L'histoire de l'âge de la Terre

a) (1) ≈ 75 000 ans : Buffon (1778), durée de refroidissement de boulets de fer extrapolée à la taille de la Terre. (2) 20 à 40 Ma : Kelvin (1897), refroidissement par conduction d'une Terre initialement fondue, sans source de chaleur interne. (3) ≈ 300 Ma : Darwin (1859), durée de l'érosion du Weald. (4) 4,55 Ga : Patterson (1956), datation radioactive plomb-plomb de météorites.

b) 75 000 ans = 7,5 × 10⁴ ans ; 20 à 40 Ma = 2 × 10⁷ à 4 × 10⁷ ans ; 300 Ma = 3 × 10⁸ ans ; 4,55 Ga = 4,55 × 10⁹ ans. Ordre croissant : (1) < (2) < (3) < (4).

c) $\frac{4,55\times {10}^9}{7,5\times {10}^4}\approx 6,1\times {10}^4$. Il faut multiplier l'estimation de Buffon par environ 61 000.

Les estimations ont changé d'échelle, mais pas de façon régulière : l'estimation de Kelvin (1897) est postérieure à celle de Darwin (1859) et pourtant environ dix fois plus faible. Ce recul traduit une controverse entre physiciens et naturalistes, tranchée seulement au XX^e siècle par la radioactivité.

a) La demi-vie d'un noyau radioactif est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux présents dans un échantillon s'est désintégrée. Elle est caractéristique du noyau et ne dépend ni de la quantité initiale ni des conditions extérieures.

b) $\frac{2,50}{1,25}=2$ : 2,50 Ga représentent 2 demi-vies. Donc $N=\frac{N_0}{2^2}=\frac{3,2\times {10}^{14}}{4}=$ 8,0 × 10¹³ noyaux.

Au bout de 5 demi-vies : $N=\frac{3,2\times {10}^{14}}{2^5}=\frac{3,2\times {10}^{14}}{32}=$ 1,0 × 10¹³ noyaux.

c) $t=5\times 1,25=$ 6,25 Ga. Au bout de 5 demi-vies, il reste $\frac{1}{32}$ des noyaux : le minéral a perdu les $\frac{31}{32}$ de son potassium 40.

Or un minéral terrestre s'est formé après la Terre, donc il y a au plus 4,57 Ga. Comme 6,25 Ga > 4,57 Ga, c'est impossible : un tel résultat signalerait une erreur de mesure ou un système non clos.

a) On convertit l'épaisseur dans l'unité de la vitesse : 2 450 m = 2,45 × 10⁶ mm. Alors $t=\frac{e}{v}=\frac{2,45\times {10}^6}{0,35}=7,0\times {10}^6$ ans, soit 7 Ma.

b) C'est le principe d'actualisme : les phénomènes géologiques du passé ont agi comme aujourd'hui, à des vitesses comparables.

c) Première erreur : la série ne représente qu'une partie de l'histoire de la Terre. Des roches plus anciennes existent sous elle, la Terre existait avant le premier dépôt, et des couches ont pu être érodées ou ne jamais se déposer (lacunes). On obtient au mieux la durée de dépôt de cette série, donc un minimum pour l'âge de la Terre.

Seconde erreur : le résultat suppose une vitesse de dépôt constante, alors qu'elle varie selon les milieux et les époques, et que les sédiments se tassent (compaction). Ce n'est qu'un ordre de grandeur, pas un âge.

a) $\frac{9}{2,0}=\frac{18}{4,0}=\frac{27}{6,0}=\frac{36}{8,0}=4,5$ min/cm. Tous les quotients sont égaux : la durée est proportionnelle au diamètre, de coefficient 4,5 min par cm.

b) 12 742 km = 1,2742 × 10⁹ cm. Durée : $4,5\times 1,2742\times {10}^9\approx 5,73\times {10}^9$ min.

Une année compte 365,25 × 24 × 60 = 525 960 min, donc $t\approx \frac{5,73\times {10}^9}{525960}\approx 1,09\times {10}^4$ ans, soit environ 11 000 ans.

c) On obtient quelques dizaines de milliers d'années au plus, comme Buffon (≈ 75 000 ans, soit environ 7 fois plus). Mais on est très loin de l'âge actuel : $\frac{4,57\times {10}^9}{1,09\times {10}^4}\approx 4,2\times {10}^5$. La méthode sous-estime l'âge d'un facteur de plusieurs centaines de milliers.

d) • La Terre n'est pas une bille d'acier homogène qui perd sa chaleur passivement : la radioactivité produit de la chaleur en son sein, et le manteau transporte la chaleur par mouvements de matière.

• La proportionnalité, observée entre 2 et 8 cm, est extrapolée jusqu'à 1,3 × 10⁹ cm, soit sur 8 ordres de grandeur : rien ne garantit qu'elle reste valable.

a) Si le zircon ne contenait aucun plomb au départ, chaque atome de plomb 207 mesuré provient de la désintégration d'un atome d'uranium 235. On peut alors reconstituer le nombre initial d'atomes d'uranium. Un plomb initial serait compté à tort comme produit de désintégration : l'âge serait surestimé.

b) Système clos et plomb initial absent : $N_0=N_P+N_F$. Pour 1 atome d'uranium restant, il y avait $N_0=1+7=8$ atomes au départ. Donc $\frac{N}{N_0}=$ $\frac{1}{8}$.

c) $\frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}$ : il s'est écoulé $n=3$ demi-vies. $t=3\times 0,704=2,112$ Ga. Le zircon a environ 2,11 milliards d'années, valeur inférieure à 4,57 Ga : résultat cohérent.

d) La mesure date la cristallisation du zircon, c'est-à-dire la fermeture du système, et non la formation de la Terre, qui est plus ancienne.

a) Kelvin suppose : une Terre initialement fondue à température uniforme ; un refroidissement par conduction seule ; aucune source de chaleur interne. Il utilise en outre le gradient géothermique mesuré près de la surface.

b) Pour Darwin, l'évolution par sélection naturelle est lente et graduelle : produire la diversité des êtres vivants depuis les premiers fossiles demande des centaines de millions d'années. Avec 20 à 40 Ma, le temps disponible est trop court : l'estimation de Kelvin devient une objection à sa théorie.

c) • La radioactivité (Becquerel, 1896) libère de la chaleur (Curie et Laborde, 1903) : la Terre possède une source de chaleur interne, ce qui contredit la troisième hypothèse.

• Le transport de la chaleur par mouvements de matière dans le manteau (idée défendue par Perry en 1895) est bien plus efficace que la conduction seule, ce qui contredit la deuxième hypothèse.

Dans les deux cas, le gradient de surface reste élevé longtemps : une Terre très âgée paraît jeune, et l'âge de Kelvin est sous-estimé.

d) Le calcul de Kelvin était juste compte tenu de ses hypothèses. Le désaccord portait sur les modèles et les hypothèses : physiciens et naturalistes s'appuyaient sur des arguments rationnels mais différents. C'est la définition d'une controverse scientifique ; elle a été tranchée par de nouvelles données (radioactivité), non par l'autorité de Kelvin.

a) $\frac{57300}{5730}=10$ : il s'est écoulé 10 demi-vies. Proportion restante : $\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}\approx 9,8\times {10}^{-4}$, soit environ 0,098 %.

b) Une météorite a environ 4,57 × 10⁹ ans, soit $\frac{4,57\times {10}^9}{5730}\approx 8\times {10}^5$ demi-vies du carbone 14. Dès 10 demi-vies, il n'en reste qu'un millième : tout le carbone 14 présent à la formation a disparu depuis longtemps. Il n'y a plus rien à mesurer.

c) $\frac{4,57}{4,47}\approx 1,02$ : il s'est écoulé un peu plus d'une demi-vie depuis la formation de la Terre. Après une demi-vie, il reste exactement la moitié des noyaux ; après un peu plus d'une demi-vie, il en reste moins de la moitié : plus de la moitié de l'uranium 238 initial a donc disparu.

d) 12 000 ans représentent $\frac{1,2\times {10}^4}{4,47\times {10}^9}\approx 2,7\times {10}^{-6}$ demi-vie de l'uranium 238 : la quantité d'uranium a varié de quelques millionièmes seulement, variation impossible à mesurer. Il faut un chronomètre dont la demi-vie est du même ordre de grandeur que l'âge cherché : le carbone 14 (12 000 ans ≈ 2 demi-vies).

1. Terre initialement fondue à température uniforme ; refroidissement par conduction seule ; aucune source de chaleur interne ; l'âge se déduit du gradient géothermique actuel.

2. Avec un gradient $G^{\prime }=\frac{G}{2}$ : $t^{\prime }=k\times \frac{T_0^2}{(G/2{)}^2}=k\times \frac{T_0^2}{G^2/4}=4\times k\times \frac{T_0^2}{G^2}=4t$. L'âge est bien multiplié par 4 : $t^{\prime }=4\times 98=$ 392 Ma, soit presque la borne haute de la fourchette de Kelvin. Le résultat est très sensible au gradient.

3. L'âge est proportionnel à $T_0^2$, donc $t^{″}=98\times {\left(\frac{1200}{3900}\right)}^2\approx 98\times 0,0947\approx$ 9,3 Ma. Une température initiale plus basse raccourcit fortement l'âge : c'est ce type de révision qui a conduit Kelvin à resserrer son estimation à 20-40 Ma en 1897.

4. $\frac{20}{47}\approx 0,43$ : environ 43 % de la chaleur qui sort aujourd'hui de la Terre est produite par la radioactivité. La Terre possède donc une source de chaleur interne importante : l'hypothèse « aucune source de chaleur interne » est fausse. Une partie du gradient mesuré est entretenue par cette production, au lieu de témoigner d'un simple refroidissement.

5. D'après le document 3, les mouvements de matière font remonter la chaleur profonde vers la surface : le gradient de surface reste élevé bien plus longtemps que dans un modèle de conduction pure. Or, dans le modèle de Kelvin, un gradient élevé signifie une Terre jeune. Une Terre âgée paraît donc jeune : l'âge calculé est sous-estimé. La production radioactive (question 4) agit dans le même sens.

6. Le calcul de Kelvin était rigoureux et reposait sur des mesures réelles. Mais deux hypothèses étaient fausses : l'absence de source interne (radioactivité, inconnue en 1862) et la conduction seule (convection du manteau). Kelvin n'a pas commis d'erreur de raisonnement ; son modèle était incomplet au regard de connaissances qui n'existaient pas encore. La controverse avec les naturalistes s'est résolue grâce à de nouvelles données, ce qui illustre le fonctionnement normal de la science : un modèle est révisé quand ses hypothèses sont réfutées.

1. Chaque atome de plomb 206 provient d'un atome d'uranium 238 désintégré (pas de plomb initial, système clos) : $N_0=N_P+N_F=100+26=126$ pour 100 atomes restants. Donc $\frac{N}{N_0}=\frac{100}{126}\approx$ 0,794.

2. Dans le document 1, la valeur 0,794 est très proche de 0,792, qui correspond à 1,5 Ga (elle est à peine plus grande, donc l'âge est à peine plus petit). Le granite a cristallisé il y a environ 1,5 Ga.

3. 1,5 Ga est inférieur à la demi-vie de l'uranium 238 (4,47 Ga) : moins d'une demi-vie s'est écoulée, donc moins de la moitié des noyaux s'est désintégrée. Il en reste nécessairement plus de la moitié : $\frac{N}{N_0}>\frac{1}{2}$, ce que confirme 0,794.

4. $N_0=100+72=172$, donc $\frac{N}{N_0}=\frac{100}{172}\approx 0,581$, valeur du tableau pour 3,5 Ga. Le gneiss a environ 3,5 Ga. Il est plus jeune que les gneiss d'Acasta (≈ 4,0 Ga) et les zircons de Jack Hills (≈ 4,4 Ga) : l'âge est plausible pour une roche terrestre très ancienne.

5. Une datation donne l'âge de cristallisation des zircons, pas celui de la planète. La Terre existait avant, et ses premières roches ont été détruites (fusion, tectonique, érosion, métamorphisme). La roche la plus vieille d'un échantillon ne fournit donc qu'un âge minimal ; d'ailleurs, des minéraux terrestres plus vieux (≈ 4,4 Ga) sont connus, et la Terre a 4,57 Ga.

6. Si du plomb 206 s'échappe, on mesure moins d'atomes fils : $N_0=N_P+N_F$ est sous-évalué, la proportion $\frac{N}{N_0}$ calculée est trop grande et correspond, dans le document 1, à un temps plus court. L'âge calculé est donc sous-estimé : l'hypothèse de système clos est indispensable.

1. Les premières roches de la Terre ont été fondues (Terre primitive en grande partie fondue), puis la croûte a été sans cesse recyclée : enfouie par subduction, refondue, transformée par le métamorphisme, détruite par l'érosion. Dans chaque cas, les « chronomètres » radioactifs des minéraux sont remis à zéro ou perdus. Il ne subsiste donc aucune roche datant de la formation de la Terre.

2. Ces zircons se sont formés sur une Terre déjà existante : la Terre est au moins aussi vieille qu'eux. Ils fournissent une borne inférieure : la Terre a au moins 4,4 Ga.

3. Les météorites se sont formées en même temps que le Soleil et les planètes et n'ont presque pas été transformées : leurs chronomètres n'ont pas été remis à zéro. En les datant, on obtient l'âge de la formation du système solaire. Il faut admettre que la Terre s'est formée en même temps que les météorites, à partir du même matériau ; l'accord avec le plomb des sédiments océaniques terrestres (document 2) conforte cette hypothèse.

4. 4,55 − 0,07 = 4,48 et 4,55 + 0,07 = 4,62 : l'âge est compris dans l'intervalle [4,48 Ga ; 4,62 Ga]. Comme 4,48 ≤ 4,57 ≤ 4,62, la valeur actuelle appartient à l'intervalle : le résultat de 1956 est confirmé.

5. $\frac{4,57}{0,704}\approx 6,49$ : il s'est écoulé entre 6 et 7 demi-vies. Après 6 demi-vies, il reste $\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}\approx 1,6$ % ; après 7, il reste $\frac{1}{2^7}=\frac{1}{128}\approx 0,78$ %. La quantité restante diminuant avec le temps, il reste aujourd'hui entre 0,78 % et 1,6 % de l'uranium 235 initial.

6. La valeur de 4,57 Ga repose sur la convergence de résultats indépendants : datation de nombreuses météorites avec plusieurs couples radioactifs (inclusions à 4,57 Ga), cohérence avec les roches lunaires (≈ 4,4 à 4,5 Ga) et avec les plus vieux minéraux terrestres (≈ 4,4 Ga), qui restent plus jeunes, comme attendu. La méthode radioactive s'appuie sur une loi de décroissance indépendante des conditions extérieures, contrairement aux hypothèses fragiles des modèles de refroidissement ou de sédimentation. Aucune donnée ne contredit aujourd'hui cette valeur.