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De la machine de Turing à l'intelligence artificielle

Histoire de l'informatique (Turing, von Neumann), algorithme et programme, apprentissage machine, classification (k plus proches voisins), réseaux de neurones, biais et enjeux (programme d'enseignement scientifique de Terminale)

À propos de cette page

Ces exercices corrigés sur « De la machine de Turing à l'intelligence artificielle » en terminale permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en enseignement scientifique. Ils suivent le programme officiel de terminale et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : L'essentiel, De la machine de Turing à l'ordinateur, Algorithme, programme et machine de Turing, Apprentissage automatique et k plus proches voisins. Chaque exercice est suivi d'une correction rédigée, à déplier une fois la recherche faite au brouillon. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser enseignement scientifique en terminale.

Exercices corrigés, classés du plus simple au plus complexe. Cherche d'abord seul au brouillon, puis déplie la correction détaillée pour vérifier ta méthode et tes raisonnements.

Exercice 1 — Remettre l'histoire dans l'ordre

Facile

On considère cinq événements : (A) la victoire d'AlphaGo contre Lee Sedol au jeu de go ; (B) la description de la machine de Turing ; (C) les notes d'Ada Lovelace sur la machine analytique de Babbage ; (D) la conférence de Dartmouth ; (E) le rapport de von Neumann décrivant l'architecture de l'EDVAC.

a) Ranger ces cinq événements dans l'ordre chronologique et indiquer la décennie de chacun.
b) Pour les événements B, C et E, indiquer en une phrase l'idée nouvelle apportée.
c) Turing n'a jamais construit la machine qui porte son nom. Expliquer pourquoi elle reste une étape majeure de l'histoire de l'informatique.

a) Ordre chronologique : C (années 1840) → B (années 1930) → E (années 1940) → D (années 1950) → A (années 2010).

b) C : Ada Lovelace décrit comment la machine analytique, commandée par des cartes perforées, pourrait enchaîner des opérations pour calculer une suite de nombres ; c'est l'idée d'une machine programmable et l'un des premiers programmes publiés. B : Turing donne une définition mathématique précise du calcul mécanique, avec une machine abstraite à ruban, tête et table de transitions. E : von Neumann propose de ranger le programme dans la même mémoire que les données, ce qui fonde l'ordinateur à programme enregistré.

c) La machine de Turing est un modèle théorique : son importance vient de ce qu'elle permet de démontrer, non de sa construction.
• Elle définit ce qui est calculable : un ordinateur, aussi puissant soit-il, ne calcule rien de plus qu'une machine de Turing.
• La machine universelle, qui lit sur son ruban la description d'une autre machine et la simule, contient l'idée de l'ordinateur programmable.
• Elle révèle les limites du calcul : certains problèmes, comme le problème de l'arrêt, sont indécidables.
Elle constitue le fondement théorique de l'informatique.

Exercice 2 — Algorithme ou programme ?

Facile

Document 1 : « Pour savoir si un entier n ≥ 2 est premier, chercher parmi les entiers compris entre 2 et n − 1 un diviseur de n. S'il n'y en a aucun, n est premier. »
Document 2 :

def est_premier(n):
    for d in range(2, n):
        if n % d == 0:
            return False
    return True

(En Python, n % d est le reste de la division euclidienne de n par d, et range(2, n) parcourt les entiers de 2 à n − 1.)

a) Lequel de ces documents est un algorithme, lequel est un programme ? Justifier.
b) Déterminer la valeur renvoyée par est_premier(91), en précisant la valeur de d qui interrompt la boucle, puis la valeur renvoyée par est_premier(97).
c) Ce programme relève-t-il de l'apprentissage automatique ? Justifier.

a) Le document 1 est un algorithme : il décrit une méthode en langage courant, indépendamment de tout langage informatique. Le document 2 est un programme : c'est la traduction de cette méthode en Python, directement exécutable par une machine. Les deux décrivent la même méthode.

b) Pour n = 91, d prend successivement les valeurs 2, 3, 4, 5, 6 : 91 = 2 × 45 + 1, 91 = 3 × 30 + 1, 91 = 4 × 22 + 3, 91 = 5 × 18 + 1, 91 = 6 × 15 + 1 ; les restes ne sont pas nuls. Pour d = 7 : 91 = 7 × 13, le reste est nul, l'instruction return False interrompt la boucle. est_premier(91) renvoie False : 91 n'est pas premier.
Pour n = 97, aucun entier de 2 à 96 ne divise 97 (il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 5, ni par 7 ; or, si 97 avait un diviseur entre 2 et 96, il aurait un diviseur premier inférieur ou égal à √97 ≈ 9,8, donc l'un des nombres 2, 3, 5 ou 7). La boucle se termine sans interruption : est_premier(97) renvoie True.

c) Non. Toutes les règles ont été écrites par le programmeur ; le programme ne s'appuie sur aucun exemple et son comportement ne change jamais. En apprentissage automatique, au contraire, les règles de décision sont construites à partir de données étiquetées. C'est de la programmation classique.

Exercice 3 — Une machine de Turing qui compte

Facile

Une machine de Turing travaille sur un ruban de symboles 1 et de blancs □. Elle démarre dans l'état q0, la tête sur le premier 1 à gauche. Sa table de transitions est la suivante.

État	Symbole lu	Symbole écrit	Déplacement	Nouvel état
q0	1	1	D	q0
q0	□	1	G	q1
q1	1	1	G	q1
q1	□	□	D	fin

a) Exécuter la machine sur le ruban 11 en donnant, après chaque transition, le contenu du ruban, la case de la tête et l'état.
b) Donner le ruban final et le nombre de transitions effectuées.
c) On code un entier n par n symboles 1 consécutifs. Que calcule cette machine ?
d) Montrer que, pour un ruban initial de n symboles 1, la machine effectue 2n + 2 transitions.

a) On numérote les cases : case 0 (blanc à gauche), cases 1 et 2 (les deux 1), case 3 (blanc). Départ : tête en case 1, état q0.
• T1 : q0 lit 1, écrit 1, va à droite → ruban 11, tête case 2, état q0.
• T2 : q0 lit 1, écrit 1, va à droite → ruban 11, tête case 3, état q0.
• T3 : q0 lit □, écrit 1, va à gauche → ruban 111, tête case 2, état q1.
• T4 : q1 lit 1, va à gauche → tête case 1, état q1.
• T5 : q1 lit 1, va à gauche → tête case 0, état q1.
• T6 : q1 lit □, laisse □, va à droite → tête case 1, état fin.

b) Ruban final : 111, obtenu en 6 transitions ; la tête est revenue sur le premier 1.

c) Le ruban initial code 2 et le ruban final code 3. La machine ajoute un 1 à la fin du bloc : elle calcule n + 1, puis ramène la tête au début.

d) En q0, la tête lit les n symboles 1 en allant à droite : n transitions. Elle lit ensuite le blanc, écrit 1 et part à gauche : 1 transition ; le ruban contient alors n + 1 symboles 1 et la tête est sur le n-ième. En q1, elle parcourt vers la gauche les cases n, n − 1, …, 1 : n transitions, et arrive sur le blanc de la case 0. Une dernière transition l'arrête. Total : n + 1 + n + 1 = 2n + 2 transitions. Vérification pour n = 2 : 2 × 2 + 2 = 6, conforme à la question b).

Exercice 4 — Pomme ou orange ?

Moyen

Un logiciel trie des fruits à partir de deux caractéristiques notées de 0 à 10 : x, un indice de couleur (0 = vert, 10 = orange vif), et y, un indice de rugosité de la peau. On dispose de six fruits étiquetés : P1(8 ; 7) orange, P2(4 ; 2) pomme, P3(7 ; 8) orange, P4(3 ; 1) pomme, P5(9 ; 8) orange, P6(2 ; 6) pomme. On veut classer un nouveau fruit X(6 ; 4).

a) Calculer la distance de X à chacun des six fruits, arrondie au centième.
b) Classer X avec l'algorithme des k plus proches voisins pour k = 1, pour k = 3 puis pour k = 5.
c) Pourquoi choisit-on ici une valeur de k impaire ?
d) Un élève propose de remplacer l'indice de rugosité par la masse du fruit en grammes (comprise entre 120 et 260 g), sans autre modification. Expliquer le problème que pose cette proposition.

a) On applique $d = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}}$ :
$X P_{1} = \sqrt{2^{2} + 3^{2}} = \sqrt{13} \approx 3, 61$ ; $X P_{2} = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{8} \approx 2, 83$ ; $X P_{3} = \sqrt{1^{2} + 4^{2}} = \sqrt{17} \approx 4, 12$ ;
$X P_{4} = \sqrt{3^{2} + 3^{2}} = \sqrt{18} \approx 4, 24$ ; $X P_{5} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$ ; $X P_{6} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20} \approx 4, 47$ .

b) Ordre croissant : P2 (pomme), P1 (orange), P3 (orange), P4 (pomme), P6 (pomme), P5 (orange).
• k = 1 : le plus proche voisin est P2 : X est classé pomme.
• k = 3 : P2, P1, P3 donnent 1 pomme et 2 oranges : X est classé orange.
• k = 5 : P2, P1, P3, P4, P6 donnent 3 pommes et 2 oranges : X est classé pomme.
La réponse dépend de k : il faut fixer k à l'aide de données de test.

c) Il n'y a que deux classes. Avec k impair, l'une des deux obtient forcément plus de voix que l'autre : le vote ne peut pas aboutir à une égalité.

d) La masse varie sur un intervalle de 140 g alors que l'indice de couleur varie au plus de 10. Dans le calcul de la distance, les écarts de masse (plusieurs dizaines) écraseraient les écarts de couleur (quelques unités) : le classement dépendrait presque uniquement de la masse. Il faut ramener les caractéristiques à la même échelle (par exemple sur 0 à 10) avant de calculer les distances.

Exercice 5 — Un neurone et les fonctions logiques

Moyen

Un neurone à seuil a deux entrées x₁ et x₂ valant 0 ou 1, les poids w₁ = 0,8 et w₂ = 0,8 et le biais b = −0,6. Il calcule s = w₁x₁ + w₂x₂ + b et renvoie 1 si s ≥ 0, 0 sinon.

a) Calculer s et la sortie pour les quatre couples d'entrées possibles.
b) Quelle fonction logique ce neurone réalise-t-il ?
c) Sans changer les poids, déterminer toutes les valeurs du biais b pour lesquelles le neurone réalise la fonction ET.
d) Montrer qu'aucun choix de w₁, w₂ et b ne permet à un neurone de ce type de réaliser le « ou exclusif » (sortie 1 si exactement une des deux entrées vaut 1).

a) (0 ; 0) : s = −0,6 < 0, sortie 0.
(1 ; 0) : s = 0,8 − 0,6 = 0,2 ≥ 0, sortie 1.
(0 ; 1) : s = 0,8 − 0,6 = 0,2 ≥ 0, sortie 1.
(1 ; 1) : s = 0,8 + 0,8 − 0,6 = 1 ≥ 0, sortie 1.

b) La sortie vaut 1 dès qu'au moins une entrée vaut 1 : le neurone réalise la fonction OU.

c) Pour la fonction ET, il faut :
• sortie 1 pour (1 ; 1) : 1,6 + b ≥ 0, soit b ≥ −1,6 ;
• sortie 0 pour (1 ; 0) et (0 ; 1) : 0,8 + b < 0, soit b < −0,8 ;
• sortie 0 pour (0 ; 0) : b < 0, ce qui découle de la condition précédente.
Conclusion : −1,6 ≤ b < −0,8. Par exemple, b = −1,2 donne s = 0,4 pour (1 ; 1) et s = −0,4 pour (1 ; 0).

d) Raisonnons par l'absurde : supposons qu'un neurone réalise le ou exclusif. Alors :
(0 ; 0) → 0 : b < 0 ; (1 ; 0) → 1 : w₁ + b ≥ 0 ; (0 ; 1) → 1 : w₂ + b ≥ 0 ; (1 ; 1) → 0 : w₁ + w₂ + b < 0.
En additionnant les deuxième et troisième inégalités : w₁ + w₂ + 2b ≥ 0, donc w₁ + w₂ + b ≥ −b. Comme b < 0, −b > 0, donc w₁ + w₂ + b > 0, ce qui contredit la quatrième condition. Aucun neurone à seuil seul ne réalise le ou exclusif : il faut un réseau d'au moins deux couches.

Exercice 6 — Lire une matrice de confusion

Moyen

Un modèle doit reconnaître les photos de chats. Il est évalué sur un jeu de test ; le tableau croisé indique, pour chaque catégorie réelle, les prédictions du modèle.

	Prédit « chat »	Prédit « pas chat »
Réellement chat	92	18
Réellement pas chat	11	129

a) Combien d'images de chats le jeu de test contient-il ? Combien d'images au total ?
b) Calculer le taux d'erreur du modèle.
c) Calculer la proportion des chats effectivement reconnus comme chats, arrondie au dixième de pour cent.
d) Un élève affirme : « Le taux de réussite est de 88,4 %, donc le modèle reconnaît 88,4 % des chats. » Expliquer son erreur.

a) Images de chats : 92 + 18 = 110. Total : 92 + 18 + 11 + 129 = 250 images.

b) Les erreurs sont les cases hors diagonale : 18 chats non reconnus (faux négatifs) et 11 images classées « chat » à tort (faux positifs), soit 29 erreurs. Taux d'erreur : 29 ÷ 250 = 0,116, soit 11,6 %.

c) Parmi les 110 chats, 92 sont reconnus : 92 ÷ 110 ≈ 0,836, soit 83,6 %.

d) Le taux de réussite global vaut bien (92 + 129) ÷ 250 = 221 ÷ 250 = 88,4 %, mais il porte sur toutes les images, y compris les 129 images « pas chat » bien classées. Sur les seuls chats, le modèle n'en reconnaît que 83,6 %. L'élève confond le taux de réussite global et le taux de réussite sur une classe : un taux global ne dit rien, à lui seul, de la performance sur chaque catégorie.

Exercice 7 — Choisir k sans se tromper de données

Moyen

Un modèle des k plus proches voisins trie des photos de feuilles entre deux espèces d'arbres. On mesure son taux d'erreur sur les données d'entraînement et sur des données de test, pour plusieurs valeurs de k. Aucune photo n'apparaît deux fois dans les données.

k	Erreur sur l'entraînement	Erreur sur le test
1	0 %	21 %
3	6 %	14 %
7	8 %	10 %
15	13 %	16 %
41	27 %	29 %

a) Expliquer pourquoi le taux d'erreur sur l'entraînement est nul pour k = 1.
b) Quelle valeur de k faut-il retenir ? Justifier en précisant quelles données on utilise pour décider.
c) Décrire ce qui se passe pour k = 1 en employant le mot « surapprentissage ».
d) Expliquer pourquoi, pour k = 41, les deux taux d'erreur sont élevés.

a) Quand on classe une photo de l'entraînement, elle fait elle-même partie des exemples : sa distance à elle-même est nulle, elle est donc son propre plus proche voisin. Avec k = 1, elle reçoit sa propre étiquette : aucune erreur possible. Ce 0 % ne mesure donc pas la qualité du modèle.

b) On décide avec les données de test, que le modèle n'a pas utilisées : elles seules mesurent sa capacité à classer des photos nouvelles. Le taux d'erreur sur le test est minimal pour k = 7 (10 %). On retient k = 7. Choisir d'après l'entraînement conduirait à k = 1, le plus mauvais choix sur le test après k = 41.

c) Pour k = 1, le modèle colle parfaitement aux données d'entraînement (0 % d'erreur) mais se trompe sur 21 % des photos nouvelles : il suit chaque exemple, même atypique ou mal photographié, au lieu de dégager la tendance générale. C'est un surapprentissage : l'écart de 21 points entre entraînement et test en est le signe.

d) Avec 41 voisins, le vote fait intervenir des photos éloignées du point à classer, donc peu ressemblantes ; la réponse tend vers la classe la plus fréquente dans les données, quelle que soit la photo. Le modèle est trop grossier : il se trompe autant sur l'entraînement (27 %) que sur le test (29 %). On parle de sous-apprentissage.

Exercice 8 — Du recâblage au programme enregistré

Difficile

Document 1. L'ENIAC, présenté au public en 1946 aux États-Unis, pesait environ 30 tonnes, comptait près de 18 000 tubes électroniques et consommait une puissance d'environ 150 kW. Il effectuait environ 5 000 additions par seconde. Pour lui faire exécuter un nouveau calcul, des opératrices reliaient à la main des câbles et réglaient des interrupteurs, ce qui pouvait prendre plusieurs jours.
Document 2. Dans son rapport de 1945 sur l'EDVAC, von Neumann décrit une machine dont la mémoire contient à la fois les nombres à traiter et les instructions, codées elles aussi par des nombres.
Document 3. Un processeur d'ordinateur portable actuel effectue de l'ordre de $10^{11}$ opérations élémentaires par seconde, pour une puissance d'environ 30 W.
On assimile une addition de l'ENIAC à une opération élémentaire. L'énergie consommée par opération est égale à la puissance divisée par le nombre d'opérations par seconde.

1. Citer les quatre composants de l'architecture de von Neumann et préciser où le programme est rangé.
2. À l'aide des documents 1 et 2, expliquer ce que le principe du programme enregistré change pour l'utilisateur de la machine.
3. Calculer combien de fois le processeur actuel est plus rapide que l'ENIAC.
4. Calculer l'énergie consommée par opération par chacune des deux machines, puis le rapport de ces deux énergies. Commenter.
5. Expliquer en quoi l'idée de programme enregistré rejoint celle de la machine universelle de Turing.

1. L'architecture de von Neumann comprend : une unité arithmétique et logique (elle effectue les calculs), une unité de contrôle (elle lit les instructions une à une et les fait exécuter), une mémoire et des entrées-sorties. Le programme est rangé dans la mémoire, avec les données, sous forme de nombres (document 2).

2. Sur l'ENIAC, le programme est inscrit dans le câblage : changer de calcul impose de modifier physiquement la machine, pendant parfois plusieurs jours (document 1). Avec le programme enregistré, les instructions sont des nombres en mémoire : changer de programme revient à charger d'autres nombres, ce qui est rapide et ne touche pas au matériel. Un programme peut même produire ou modifier un autre programme, puisqu'il s'agit de données. La machine devient polyvalente sans intervention matérielle.

3. Rapport des vitesses : $\frac{10^{11}}{5 \times 10^{3}} = \frac{10^{11}}{5 000} = 2 \times 10^{7}$ . Le processeur actuel est environ 20 millions de fois plus rapide.

4. ENIAC : $E_{1} = \frac{150 000 W}{5 000 op/s} = 30$ J par opération.
Processeur actuel : $E_{2} = \frac{30 W}{10^{11} op/s} = 3 \times 10^{- 10}$ J par opération.
Rapport : $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{30}{3 \times 10^{- 10}} = 10^{11}$ .
Une opération coûte environ cent milliards de fois moins d'énergie qu'à l'époque de l'ENIAC. Le gain énergétique est même bien plus spectaculaire que le gain de vitesse, grâce à la miniaturisation (transistors à la place des tubes). Il reste que la multiplication des calculs, notamment pour l'IA, fait croître la consommation totale.

5. La machine universelle de Turing lit sur son ruban la description d'une autre machine, puis la simule : le « programme » y est une donnée comme une autre. Le programme enregistré applique la même idée à une machine réelle : les instructions sont stockées dans la mémoire comme des données, et une seule machine exécute n'importe quel programme qu'on y charge. L'idée théorique de 1936 devient une architecture concrète en 1945.

Exercice 9 — Dépistage automatisé et biais

Difficile

Un modèle d'apprentissage profond analyse des photos de lésions de la peau pour signaler celles qui doivent être examinées par un dermatologue.
Document 1 — données d'entraînement. 9 400 photos étiquetées par des médecins : 8 930 de peaux claires, 470 de peaux foncées.
Document 2 — résultats sur les données de test.

Groupe	Photos testées	Photos correctement classées
Peaux claires	1 200	1 116
Peaux foncées	150	123

1. Calculer la part des photos de peaux foncées dans les données d'entraînement.
2. Calculer le taux de réussite du modèle pour chacun des deux groupes.
3. Calculer le taux de réussite global sur l'ensemble du test, arrondi au dixième de pour cent, et expliquer pourquoi ce seul chiffre est trompeur.
4. Proposer une explication à l'écart observé entre les deux groupes, en utilisant la notion de biais.
5. Un responsable affirme : « Le modèle n'est qu'un calcul mathématique, il ne peut pas être injuste. » Discuter cette affirmation et proposer deux mesures pour corriger la situation.

1. Part des peaux foncées : 470 ÷ 9 400 = 0,05, soit 5 % des données d'entraînement.

2. Peaux claires : 1 116 ÷ 1 200 = 0,93, soit 93 % de réussite (7 % d'erreur).
Peaux foncées : 123 ÷ 150 = 0,82, soit 82 % de réussite (18 % d'erreur).

3. Taux global : (1 116 + 123) ÷ (1 200 + 150) = 1 239 ÷ 1 350 ≈ 0,918, soit 91,8 %. Ce chiffre est dominé par le groupe le plus nombreux (1 200 photos sur 1 350) ; il masque le fait que, pour les peaux foncées, l'erreur est de 18 % contre 7 %, soit environ 18 ÷ 7 ≈ 2,6 fois plus fréquente. Un patient à la peau foncée a donc nettement plus de risques qu'une lésion à surveiller passe inaperçue.

4. Le modèle a appris à reconnaître les lésions presque uniquement sur des peaux claires (95 % des exemples). Sur peau foncée, l'aspect des lésions (couleur, contraste) diffère, et le modèle a vu trop peu d'exemples pour en tirer des règles fiables. Il s'agit d'un biais dû à des données d'entraînement non représentatives de la population à laquelle le modèle s'applique.

5. Le calcul est certes exact, mais il est appliqué à des données choisies et étiquetées par des humains. En cherchant à réduire l'erreur moyenne, le modèle favorise le groupe majoritaire et sacrifie le groupe peu représenté : l'effet est bien inégal entre patients, donc injuste, même sans intention de nuire. L'affirmation est donc fausse : un algorithme n'est pas neutre, il hérite des déséquilibres de ses données.
Mesures possibles : compléter les données d'entraînement avec davantage de photos de peaux foncées, collectées avec le consentement des patients ; mesurer et publier les performances groupe par groupe avant toute mise en service, avec un seuil minimal exigé pour chaque groupe ; maintenir la décision finale par un médecin.

Exercice 10 — Apprendre la fonction ET : le perceptron

Difficile

Document — règle d'apprentissage du perceptron. Un neurone à deux entrées a des poids w₁, w₂ et un biais b ; il renvoie 1 si s = w₁x₁ + w₂x₂ + b ≥ 0, et 0 sinon. On lui présente des exemples un par un. Si sa sortie est correcte, on ne change rien. Si elle vaut 0 alors que 1 était attendu, on ajoute 0,5 × x₁ à w₁, 0,5 × x₂ à w₂ et 0,5 à b. Si elle vaut 1 alors que 0 était attendu, on retire ces mêmes quantités.
On veut apprendre la fonction ET à partir des exemples, présentés dans cet ordre : (0 ; 0) → 0, (0 ; 1) → 0, (1 ; 0) → 0, (1 ; 1) → 1. Au départ, w₁ = w₂ = b = 0.

1. Quelle est la sortie du neurone initial pour l'entrée (0 ; 0) ? Est-elle correcte ?
2. Appliquer la règle aux quatre exemples, dans l'ordre, lors d'un premier passage. Donner w₁, w₂ et b à la fin de ce passage.
3. Après plusieurs passages, les paramètres se stabilisent à w₁ = 1, w₂ = 0,5 et b = −1,5. Montrer que ce neurone classe correctement les quatre exemples.
4. Expliquer en quoi cette procédure est un apprentissage supervisé, et en quoi elle diffère de l'écriture directe d'un programme.
5. Appliquée au « ou exclusif » ((0 ; 0) → 0, (0 ; 1) → 1, (1 ; 0) → 1, (1 ; 1) → 0), la même règle ne stabilise jamais les paramètres. Expliquer pourquoi, en représentant les quatre exemples dans un plan.

1. s = 0 × 0 + 0 × 0 + 0 = 0. Comme s ≥ 0, la sortie vaut 1, alors que 0 est attendu : elle est incorrecte.

2. Premier passage :
• (0 ; 0) : s = 0, sortie 1 au lieu de 0. On retire 0,5 × 0 aux poids (inchangés) et 0,5 au biais : w₁ = 0, w₂ = 0, b = −0,5.
• (0 ; 1) : s = 0 + 0 − 0,5 = −0,5, sortie 0 : correct, rien ne change.
• (1 ; 0) : s = −0,5, sortie 0 : correct.
• (1 ; 1) : s = −0,5, sortie 0 au lieu de 1. On ajoute 0,5 à w₁, 0,5 à w₂ et 0,5 à b : w₁ = 0,5, w₂ = 0,5, b = 0.
Fin du premier passage : w₁ = 0,5 ; w₂ = 0,5 ; b = 0. Ces valeurs ne conviennent pas encore : pour (0 ; 0), s = 0 donne toujours 1. D'autres passages sont nécessaires.

3. Avec w₁ = 1, w₂ = 0,5, b = −1,5 :
(0 ; 0) : s = −1,5 < 0, sortie 0 ✓ ; (0 ; 1) : s = 0,5 − 1,5 = −1 < 0, sortie 0 ✓ ;
(1 ; 0) : s = 1 − 1,5 = −0,5 < 0, sortie 0 ✓ ; (1 ; 1) : s = 1 + 0,5 − 1,5 = 0 ≥ 0, sortie 1 ✓.
Les quatre exemples sont correctement classés ; le cas (1 ; 1) est un cas limite, où s = 0 donne bien 1.

4. L'apprentissage est supervisé car chaque exemple est fourni avec la réponse attendue (son étiquette), et c'est l'écart entre la sortie et cette réponse qui dicte la correction. Personne n'a écrit les valeurs finales des poids : elles ont été obtenues automatiquement à partir des exemples. Dans un programme classique, au contraire, le programmeur écrirait directement la règle (« renvoyer 1 si x₁ = 1 et x₂ = 1 »).

5. Plaçons les quatre entrées dans un repère : (0 ; 0) et (1 ; 1) doivent donner 0, (0 ; 1) et (1 ; 0) doivent donner 1. Un neurone à seuil sépare le plan par la droite d'équation w₁x₁ + w₂x₂ + b = 0 : sortie 1 d'un côté, 0 de l'autre. Or les deux points « 1 » sont sur une diagonale du carré et les deux points « 0 » sur l'autre : tout segment qui relie deux points d'une même classe coupe le segment qui relie les deux autres, donc aucune droite ne sépare les deux classes. Quels que soient les poids, au moins un exemple est mal classé à chaque passage, et la règle modifie les paramètres indéfiniment. Il faut un réseau à plusieurs couches.

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