 \equiv 0 \pmod 4$.
Niveau difficile — 12 questions
Pour tout entier $n$, $n^3 - n$ est divisible par :
- A. $3$ seulement
- B. $6$
- C. $4$
- D. $2$ seulement
Réponse
B. $6$ — $n^3 - n = n(n-1)(n+1)$ = produit de $3$ entiers consécutifs, divisible par $3! = 6$.
Si $\text{PGCD}(a, n) = 1$, l'équation $ax \equiv b \pmod n$ :
- A. N'a pas de solution
- B. A exactement une solution modulo $n$
- C. A $n$ solutions
- D. A $a$ solutions
Réponse
B. A exactement une solution modulo $n$ — Si $\text{PGCD}(a,n) = 1$, l'équation a exactement une solution modulo $n$ (l'inverse de $a$ existe).
Quel est le reste de $7^{100}$ modulo $6$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 5
- D. 3
Réponse
B. 1 — $7 \equiv 1 \pmod 6$, donc $7^{100} \equiv 1^{100} = 1 \pmod 6$.
Le théorème de Gauss affirme : si $a \mid bc$ et $\text{PGCD}(a,b) = 1$, alors $a \mid c$. Quel contre-exemple invalide l'énoncé sans l'hypothèse $\text{PGCD}(a,b)=1$ ?
- A. $4 \mid 2 \times 6$ mais $4 \nmid 6$
- B. $3 \mid 2 \times 6$ et $3 \mid 6$
- C. $6 \mid 3 \times 4$ et $6 \nmid 4$
- D. $5 \mid 2 \times 5$ et $5 \mid 5$
Réponse
A. $4 \mid 2 \times 6$ mais $4 \nmid 6$ — $4 \mid 12 = 2 \times 6$ mais $\text{PGCD}(4,2) = 2 \neq 1$ et $4 \nmid 6$.
L'équation $6x \equiv 4 \pmod 9$ a :
- A. Pas de solution car $\text{PGCD}(6,9) = 3 \nmid 4$
- B. Une solution unique
- C. Trois solutions distinctes modulo $9$
- D. Neuf solutions
Réponse
A. Pas de solution car $\text{PGCD}(6,9) = 3 \nmid 4$ — $\text{PGCD}(6,9) = 3$ et $3 \nmid 4$, donc l'équation n'a pas de solution.
Combien de solutions modulo $10$ possède $4x \equiv 2 \pmod{10}$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 4
Réponse
C. 2 — $\text{PGCD}(4,10) = 2$ et $2 \mid 2$, donc il y a $2$ solutions modulo $10$.
Si $p$ est un nombre premier impair, que vaut $(p-1)! \pmod p$ ? (Théorème de Wilson)
- A. $0$
- B. $1$
- C. $p-1 \equiv -1$
- D. $\frac{p-1}{2}$
Réponse
C. $p-1 \equiv -1$ — Le théorème de Wilson énonce que pour $p$ premier, $(p-1)! \equiv -1 \pmod p$.
Quel est le nombre de solutions de $x^2 \equiv 1 \pmod 8$ avec $0 \leq x \leq 7$ ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 4
Réponse
D. 4 — $x = 1, 3, 5, 7$ vérifient $x^2 \equiv 1 \pmod 8$ (car $1, 9, 25, 49$ sont tous $\equiv 1$).
Si $a \equiv 3 \pmod 7$ et $b \equiv 5 \pmod 7$, quel est le reste de $a^2 + b^2$ modulo $7$ ?
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 6
Réponse
B. 2 — $a^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod 7$, $b^2 \equiv 25 \equiv 4 \pmod 7$, $a^2+b^2 \equiv 6 \pmod 7$.
Le nombre $2^{31} - 1 = 2\,147\,483\,647$ est premier (c'est un premier de Mersenne). Sa décomposition en facteurs premiers contient :
- A. Plusieurs facteurs
- B. Un seul facteur (lui-même)
- C. Le facteur $3$
- D. Le facteur $7$
Réponse
B. Un seul facteur (lui-même) — Par définition d'un nombre premier, sa décomposition ne contient qu'un seul facteur : lui-même.
Pour tout entier $n$, $n^2 \pmod 4$ vaut :
- A. $0$ ou $1$
- B. $0, 1$ ou $2$
- C. $0, 1, 2$ ou $3$
- D. Toujours $0$
Réponse
A. $0$ ou $1$ — Si $n$ est pair, $n^2 \equiv 0$ ; si $n$ est impair, $n^2 \equiv 1 \pmod 4$.
L'équation $15u + 35v = 10$ admet une solution entière car :
- A. $10 \gt 0$
- B. $\text{PGCD}(15, 35) = 5$ et $5 \mid 10$
- C. $15$ et $35$ sont tous deux multiples de $5$
- D. $15 + 35 = 50$
Réponse
B. $\text{PGCD}(15, 35) = 5$ et $5 \mid 10$ — Par Bézout généralisé, $au + bv = c$ admet une solution si et seulement si $\text{PGCD}(a,b) \mid c$.
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