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Matrices et graphes
Représenter et analyser des réseaux à l'aide de matrices et de la théorie des graphes (programme de l'option Maths complémentaires, Terminale générale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une matrice de type $(3,2)$ possède :
- A. 3 lignes et 2 colonnes
- B. 2 lignes et 3 colonnes
- C. 6 lignes
- D. 3 colonnes et 2 lignes
Réponse
A. 3 lignes et 2 colonnes — Type $(m,n)$ : $m$ lignes et $n$ colonnes, donc $(3,2)$ = 3 lignes, 2 colonnes.
Le coefficient $a_{23}$ d'une matrice $A$ est situé :
- A. Ligne 2, colonne 3
- B. Ligne 3, colonne 2
- C. Colonne 2, ligne 3
- D. Diagonale
Réponse
A. Ligne 2, colonne 3 — La notation $a_{ij}$ : $i$ = numéro de ligne, $j$ = numéro de colonne.
La matrice identité $I_2$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ — La matrice identité a des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs.
On peut additionner deux matrices A et B si et seulement si :
- A. Elles ont le même type (même nb de lignes et colonnes)
- B. A est carrée
- C. Elles ont le même nombre de colonnes
- D. Leurs coefficients sont positifs
Réponse
A. Elles ont le même type (même nb de lignes et colonnes) — L'addition matricielle n'est définie que pour des matrices du même type.
Dans un graphe non orienté, une arête entre $s_1$ et $s_2$ :
- A. Relie $s_1$ et $s_2$ sans sens
- B. Va de $s_1$ vers $s_2$ uniquement
- C. S'appelle un arc
- D. Correspond à $m_{12}=0$
Réponse
A. Relie $s_1$ et $s_2$ sans sens — Dans un graphe non orienté, les arêtes n'ont pas de sens de parcours.
Le degré d'un sommet est :
- A. Le nombre d'arêtes incidentes à ce sommet
- B. Le nombre de sommets du graphe
- C. La position du sommet dans la matrice
- D. Le coefficient diagonal
Réponse
A. Le nombre d'arêtes incidentes à ce sommet — Le degré compte combien d'arêtes (ou d'arcs) partent de ou arrivent à ce sommet.
La matrice d'adjacence d'un graphe non orienté simple est toujours :
- A. Symétrique
- B. Diagonale
- C. La matrice identité
- D. Nulle
Réponse
A. Symétrique — Pour un graphe non orienté, $m_{ij}=m_{ji}$ car l'arête entre $i$ et $j$ vaut autant dans les deux sens.
Un graphe connexe est un graphe où :
- A. Tout sommet peut être relié à tout autre par un chemin
- B. Il n'y a pas de cycle
- C. Tous les degrés sont égaux
- D. La matrice d'adjacence est nulle
Réponse
A. Tout sommet peut être relié à tout autre par un chemin — La connexité signifie qu'on peut voyager entre n'importe quels deux sommets.
La matrice nulle $O$ est :
- A. La matrice dont tous les coefficients sont 0
- B. La matrice identité
- C. Une matrice à une seule ligne
- D. La matrice dont la diagonale est nulle
Réponse
A. La matrice dont tous les coefficients sont 0 — La matrice nulle a tous ses coefficients égaux à zéro.
Un arc dans un graphe orienté est :
- A. Une liaison avec un sens (flèche)
- B. Une liaison sans sens
- C. Un sommet
- D. Un cycle
Réponse
A. Une liaison avec un sens (flèche) — Dans un graphe orienté, on parle d'arcs (avec flèches) et non d'arêtes.
La matrice d'adjacence d'un graphe à $n$ sommets est une matrice :
- A. Carrée d'ordre $n$
- B. Rectangulaire de type $(n,1)$
- C. Triangulaire
- D. De type $(1,n)$
Réponse
A. Carrée d'ordre $n$ — Elle est carrée d'ordre $n$ car on a autant de lignes que de colonnes (une par sommet).
Un chemin de longueur $k$ dans un graphe est :
- A. Une suite de $k$ arêtes consécutives
- B. Un sommet parcouru $k$ fois
- C. Un graphe à $k$ sommets
- D. Un cycle de $k$ étapes
Réponse
A. Une suite de $k$ arêtes consécutives — La longueur d'un chemin compte le nombre d'arêtes (ou d'arcs) empruntées.
Niveau moyen — 12 questions
Pour que le produit $AB$ soit défini, il faut que :
- A. Le nb de colonnes de $A$ = nb de lignes de $B$
- B. Le nb de lignes de $A$ = nb de colonnes de $B$
- C. Les deux matrices soient carrées
- D. Elles aient le même type
Réponse
A. Le nb de colonnes de $A$ = nb de lignes de $B$ — Le produit $A_{m\times p} \times B_{p\times n}$ est défini si le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$.
Le coefficient $(i,j)$ de $AB$ est :
- A. La somme $\sum_k a_{ik}b_{kj}$
- B. $a_{ij}+b_{ij}$
- C. $a_{ij}\times b_{ij}$
- D. $a_{ji}+b_{ji}$
Réponse
A. La somme $\sum_k a_{ik}b_{kj}$ — On multiplie ligne $i$ de $A$ par colonne $j$ de $B$ et on somme : $\sum_k a_{ik}b_{kj}$.
$A = \begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$. Quel est $(AB)_{11}$ ?
- A. 2
- B. 1
- C. 3
- D. 0
Réponse
A. 2 — $(AB)_{11}=1\cdot0+2\cdot1=2$.
Pour $A = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $B$ quelconque du bon type, $AB$ vaut :
- A. $B$
- B. $A$
- C. $0$
- D. $2B$
Réponse
A. $B$ — La matrice identité est l'élément neutre du produit matriciel : $I_n B = B$.
La matrice d'adjacence du graphe orienté $s_1\to s_2$, $s_2\to s_3$ est :
- A. $\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}1&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ — $m_{12}=1$ (arc $s_1\to s_2$), $m_{23}=1$ (arc $s_2\to s_3$), tous les autres = 0.
La somme de la ligne $i$ de la matrice d'adjacence d'un graphe orienté donne :
- A. Le degré sortant de $s_i$
- B. Le degré entrant de $s_i$
- C. Le nombre de sommets
- D. Le nombre de cycles
Réponse
A. Le degré sortant de $s_i$ — La somme de la ligne $i$ compte le nombre d'arcs sortant de $s_i$.
Lequel de ces énoncés est VRAI pour le produit matriciel ?
- A. $(AB)C = A(BC)$ (associativité)
- B. $AB = BA$ toujours
- C. $AB=0 \Rightarrow A=0$ ou $B=0$
- D. $(A+B)^2 = A^2+2AB+B^2$
Réponse
A. $(AB)C = A(BC)$ (associativité) — Le produit matriciel est associatif mais pas commutatif.
Pour $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$, $A^2$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}0&2\\0&0\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ — $A^2_{12}=0\cdot1+1\cdot0=0$, tous les coefficients sont nuls.
Le coefficient $(i,j)$ de $M^2$ (M = matrice d'adjacence) représente :
- A. Le nombre de chemins de longueur 2 de $s_i$ à $s_j$
- B. Le nombre d'arêtes entre $s_i$ et $s_j$
- C. Le degré de $s_j$
- D. Le nombre de sommets à distance 2 de $s_i$
Réponse
A. Le nombre de chemins de longueur 2 de $s_i$ à $s_j$ — La puissance $k$ de la matrice d'adjacence donne le nombre de chemins de longueur $k$.
Un circuit dans un graphe orienté est :
- A. Un chemin orienté qui revient à son point de départ
- B. Une arête simple
- C. Un graphe sans boucle
- D. Un chemin sans répétition de sommet
Réponse
A. Un chemin orienté qui revient à son point de départ — Un circuit est un chemin orienté dont le dernier sommet est le premier.
Pour $A = \begin{pmatrix}2&-1\\0&3\end{pmatrix}$, le coefficient $(1,1)$ de $2A - I_2$ est :
- A. 3
- B. 4
- C. 2
- D. 1
Réponse
A. 3 — $(2A-I_2)_{11} = 2\times 2 - 1 = 3$.
Pour un graphe non orienté à $n$ sommets, la somme de tous les degrés est égale à :
- A. Deux fois le nombre d'arêtes
- B. Le nombre d'arêtes
- C. Le nombre de sommets
- D. $n^2$
Réponse
A. Deux fois le nombre d'arêtes — Chaque arête contribue 2 au total des degrés (une fois pour chaque extrémité).
Niveau difficile — 12 questions
Soient $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre 2. Quelle propriété est FAUSSE ?
- A. $AB = BA$ en général
- B. $(AB)C = A(BC)$
- C. $A(B+C) = AB + AC$
- D. $AI = A$
Réponse
A. $AB = BA$ en général — La commutativité est fausse en général pour les matrices : $AB \neq BA$.
La matrice $M = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ vérifie :
- A. $M^3 = I_3$
- B. $M^2 = I_3$
- C. $M^3 = M$
- D. $M^3 = O$
Réponse
A. $M^3 = I_3$ — Cette matrice représente un cycle $s_1\to s_2\to s_3\to s_1$, donc $M^3 = I_3$.
Un graphe est fortement connexe si et seulement si :
- A. Tous les coefficients de $M+M^2+\cdots+M^{n-1}$ sont $\gt 0$
- B. La matrice $M$ est symétrique
- C. $M^2$ est la matrice identité
- D. Tous les degrés sont pairs
Réponse
A. Tous les coefficients de $M+M^2+\cdots+M^{n-1}$ sont $\gt 0$ — La forte connexité se teste via les puissances de la matrice d'adjacence.
Pour $A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $A^2$ a pour coefficient $(1,1)$ :
- A. 1
- B. 2
- C. 0
- D. 3
Réponse
A. 1 — $(A^2)_{11} = 1\cdot1+1\cdot0=1$.
Pour $A = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$, $A^2$ a pour coefficient $(1,2)$ :
- A. 2
- B. 1
- C. 0
- D. 3
Réponse
A. 2 — $(A^2)_{12}=1\cdot1+1\cdot1=2$.
Si $M$ est la matrice d'adjacence d'un graphe et $(M^3)_{13}=5$, cela signifie :
- A. Il y a 5 chemins de longueur 3 de $s_1$ à $s_3$
- B. La distance entre $s_1$ et $s_3$ est 5
- C. Il y a 5 arêtes entre $s_1$ et $s_3$
- D. $s_1$ et $s_3$ ne sont pas connectés
Réponse
A. Il y a 5 chemins de longueur 3 de $s_1$ à $s_3$ — Le coefficient $(i,j)$ de $M^k$ est le nombre de chemins de longueur $k$ de $s_i$ à $s_j$.
Le produit $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$ vaut :
- A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$
- B. $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
- C. $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$
- D. $\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$
Réponse
A. $\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ — $(AB)_{11}=1\cdot0+0\cdot0=0$, tous les coefficients sont nuls : $AB=O$ sans que $A$ ou $B$ soit nulle.
Soit $G$ un graphe non orienté simple à $n$ sommets. Sa matrice d'adjacence $M$ vérifie :
- A. $M = M^T$ et $m_{ii}=0$ pour tout $i$
- B. $M = I_n$
- C. $M$ est triangulaire supérieure
- D. $M^2 = M$
Réponse
A. $M = M^T$ et $m_{ii}=0$ pour tout $i$ — Un graphe non orienté simple a une matrice symétrique ($M=M^T$) sans boucle ($m_{ii}=0$).
Pour tester si deux sommets $s_i$ et $s_j$ sont reliés par un chemin de longueur au plus 3 dans un graphe, on examine :
- A. Les coefficients $(i,j)$ de $M$, $M^2$, $M^3$
- B. Seulement $M^3$
- C. La somme $M+M^2$
- D. Le déterminant de $M^3$
Réponse
A. Les coefficients $(i,j)$ de $M$, $M^2$, $M^3$ — Il faut vérifier si l'un des coefficients $(i,j)$ de $M$, $M^2$ ou $M^3$ est non nul.
Laquelle de ces opérations est valide pour des matrices $A_{2\times3}$ et $B_{3\times2}$ ?
- A. Calculer $AB$ (résultat $2\times2$)
- B. Calculer $A+B$
- C. Calculer $BA$ (résultat $2\times2$)
- D. Aucune des deux
Réponse
A. Calculer $AB$ (résultat $2\times2$) — $A_{2\times3} B_{3\times2}$ est défini (résultat $2\times2$). $A+B$ ne l'est pas car les types diffèrent.
Pour $A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, $AI_2 - I_2 A$ vaut :
- A. $O$ (matrice nulle)
- B. $A$
- C. $2A$
- D. $A - I_2$
Réponse
A. $O$ (matrice nulle) — $AI_2 = A$ et $I_2 A = A$, donc $AI_2 - I_2 A = A - A = O$.
Dans un réseau modélisé par un graphe orienté, si $(M^k)_{ij} = 0$ pour tout $k \geq 1$, alors :
- A. Il n'existe aucun chemin de $s_i$ à $s_j$
- B. Le graphe est connexe
- C. $s_i = s_j$
- D. $i = j$
Réponse
A. Il n'existe aucun chemin de $s_i$ à $s_j$ — Si tous les coefficients $(i,j)$ de toutes les puissances sont nuls, $s_j$ n'est jamais atteignable depuis $s_i$.
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