Modéliser les réseaux sociaux par des graphes : sommets, arêtes, degré et propagation de l'information (programme SNT 2nde)
Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Vocabulaire et représentation des graphes
Corrigé :
Sommet : nœud du graphe, représente un élément (utilisateur, ville…).
Arête : lien entre deux sommets, représente une relation.
Degré : nombre de voisins directs d'un sommet.
Graphe connexe : graphe dans lequel tout sommet est accessible depuis tout autre sommet.
Degrés : d(A) = 2 (relié à B et C), d(B) = 2 (relié à A et D), d(C) = 2 (relié à A et D), d(D) = 2 (relié à B et C).
Vérification : somme des degrés = 2+2+2+2 = 8 = 2×4 arêtes. ✓
Exercice 2 — Distances et diamètre
Corrigé :
a) Chemin le plus court P → R → S → T (longueur 3) ou P → Q → S → T (longueur 3). Distance d(P, T) = 3.
b) Chemin Q → S → T (longueur 2). Distance d(Q, T) = 2.
c) Calcul de toutes les distances :
d(P,Q)=1, d(P,R)=1, d(P,S)=2, d(P,T)=3
d(Q,R)=2, d(Q,S)=1, d(Q,T)=2
d(R,S)=1, d(R,T)=2
d(S,T)=1
La distance maximale est 3 (entre P et T). Diamètre = 3.
Exercice 3 — Matrice d'adjacence
Corrigé :
a) Matrice :
$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
b) d(1) = somme ligne 1 = 0+1+0+1 = 2 ; d(2) = 1+0+1+0 = 2 ; d(3) = 0+1+0+1 = 2 ; d(4) = 1+0+1+0 = 2.
Vérification : somme totale = 8 = 2×4 arêtes. ✓
c) Oui, le graphe est connexe : depuis chaque sommet on peut atteindre tous les autres (ex: chemin 1-2-3-4).
Exercice 4 — Propagation de l'information
Corrigé :
a) d(M1) = 2, d(M2) = 2, d(M3) = 2, d(M4) = 4 (relié à M2, M3, M5, M6). Le sommet M4 est le plus influent.
b) Chemins depuis M1 vers M5 : M1-M2-M4-M5 (3 étapes) ou M1-M3-M4-M5 (3 étapes). Distance minimale = 3 étapes.
c) Non. Sans M4, M5 et M6 sont isolés du reste du réseau (ils n'ont pas d'autre connexion). M1 ne peut plus les atteindre : le graphe n'est plus connexe.
Exercice 5 — Petits mondes et enjeux des réseaux sociaux
Corrigé :
a) La théorie des petits mondes (Milgram, 1967) postule que deux personnes quelconques sont reliées par au plus 6 intermédiaires. Dans les réseaux sociaux numériques, ce nombre est encore plus faible (3,57 sur Facebook en 2016) car les graphes ont de nombreux hubs et une forte densité locale, créant des raccourcis qui réduisent les distances.
b) Avantage : l'information utile (informations de santé, alertes…) se propage très rapidement. Inconvénient : les fausses informations (fake news) et les contenus nuisibles se propagent aussi très vite, touchant des millions de personnes en quelques heures.
Cours particuliers de sciences numériques et technologie (snt) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.