← Retour aux ressources
Maths complémentaires (option Tle) · Classe de Terminale

Matrices et graphes

Représenter et analyser des réseaux à l'aide de matrices et de la théorie des graphes (programme de l'option Maths complémentaires, Terminale générale)

À propos de cette page
Cette évaluation sur « Matrices et graphes » en terminale permet de faire le point sur ses connaissances en maths complémentaires (option tle), comme lors d'un véritable contrôle. Elle suit le programme officiel de terminale et propose plusieurs exercices notés sur 20, avec un corrigé détaillé. Au programme : Définitions et vocabulaire des matrices, Opérations sur les matrices : addition et multiplication par un scalaire, Produit de deux matrices, Vocabulaire des graphes. Travaille seul, chronomètre-toi, puis compare tes réponses au corrigé pour identifier les points à revoir. Parfait pour mesurer ses progrès et réviser efficacement. Évaluation gratuite conçue par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale en maths complémentaires (option tle).
Évaluation finale · Niveau difficile · Durée 60 min · Noté sur 20
60:00

Évaluation complète de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.

Exercice 1 — Opérations matricielles

/ 5 pts
  1. Soient $A = \begin{pmatrix}2 & -1 \\ 3 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 & 4 \\ -2 & 3\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.
  2. a) Calculez $A + B$. (1 pt)
  3. b) Calculez $2A - B$. (1 pt)
  4. c) Calculez le produit $AC$. (2 pts)
  5. d) Calculez le produit $CA$. Conclure sur la commutativité. (1 pt)

Exercice 2 — Matrice d'adjacence d'un graphe orienté

/ 4 pts
  1. On considère le graphe orienté $G$ à 4 sommets $s_1, s_2, s_3, s_4$ avec les arcs : $s_1\to s_2$, $s_1\to s_3$, $s_2\to s_4$, $s_3\to s_2$, $s_4\to s_1$.
  2. a) Donner la matrice d'adjacence $M$ de $G$. (2 pts)
  3. b) Déterminer le degré sortant et le degré entrant de chaque sommet. (1 pt)
  4. c) Le graphe comporte-t-il un cycle ? Si oui, en donner un. (1 pt)

Exercice 3 — Puissances d'une matrice d'adjacence

/ 5 pts
  1. On donne $M = \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}$ (matrice d'adjacence d'un graphe non orienté à 3 sommets).
  2. a) Calculez $M^2$. (2 pts)
  3. b) Que représente le coefficient $(1,3)$ de $M^2$ ? Quelle est sa valeur ? (1 pt)
  4. c) Calculez $M + M^2$. Que peut-on dire de la connexité du graphe ? (2 pts)

Exercice 4 — Modélisation d'un réseau

/ 4 pts
  1. Quatre antennes relais $A, B, C, D$ (numérotées 1 à 4) peuvent se communiquer directement selon : $A \leftrightarrow B$, $B \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow D$, $A \leftrightarrow D$ (graphe non orienté).
  2. a) Écrire la matrice d'adjacence $M$ de ce réseau. (1 pt)
  3. b) Peut-on communiquer entre $A$ et $C$ en une seule étape ? En deux étapes ? Justifier par le calcul. (2 pts)
  4. c) Donner un exemple de chemin de longueur 2 entre $A$ et $C$. (1 pt)

Exercice 5 — Connexité et matrices — problème ouvert

/ 2 pts
  1. On considère un graphe orienté à 3 sommets de matrice d'adjacence $M = \begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$.
  2. a) Calculez $M^2$ et $M^3$. (1 pt)
  3. b) Ce graphe est-il fortement connexe ? Justifier en examinant $M + M^2 + M^3$. (1 pt)
✓Corrigé détaillé

Exercice 1 — Opérations matricielles
Corrigé :
a) $A+B = \begin{pmatrix}3&3\\1&3\end{pmatrix}$
b) $2A-B = \begin{pmatrix}4-1&-2-4\\6+2&0-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-6\\8&-3\end{pmatrix}$
c) $AC = \begin{pmatrix}2\cdot0+(-1)\cdot1 & 2\cdot1+(-1)\cdot0\\3\cdot0+0\cdot1 & 3\cdot1+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&3\end{pmatrix}$
d) $CA = \begin{pmatrix}0\cdot2+1\cdot3 & 0\cdot(-1)+1\cdot0\\1\cdot2+0\cdot3 & 1\cdot(-1)+0\cdot0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&0\\2&-1\end{pmatrix}$
$AC \neq CA$ : le produit matriciel n'est pas commutatif.

Exercice 2 — Matrice d'adjacence d'un graphe orienté
Corrigé :
a) $M = \begin{pmatrix}0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}$
b) Degrés sortants : $d^+(s_1)=2$, $d^+(s_2)=1$, $d^+(s_3)=1$, $d^+(s_4)=1$. Degrés entrants : $d^-(s_1)=1$, $d^-(s_2)=2$, $d^-(s_3)=1$, $d^-(s_4)=1$.
c) Oui : le cycle $s_1\to s_2\to s_4\to s_1$ (longueur 3).

Exercice 3 — Puissances d'une matrice d'adjacence
Corrigé :
a) $M^2 = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}$
b) $(M^2)_{13}=1$ : il existe 1 chemin de longueur 2 allant de $s_1$ à $s_3$ (via $s_2$).
c) $M+M^2=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&1\end{pmatrix}$ : tous les coefficients sont strictement positifs. Donc chaque paire de sommets est reliée par un chemin de longueur 1 ou 2 : le graphe est connexe.

Exercice 4 — Modélisation d'un réseau
Corrigé :
a) $M = \begin{pmatrix}0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&1&0&1\\1&0&1&0\end{pmatrix}$
b) $(M)_{13}=0$ : pas de communication directe en 1 étape. $(M^2)_{13}=0\cdot0+1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=2>0$ : il y a 2 chemins de longueur 2 de $A$ vers $C$.
c) Par exemple $A \to B \to C$ ou $A \to D \to C$.

Exercice 5 — Connexité et matrices — problème ouvert
Corrigé :
a) $M^2 = \begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$, $M^3 = O$ (matrice nulle).
b) $M+M^2+M^3 = \begin{pmatrix}0&1&1\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$. Les coefficients $(2,1)$, $(3,1)$, $(3,2)$ sont nuls. Il n'existe aucun chemin de $s_2$ vers $s_1$, ni de $s_3$ vers $s_1$ ou $s_2$. Le graphe n'est donc pas fortement connexe.

→Continuer ce chapitre
📖 Cours ✏️ Exercices 🧩 Problèmes ❓ QCM
↔Autres chapitres
← Arithmétique
Bloqué sur ce chapitre ?

Cours particuliers de maths complémentaires (option tle) à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.

Réserver un 1er cours → Voir les tarifs