Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Matrices et graphes
Représenter et analyser des réseaux à l'aide de matrices et de la théorie des graphes (programme de l'option Maths complémentaires, Terminale générale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Opérations matricielles
/ 5 pts- Soient $A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ -2 & 3\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.
- a) Calculez $A + B$. (1 pt)
- b) Calculez $2A - B$. (1 pt)
- c) Calculez le produit $AC$. (2 pts)
- d) Calculez le produit $CA$. Conclure sur la commutativité. (1 pt)
Exercice 2 — Matrice d'adjacence d'un graphe orienté
/ 4 pts- On considère le graphe orienté $G$ à 4 sommets $s_1, s_2, s_3, s_4$ avec les arcs : $s_1\to s_2$, $s_1\to s_3$, $s_2\to s_4$, $s_3\to s_2$, $s_4\to s_1$.
- a) Donner la matrice d'adjacence $M$ de $G$. (2 pts)
- b) Déterminer le degré sortant et le degré entrant de chaque sommet. (1 pt)
- c) Le graphe comporte-t-il un cycle ? Si oui, en donner un. (1 pt)
Exercice 3 — Puissances d'une matrice d'adjacence
/ 5 pts- On donne $M = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ (matrice d'adjacence d'un graphe non orienté à 3 sommets).
- a) Calculez $M^2$. (2 pts)
- b) Que représente le coefficient $(1,3)$ de $M^2$ ? Quelle est sa valeur ? (1 pt)
- c) Calculez $M + M^2$. Que peut-on dire de la connexité du graphe ? (2 pts)
Exercice 4 — Modélisation d'un réseau
/ 4 pts- Quatre antennes relais $A, B, C, D$ (numérotées 1 à 4) peuvent se communiquer directement selon : $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $A \leftrightarrow D$ (graphe non orienté).
- a) Écrire la matrice d'adjacence $M$ de ce réseau. (1 pt)
- b) Peut-on communiquer entre $A$ et $C$ en une seule étape ? En deux étapes ? Justifier par le calcul. (2 pts)
- c) Donner un exemple de chemin de longueur 2 entre $A$ et $C$. (1 pt)
Exercice 5 — Connexité et matrices — problème ouvert
/ 2 pts- On considère un graphe orienté à 3 sommets de matrice d'adjacence $M = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.
- a) Calculez $M^2$ et $M^3$. (1 pt)
- b) Ce graphe est-il fortement connexe ? Justifier en examinant $M + M^2 + M^3$. (1 pt)
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Opérations matricielles
Corrigé :
a) $A+B = \begin{pmatrix}3&3\\1&3\end{pmatrix}$
b) $2A-B = \begin{pmatrix}4-1&-2-4\\6+2&0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6\\8&-3\end{pmatrix}$
c) $AC = \begin{pmatrix}2\cdot0+(-1)\cdot1 & 2\cdot1+(-1)\cdot0\\3\cdot0+0\cdot1 & 3\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&3\end{pmatrix}$
d) $CA = \begin{pmatrix}0\cdot2+1\cdot3 & 0\cdot(-1)+1\cdot0\\1\cdot2+0\cdot3 & 1\cdot(-1)+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\2&-1\end{pmatrix}$
$AC \neq CA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.
Exercice 2 — Matrice d'adjacence d'un graphe orienté
Corrigé :
a) $M = \begin{pmatrix}0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$
b) Degrés sortants : $d^+(s_1)=2$, $d^+(s_2)=1$, $d^+(s_3)=1$, $d^+(s_4)=1$. Degrés entrants : $d^-(s_1)=1$, $d^-(s_2)=2$, $d^-(s_3)=1$, $d^-(s_4)=1$.
c) Oui : le cycle $s_1\to s_2\to s_4\to s_1$ (longueur 3).
Exercice 3 — Puissances d'une matrice d'adjacence
Corrigé :
a) $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
b) $(M^2)_{13}=1$ : il existe 1 chemin de longueur 2 allant de $s_1$ à $s_3$ (via $s_2$).
c) $M+M^2=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ : tous les coefficients sont strictement positifs. Donc chaque paire de sommets est reliée par un chemin de longueur 1 ou 2 : le graphe est connexe.
Exercice 4 — Modélisation d'un réseau
Corrigé :
a) $M = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}$
b) $(M)_{13}=0$ : pas de communication directe en 1 étape. $(M^2)_{13}=0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=2\gt 0$ : il y a 2 chemins de longueur 2 de $A$ vers $C$.
c) Par exemple $A \to B \to C$ ou $A \to D \to C$.
Exercice 5 — Connexité et matrices — problème ouvert
Corrigé :
a) $M^2 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, $M^3 = O$ (matrice nulle).
b) $M+M^2+M^3 = \begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$. Les coefficients $(2,1)$, $(3,1)$, $(3,2)$ sont nuls. Il n'existe aucun chemin de $s_2$ vers $s_1$, ni de $s_3$ vers $s_1$ ou $s_2$. Le graphe n'est donc pas fortement connexe.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Matrices et graphes » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Opérations matricielles/ 5 pts
- Exercice 2 — Matrice d'adjacence d'un graphe orienté/ 4 pts
- Exercice 3 — Puissances d'une matrice d'adjacence/ 5 pts
- Exercice 4 — Modélisation d'un réseau/ 4 pts
- Exercice 5 — Connexité et matrices — problème ouvert/ 2 pts
Notions évaluées
Définitions et vocabulaire des matrices, Opérations sur les matrices : addition et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices, Vocabulaire des graphes, Matrice d'adjacence d'un graphe, Puissances d'une matrice d'adjacence et chemins.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de maths complémentaires (option tle) Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Matrices et graphes » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Matrices et graphes » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Définitions et vocabulaire des matrices, Opérations sur les matrices : addition et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices, Vocabulaire des graphes.
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