Cinquième / Volumes : pavé, prisme droit, cylindre

Ex. 1★★★Compter les cubes par couches — Chaque pavé droit est rempli de cubes de 1 cm d'arête. Attention : des cubes sont cachés derrière et dessous. Voici le pavé droit ABCDEFGH : il mesure 5 cm de long, 2 cm de profondeur et 4 cm de haut.

1. aCombien de cubes compte la couche du bas du pavé droit ABCDEFGH ?
2. bCombien de couches le pavé droit ABCDEFGH a-t-il ? Déduis-en son nombre de cubes et son volume.
3. cTom dit : « Je compte 20 cubes sur la face avant ABCD, donc le volume est 20 cm³. » Explique son erreur.
4. dLe pavé droit MNOPQRST est couché : il mesure 7 cm de long, 5 cm de profondeur et 2 cm de haut. Quel est son volume ?

Ex. 2★★★Longueur, aire ou volume ? — Fais attention à l'unité : cm pour une longueur, cm² pour une aire, cm³ pour un volume.

1. aComplète par cm, cm² ou cm³. La place occupée par une gomme : 8 … ; la surface d'une étiquette : 30 … ; le contour d'un timbre : 12 …
2. bLou écrit : « Un carré de 4 cm de côté a un volume de 16 cm³. » Corrige sa phrase.
3. cUn pavé droit est formé de 32 cubes de 1 dm d'arête. Quel est son volume ?
4. dNina pose une seule couche de cubes de 1 cm d'arête, sans trou, sur un rectangle de 6 cm sur 3 cm. Donne l'aire du rectangle et le volume de la couche.

Ex. 3★★★Des cubes de 2 cm d'arête — Ilan range des cubes de construction de 2 cm d'arête dans une boîte en forme de pavé droit. La boîte mesure 8 cm de long, 4 cm de profondeur et 6 cm de haut. Il la remplit entièrement.

1. aCombien de cubes de 2 cm d'arête faut-il pour couvrir le fond de la boîte ?
2. bCombien de couches de cubes peut-on empiler ? Combien de cubes la boîte contient-elle en tout ?
3. cSam dit : « Un cube vaut 2 cm³, donc le volume de la boîte est 48 cm³. » A-t-il raison ? Explique et donne le bon volume.

Ex. 4★★★Compléter un pavé — Maya veut construire le pavé droit ci-dessous avec des cubes de 1 cm d'arête. Elle a posé toute la couche du bas. Sur la deuxième couche, elle a posé une rangée complète le long de la face avant et une rangée complète le long de la face de droite.

1. aCombien de cubes le pavé droit terminé contiendra-t-il ?
2. bMaya dit : « Sur la deuxième couche, j'ai posé 5 + 3 = 8 cubes. » A-t-elle raison ? Explique.
3. cCombien de cubes lui reste-t-il à ajouter pour terminer le pavé droit ?

Ex. 5★★★Même volume, autre forme — À Rennes, Jade et Elio construisent des solides avec des cubes de 1 cm d'arête.

1. aJade construit un pavé droit de 5 cm de long, 4 cm de profondeur et 3 cm de haut. Quel est son volume ?
2. bElio construit un mur de 10 cubes de long, 1 cube d'épaisseur et 6 cubes de haut. Compare son volume à celui du pavé droit de Jade.
3. cPour le pavé droit de Jade, Elio calcule $5 + 4 + 3 = 12$, puis écrit « 12 cm³ ». Explique son erreur.

Ex. 6★★★Cubes visibles, cubes cachés — Noé et Inès, à Lille, observent le pavé droit KLMNPQRS. Il est entièrement rempli de cubes de 1 cm d'arête. Il mesure 7 cm de long, 3 cm de profondeur et 4 cm de haut. On voit la face avant KLMN, le dessus NMRS et le côté droit LQRM.

1. aCalcule le volume du pavé droit KLMNPQRS en comptant les cubes couche par couche.
2. bInès compte les cubes des trois faces visibles : $28 + 21 + 12 = 61$ cubes. Explique pourquoi certains cubes sont comptés plusieurs fois.
3. cCombien de cubes sont réellement visibles ? Justifie ton calcul.
4. dCombien de cubes sont cachés à l'intérieur ou derrière ? Vérifie avec un deuxième calcul.

Ex. 7★★★Vrai ou faux : même nombre, même volume ? — Sacha, à Nantes, construit trois solides. Solide A : pavé droit de $5 \times 2 \times 2$ cubes de 1 dm d'arête. Solide B : pavé droit de $4 \times 5 \times 1$ cubes de 1 cm d'arête. Solide C : pavé droit STUVWXYZ ci-dessous, formé de 9 cubes de 2 cm d'arête. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par un calcul.

1. a« Les solides A et B ont le même volume, car ils contiennent le même nombre de cubes. »
2. b« Le solide C est formé de 9 cubes de 2 cm d'arête, donc son volume est $9 \times 2 = 18$ cm³. »
3. c« Le fond du solide C a une aire de 36 cm², donc le solide C a un volume de 36 cm³. »
4. d« Pour construire un solide de même volume que le solide A avec des cubes de 1 cm d'arête, il faut 20 cubes. »

Ex. 8★★★L'escalier de la maquette — Margot, à Dijon, construit l'escalier d'une maquette avec des cubes de 1 cm d'arête. La figure montre la face de devant de l'escalier : un carreau représente un cube. L'escalier a 3 cubes de profondeur.

1. aCombien de cubes compte la tranche de devant de l'escalier ?
2. bCalcule le volume de l'escalier, cubes cachés compris.
3. cMargot complète l'escalier pour obtenir un pavé droit de 4 cm de long, 3 cm de profondeur et 4 cm de haut. Combien de cubes ajoute-t-elle ?
4. dElle démonte l'escalier. Peut-elle construire un cube avec exactement ses cubes, sans en laisser ? Justifie.
5. eAvec tous les cubes de l'escalier, elle construit un pavé droit d'une seule couche, de 6 cubes de long. Combien de cubes de large mesure-t-il ? Quel est son volume ?

Ex. 9★★★Automatismes : calculer un volume de tête — Calcule chaque volume de tête. Écris la formule utilisée.

1. aCalcule le volume d'un cube de $5$ cm d'arête.
2. bCalcule le volume d'un pavé droit de $0{,}5$ m sur $0{,}4$ m sur $2{,}5$ m.
3. cCalcule le volume d'un pavé droit de $25$ cm sur $8$ cm sur $5$ cm.
4. dUne brique de jus a une base de $9$ cm sur $4$ cm et une hauteur de $10$ cm. Mia écrit : « $V = 9 \times 4 = 36$ cm³ ». Corrige son erreur.

Ex. 10★★★Automatismes : retrouver une dimension — Retrouve la dimension demandée. Écris le calcul.

1. aUn cube a un volume de $343$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
2. bUn cube a un volume de $1\,000$ cm³. Quelle est la longueur de son arête ?
3. cUn pavé droit de $144$ cm³ a une base de $6$ cm sur $4$ cm. Zoé calcule $144 \div (6 + 4)$. Corrige-la, puis donne la hauteur.
4. dUn pavé droit de $84$ cm³ a une hauteur de $3$ cm. Calcule l'aire de sa base.

Ex. 11★★★Une tirelire debout, puis couchée — La tirelire de Malik est un pavé droit MNPQRSTU : face avant MNPQ, R derrière M, S derrière N, T derrière P, U derrière Q. Elle mesure $6$ cm sur $4$ cm et a une hauteur de $7$ cm. Elle est posée sur sa face MNSR.

1. aQuelle est la longueur de l'arête [NS] ?
2. bCalcule l'aire de la face MNSR, sur laquelle la tirelire est posée.
3. cCalcule le volume de la tirelire.
4. dMalik couche sa tirelire sur la face NPTS. Quelle est alors sa hauteur ?
5. eCalcule le volume de la tirelire couchée avec sa nouvelle base. Le volume a-t-il changé ? Explique.

Ex. 12★★★Le bac à sable de Lina — À Rennes, Lina construit un bac à sable en forme de pavé droit. Il mesure $1{,}6$ m de long, $90$ cm de large et $30$ cm de profondeur.

1. aExprime les trois dimensions en cm, puis calcule le volume du bac en cm³.
2. bTom calcule $1{,}6 \times 90 \times 30 = 4\,320$ et annonce $4\,320$ cm³. Explique son erreur.
3. cExprime les trois dimensions en m, puis calcule le volume du bac en m³.
4. dLe sable est vendu en sacs de $20$ dm³. Combien de sacs Lina doit-elle acheter pour remplir le bac à ras bord ?

Ex. 13★★★Vrai ou faux : la boîte à chaussures — La boîte à chaussures d'Inès est un pavé droit de $30$ cm sur $18$ cm sur $12$ cm. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par un calcul.

1. aHugo : « Le volume de la boîte est $30 + 18 + 12 = 60$ cm³. »
2. bInès : « Si je double seulement la longueur, le volume double. »
3. cSacha : « Si je double les trois arêtes, le volume double aussi. »
4. dNour : « Une boîte cubique de $18$ cm d'arête contient plus que la boîte d'Inès. »

Ex. 14★★★L'aquarium de Yanis — À Lyon, Yanis installe un aquarium en forme de pavé droit RSTUVWXY. Il mesure $1{,}2$ m de long, $40$ cm de large et $50$ cm de haut. On rappelle que $1$ L $= 1$ dm³ $= 1\,000$ cm³.

1. aCalcule le volume de l'aquarium en cm³.
2. bQuelle est la contenance de l'aquarium en litres ?
3. cYanis verse $48$ L d'eau dans l'aquarium vide. Calcule l'aire du fond en cm², puis la hauteur d'eau obtenue.
4. dIl veut remplir l'aquarium vide jusqu'à $5$ cm du bord avec un seau de $8$ L. Combien de seaux pleins doit-il verser ? Justifie.

Ex. 15★★★Les pièces de jeu de Clémence — À Nantes, Clémence range des pièces de jeu. Chaque pièce est un cube de $2{,}5$ cm d'arête. La boîte de rangement est un pavé droit KLMNPQRS de $15$ cm sur $10$ cm sur $7{,}5$ cm.

1. aNoé affirme : « Une pièce a un volume de $3 \times 2{,}5 = 7{,}5$ cm³. » A-t-il raison ? Calcule le volume d'une pièce.
2. bCombien de pièces forment la couche du fond ? Combien de couches peut-on empiler ? Combien de pièces la boîte contient-elle en tout ?
3. cCalcule le volume de la boîte, puis vérifie qu'il est égal au volume total des pièces rangées.
4. dClémence achète une deuxième boîte dont les trois arêtes sont deux fois plus longues. Combien de pièces peut-elle y ranger ? Combien de fois plus que dans la première boîte ?

Ex. 16★★★La bougie creusée de Romane — À Lille, Romane fabrique une bougie avec un moule cubique de $729$ cm³, rempli de cire à ras bord. Sur le dessus, la bougie a un creux en forme de pavé droit, de $3$ cm sur $3$ cm et de $4$ cm de profondeur. Elle sert à poser une petite bougie.

1. aQuelle est la longueur de l'arête du moule ? Justifie par un calcul.
2. bSon frère dit : « Le creux a un volume de $3 \times 3 = 9$ cm³. » Explique son erreur, puis calcule le volume du creux.
3. cQuel volume de cire faut-il pour fabriquer la bougie ?
4. dLa cire est vendue en pains : des pavés droits de $0{,}8$ dm sur $0{,}5$ dm sur $0{,}15$ dm. Calcule le volume d'un pain en dm³, puis en cm³.
5. eCombien de pains Romane doit-elle acheter au minimum ? Justifie.

Ex. 17★★★Automatismes : unités de volume — Les unités de volume vont de $1\,000$ en $1\,000$. Réponds à chaque question.

1. aCe cube a $10$ cm d’arête, soit $1$ dm. Combien de cubes de $1$ cm³ faut-il pour le remplir ? Complète : $1$ dm³ $= \ldots$ cm³.
2. bComplète : $4$ m³ $= \ldots$ dm³.
3. cComplète : $2{,}7$ dm³ $= \ldots$ cm³.
4. dÉcris $5\,300$ mm³ en cm³.
5. eUn seau de sable occupe $8$ dm³. Exprime ce volume en m³.
6. fCombien y a-t-il de cm³ dans $0{,}2$ m³ ?

Ex. 18★★★Automatismes : contenances et litres — Les unités de contenance vont de $10$ en $10$. Pense aussi que $1$ L $= 1$ dm³ et $1$ mL $= 1$ cm³.

1. aUne canette contient $33$ cL. Combien de mL contient-elle ?
2. bComplète : $2{,}4$ hL $= \ldots$ L.
3. cUne fiole de parfum contient $4{,}5$ cL. Exprime cette contenance en mL, puis en cm³.
4. dSacha écrit : « Ma bouteille de $2$ L contient $2$ cm³. » Corrige son erreur.
5. eUn bidon d’eau a une contenance de $0{,}037$ m³. Combien de litres contient-il ?
6. fExprime $680$ cm³ en litres.

Ex. 19★★★Ranger des bacs à plantes — Dans une jardinerie de Rennes, on compare cinq bacs à plantes. Contenances : A : $0{,}12$ m³ ; B : $95$ L ; D : $1\,250$ dL ; E : $1{,}18$ hL. Le bac C est un pavé droit de $50$ cm sur $40$ cm, et $55$ cm de haut.

1. aCalcule le volume du bac C en cm³, puis exprime-le en litres.
2. bExprime les contenances des bacs A, D et E en litres.
3. cRange les cinq bacs du plus petit au plus grand.

Ex. 20★★★Une pièce de jeu et deux erreurs — Jade fabrique une pièce de jeu en forme de cube de $2$ cm d’arête.

1. aCalcule le volume de la pièce en cm³.
2. bJade écrit : « $8$ cm³ $= 80$ mm³, car $1$ cm $= 10$ mm. » Explique son erreur, puis donne le volume de la pièce en mm³.
3. cSon frère Hugo écrit : « $3{,}5$ m³ $= 350$ dm³. » A-t-il raison ? Explique, puis exprime $3{,}5$ m³ en dm³ et en litres.

Ex. 21★★★Une boîte de conserve et une brique de jus — Inès a une boîte de conserve vide. Elle a la forme d’un cylindre de révolution de rayon $4$ cm et de hauteur $11$ cm. Prends $\pi \approx 3{,}14$ et arrondis au centième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la boîte (avec $\pi$), puis une valeur approchée en cm³.
2. bExprime ce volume en mL, puis en litres.
3. cInès verse dans la boîte le contenu d’une brique de jus de $50$ cL. Le jus va-t-il déborder ? Justifie par un calcul.

Ex. 22★★★L’aquarium de Malik — À Lyon, Malik installe un aquarium en forme de pavé droit RSTUVWXY. Il mesure $60$ cm de long, $30$ cm de large et $4$ dm de haut.

1. aCalcule le volume de l’aquarium en cm³. Attention aux unités.
2. bMalik verse de l’eau jusqu’à $5$ cm sous le bord. Calcule le volume d’eau en cm³, puis en litres.
3. cSon frère Noé affirme : « Un volume en cm³ s’écrit avec le même nombre en litres, car $1$ L $= 1$ cm³. » A-t-il raison ? Explique avec l’eau de l’aquarium.
4. dMalik remplit l’aquarium avec une carafe de $1{,}5$ L. Combien de carafes pleines lui faut-il pour verser le volume d’eau calculé plus haut ?
5. eLe flacon de produit pour l’eau indique : « $5$ mL pour $10$ L d’eau ». Quelle quantité de produit Malik doit-il verser ? Donne-la en mL, puis en cL.

Ex. 23★★★Le cahier de Lina : vrai ou faux ? — À Toulouse, Lina a écrit cinq égalités dans son cahier. Pour chacune, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par une conversion. Si elle est fausse, corrige-la.

Ex. 24★★★La piscine hors-sol de Yanis — À Marseille, Yanis remplit une piscine hors-sol. L’eau forme un cylindre de révolution de diamètre $4$ m et de hauteur $0{,}8$ m. Prends $\pi \approx 3{,}14$.

1. aCalcule la valeur exacte du volume d’eau en m³
   (avec $\pi$).
2. bDonne une valeur approchée de ce volume en m³, puis en litres.
3. cLe tuyau d’arrosage verse $16$ L par minute. Combien de temps faut-il pour remplir la piscine ? Donne le résultat en minutes, puis en heures et minutes.
4. dAprès une semaine de soleil, le niveau de l’eau a baissé de $2$ cm. Calcule le volume d’eau perdu en m³, puis exprime-le en litres et en hL.

Ex. 25★★★Automatismes : $V = B \times h$ dans les deux sens — Chaque solide est un prisme droit. $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur du prisme. Écris la formule, puis le calcul.

1. a$B = 17$ cm² et $h = 6$ cm. Calcule le volume $V$.
2. b$B = 24$ cm² et $h = 0{,}5$ dm. Calcule le volume $V$ en cm³.
3. cUn pavé droit est posé sur une face de 6 cm sur $2{,}5$ cm. Il a une hauteur de 4 cm. Calcule l'aire de sa base, puis son volume.
4. d$V = 144$ cm³ et $h = 8$ cm. Calcule l'aire $B$ de la base.
5. e$V = 28$ cm³ et $B = 3{,}5$ cm². Calcule la hauteur $h$ du prisme.

Ex. 26★★★Automatismes : repérer les bases et les deux hauteurs — Ce solide est un prisme droit à base triangulaire. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = $6$ cm et AC = $4$ cm. L'arête [AD] mesure $10$ cm.

1. aNomme les deux bases de ce prisme droit.
2. bQuelle est la forme des faces latérales ? Nomme-les.
3. cQuelle est la hauteur du prisme ? Nomme les trois arêtes qui la mesurent.
4. dCalcule l'aire $B$ de la base ABC.
5. eLéa dit : « La base, c'est le rectangle ABED, puisqu'il est posé en bas. » A-t-elle raison ? Explique.

Ex. 27★★★De la base à plat au volume — Chaque figure est la base d'un prisme droit. Calcule l'aire de la base, puis le volume du prisme.

1. aLa base est le triangle ABC, avec AB = 11 cm, CH = 8 cm et AC = 10 cm. La hauteur du prisme est 6 cm.
2. bLa base est le parallélogramme MNPQ, avec MN = 6 cm et QK = $3{,}5$ cm. La hauteur du prisme est $1{,}5$ dm.

Ex. 28★★★La tirelire en forme de maison — La tirelire de Sami est un prisme droit. Sa base, dessinée ci-dessous, a la forme d'une maison : un rectangle surmonté d'un triangle. On a AB = 8 cm, BC = 6 cm et DI = 3 cm.

1. aDécoupe la base en un rectangle et un triangle. Calcule l'aire de chaque morceau.
2. bDéduis-en l'aire $B$ de la base de la tirelire.
3. cLa tirelire a une profondeur de 95 mm : c'est la hauteur du prisme. Calcule son volume en cm³.

Ex. 29★★★La tente de Lina — La tente de Lina est un prisme droit couché. Ses bases sont les triangles isocèles ABC et DEF, devant et derrière. AB = $1{,}8$ m, CA = CB = $1{,}5$ m, la hauteur du triangle issue de C mesure $1{,}2$ m. La longueur de la tente est AD = $2{,}5$ m.

1. aNoé calcule : $V = 1{,}8 \times 1{,}5 \times 2{,}5 = 6{,}75$ m³. Trouve ses deux erreurs.
2. bCalcule l'aire $B$ d'une base, puis le volume de la tente.
3. cUne autre tente, aussi en forme de prisme droit, a des bases d'aire $1{,}35$ m² et un volume de $2{,}97$ m³. Calcule sa longueur.

Ex. 30★★★La piscine au fond en pente — La piscine de Mila est un prisme droit couché. Son fond est en pente : la profondeur passe de $1{,}2$ m à $2$ m sur $12$ m de long. La face de côté ABCD est dessinée à plat ci-dessous. La piscine mesure $5$ m de large.

1. aQuelles sont les deux bases de ce prisme droit ? Quelle est la hauteur du prisme ?
2. bDécoupe la face ABCD en un rectangle et un triangle grâce au segment [AE]. Calcule l'aire $B$ de la base.
3. cCalcule le volume de la piscine en m³, puis sa contenance en litres.
4. dTom, le frère de Mila, calcule : $12 \times 5 \times 2 = 120$ m³. Explique son erreur. De combien de m³ s'est-il trompé ?
5. eUne pompe verse $400$ L d'eau par minute. Combien de temps faut-il pour remplir la piscine ? Donne la réponse en heures.

Ex. 31★★★Les pièces du jeu de construction — Malo a deux pièces de jeu en bois en forme de prisme droit. Pièce rouge : la base est le parallélogramme ABCD, avec AB = $6$ cm, AD = $5$ cm et la hauteur DH = $4$ cm. La hauteur du prisme est $25$ mm. Pièce bleue : la base est le triangle RST, avec RS = $8$ cm et RT ≈ $5{,}4$ cm. La hauteur issue de T mesure $5$ cm. La hauteur du prisme est $3$ cm.

1. aCalcule le volume de la pièce rouge en cm³.
2. bCalcule le volume de la pièce bleue en cm³.
3. cPour la pièce rouge, Nora calcule $6 \times 5 \div 2 \times 25 = 375$. Trouve ses trois erreurs.
4. dMalo dit : « Mes $2$ pièces rouges et mes $3$ pièces bleues tiennent dans ma boîte en forme de pavé droit de $9$ cm sur $5$ cm sur $6$ cm. » Est-ce possible ? Justifie par un calcul.

Ex. 32★★★L'aquarium d'angle — L'aquarium d'angle d'Inès est un prisme droit posé sur sa base. La hauteur du prisme est $45$ cm. Sa base est le triangle ABC rectangle en A, avec AB = $40$ cm, AC = $30$ cm et BC = $50$ cm.

1. aCalcule l'aire de la base, puis la contenance de l'aquarium en litres.
2. bInès laisse $5$ cm vides en haut de l'aquarium. Combien de litres d'eau peut-elle verser au maximum ?
3. cUn autre jour, elle verse $21$ L d'eau dans l'aquarium vide. Calcule la hauteur de l'eau.
4. dYanis a un aquarium en forme de pavé droit de $50$ cm de haut. Sa contenance est de $60$ L. Sa base est un rectangle de $40$ cm de long. Calcule l'aire de sa base, puis sa largeur.

Ex. 33★★★Calculer le volume d’un cylindre — Calcule le volume de chaque cylindre de révolution ($\pi \approx 3{,}14$). Écris d’abord la formule.

1. aLe cylindre ci-dessous.
2. bUn cylindre de rayon $1{,}5$ cm et de hauteur $6$ cm.
3. cUn cylindre de diamètre $14$ cm et de hauteur $3$ cm.
4. dUn cylindre de rayon $0{,}4$ dm et de hauteur $9$ cm
   (exprime tout en cm).

Ex. 34★★★Valeur exacte et valeur approchée — Réponds à chaque question ($\pi \approx 3{,}14$ pour une valeur approchée).

1. aDonne la valeur exacte du volume du cylindre ci-dessus, écrite avec $\pi$.
2. bDonne une valeur approchée du volume de ce cylindre.
3. cLina écrit : « $V = 96\pi = 301{,}44$ cm³ ». Corrige son écriture et explique.
4. dUn cylindre de hauteur $5$ cm a un volume de $45\pi$ cm³. Donne la valeur exacte de l’aire de sa base.
5. eQuel est le rayon de ce cylindre de volume $45\pi$ cm³ ? Justifie.

Ex. 35★★★Trouver l’erreur — Chaque élève s’est trompé. Trouve l’erreur, puis refais le calcul ($\pi \approx 3{,}14$). Arrondis au dixième si besoin.

1. aTom, pour ce cylindre : « Base : $2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4$ cm², donc $V \approx 188{,}4$ cm³. »
2. bNora, pour $r = 7$ cm et $h = 4$ cm : « $r \times r = 2 \times 7 = 14$, donc $V \approx 3{,}14 \times 14 \times 4 = 175{,}84$ cm³. »
3. cHugo, pour un diamètre de $8$ cm et $h = 7$ cm : « $V \approx 3{,}14 \times 8 \times 8 \times 7 = 1\,406{,}72$ cm³. »
4. dZoé, pour $r = 2{,}5$ cm et $h = 9$ cm : « Base : $3{,}14 \times 2{,}5 \times 2{,}5 \approx 20$ cm², donc $V \approx 180$ cm³. »

Ex. 36★★★La cuve à mazout couchée — Chez Malik, à Besançon, la cuve à mazout est un cylindre de révolution couché : son diamètre mesure $1{,}2$ m et elle est longue de $2{,}5$ m. Voici sa base, vue de face ($\pi \approx 3{,}14$).

1. aDonne le rayon et la hauteur de ce cylindre.
2. bCalcule l’aire de la base de la cuve.
3. cCalcule le volume de la cuve en m³, puis sa contenance en litres.
4. dLa cuve contient déjà $1\,900$ L. Combien de litres de mazout peut-on encore livrer ?

Ex. 37★★★Deux pots de fleurs — Camille a deux pots de fleurs cylindriques : A (rayon $6$ cm, hauteur $20$ cm) et B (rayon $12$ cm, hauteur $10$ cm). Max affirme : « Le rayon de B est 2 fois plus grand, sa hauteur 2 fois plus petite : même contenance. » ($\pi \approx 3{,}14$). Arrondis au dixième. Pot A : Pot B :

1. aCalcule la valeur exacte du volume de chaque pot, écrite avec $\pi$.
2. bMax a-t-il raison ? Explique à l’aide du rayon et de la hauteur.
3. cDonne la contenance du pot B en litres.
4. dCamille veut un pot C de rayon $6$ cm qui contienne autant que B. Quelle doit être sa hauteur ?

Ex. 38★★★La piscine hors-sol d’Inès — À Nantes, Inès installe une piscine hors-sol. C’est un cylindre de révolution de diamètre $4$ m et de hauteur $1{,}2$ m ($\pi \approx 3{,}14$).

1. aDonne le rayon de la piscine.
2. bCalcule l’aire du fond de la piscine.
3. cInès remplit la piscine jusqu’à $1$ m de hauteur. Calcule le volume d’eau en m³, puis en litres.
4. dLe tuyau verse $16$ L par minute. Combien de temps faut-il pour ce remplissage ? Donne la réponse en heures et minutes.
5. eEnsuite, Inès ajoute encore $3\,140$ L d’eau. L’eau va-t-elle déborder ? Justifie par un calcul.

Ex. 39★★★La buse en béton — À Lyon, une buse en béton est posée couchée dans un fossé. C’est un cylindre de révolution de rayon $50$ cm et de longueur $2$ m, percé de bout en bout par un trou cylindrique de rayon $40$ cm, de même axe ($\pi \approx 3{,}14$). Arrondis au centième.

1. aSami affirme : « La hauteur de ce cylindre est $50$ cm. » A-t-il raison ? Explique.
2. bLéo calcule l’aire du disque extérieur : « $2 \times 3{,}14 \times 50 = 314$ cm². » Explique son erreur, puis calcule la bonne aire.
3. cDonne la valeur exacte, écrite avec $\pi$, du volume de la buse sans le trou, en cm³.
4. dDonne la valeur exacte, écrite avec $\pi$, du volume du trou, en cm³.
5. eDéduis-en la valeur exacte du volume de béton, puis une valeur approchée en m³.

Ex. 40★★★Les boîtes de conserve de Paul — À Rennes, Paul conçoit des boîtes de conserve en forme de cylindre de révolution ($\pi \approx 3{,}14$). Voici la boîte A.

1. aKenza calcule l’aire de la base de A : « $3{,}14 \times 4 \times 2 = 25{,}12$ cm². » Explique son erreur, puis corrige.
2. bLa boîte A peut-elle contenir $50$ cL de soupe ? Justifie par un calcul.
3. cLa boîte B a le même rayon que A et une contenance d’environ $753{,}6$ cm³. Retrouve sa hauteur.
4. dPaul affirme : « Doubler le rayon de A ou doubler sa hauteur, c’est pareil : le volume double. » A-t-il raison ? Justifie par des calculs écrits avec $\pi$.

Ex. 41★★★Automatismes : remplir, verser, payer — Réponds par un calcul, puis par une phrase avec l'unité.

1. aUne cuve à mazout a un volume de $2{,}8$ m³. Quelle est sa contenance en litres ?
2. bCombien de seaux de $8$ L faut-il verser pour remplir une bassine de $50$ L ?
3. cCombien de verres de $20$ cL peut-on remplir entièrement avec une bouteille de $1{,}5$ L ?
4. dUn robinet verse $12$ L par minute. En combien de minutes remplit-il une cuve de $180$ L ?
5. eLe jus de pomme coûte $1{,}80$ € le litre. Combien coûte un bidon de $2{,}5$ L ?

Ex. 42★★★Automatismes : ranger des boîtes — On range les objets sans les couper et sans les déformer.

1. aCombien de cubes de $2$ cm d'arête peut-on ranger dans cette boîte ?
2. bUn carton mesure $25$ cm $\times$ $15$ cm $\times$ $10$ cm. Zoé calcule $3\,750 \div 64 \approx 58{,}6$ et annonce qu'on peut y ranger $58$ cubes de $4$ cm d'arête. A-t-elle raison ? Explique.
3. cLe fond d'un carton mesure $4$ dm sur $3$ dm. Ben y range exactement $60$ cubes de $1$ dm d'arête, sans laisser de vide, jusqu'en haut. Quelle est la hauteur du carton ?
4. dOn range des briques de jus de $6$ cm $\times$ $4$ cm $\times$ $10$ cm debout, le côté de $6$ cm le long du côté de $24$ cm, dans un carton de $24$ cm $\times$ $20$ cm $\times$ $30$ cm (hauteur). Combien de briques y entrent ?

Ex. 43★★★L'aquarium d'Inès — L'aquarium d'Inès est un pavé droit en verre, sans couvercle. À l'extérieur, il mesure $52$ cm $\times$ $22$ cm $\times$ $31$ cm (hauteur). Le verre a $1$ cm d'épaisseur, pour les parois comme pour le fond.

1. aDonne les dimensions intérieures de l'aquarium, puis calcule sa contenance en litres.
2. bL'eau monte à $18$ cm au-dessus du fond intérieur. Calcule le volume d'eau, en litres.
3. cInès verse encore $10$ L d'eau. L'eau va-t-elle déborder ? Justifie par un calcul.
4. dQuelle hauteur d'eau atteint-elle alors ?

Ex. 44★★★Deux tirelires à comparer — Lina hésite entre deux tirelires. La tirelire A est un cylindre de révolution de diamètre $8$ cm et de hauteur $10$ cm. La tirelire B est un pavé droit de $9$ cm $\times$ $7$ cm $\times$ $8$ cm. ($\pi \approx 3{,}14$) Tirelire A : Tirelire B :

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la tirelire A, en l'écrivant avec $\pi$.
2. bDonne une valeur approchée de ce volume.
3. cCalcule le volume de la tirelire B. Quelle tirelire a la plus grande contenance ? Conclus par une phrase.

Ex. 45★★★Le porte-crayon évidé — Hugo fabrique un porte-crayon. C'est un pavé droit en bois de $8$ cm $\times$ $6$ cm, haut de $10$ cm, creusé d'un trou en forme de cylindre de révolution de rayon $2$ cm et de profondeur $7$ cm. ($\pi \approx 3{,}14$) Arrondis le dernier résultat au dixième. Vu de dessus :

1. aCalcule le volume du pavé droit plein, avant que le trou soit creusé.
2. bCalcule le volume du trou.
3. cCalcule le volume de bois du porte-crayon.

Ex. 46★★★La piscine de Mathis — La piscine de Mathis, à Montpellier, est un pavé droit de $8$ m de long, $4$ m de large et $1{,}5$ m de profondeur. On la remplit d'eau jusqu'à $30$ cm sous le bord.

1. aQuelle est la hauteur de l'eau dans la piscine ? Calcule ensuite le volume d'eau, en m³.
2. bConvertis ce volume d'eau en litres.
3. cLe tuyau d'arrosage verse $40$ L d'eau par minute. Combien de temps faut-il pour remplir la piscine jusqu'à $30$ cm sous le bord ? Donne la réponse en heures.
4. dUne fois la piscine remplie, Mathis ajoute encore $4\,800$ L d'eau. L'eau va-t-elle déborder ? Justifie par un calcul.

Ex. 47★★★Les bougies de Chloé — À Lille, Chloé fabrique des bougies en cire. Chaque bougie est un cylindre de révolution de diamètre $6$ cm et de hauteur $8$ cm. ($\pi \approx 3{,}14$) Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de cire d'une bougie, en l'écrivant avec $\pi$.
2. bDonne une valeur approchée de ce volume, en cm³.
3. cChloé a un bloc de $1{,}6$ dm³ de cire. Combien de bougies entières peut-elle couler avec ce bloc ? Justifie.
4. dElle range ses bougies debout dans ce carton de $25$ cm $\times$ $19$ cm $\times$ $9$ cm. Léo dit : « Volume du carton $\div$ volume d'une bougie : on en met $18$. » A-t-il raison ? Explique.

Ex. 48★★★La jardinière de Soline — À Nantes, Soline remplit de terreau une jardinière en forme de prisme droit couché, de longueur $80$ cm. Sa base ABCD, dessinée ci-dessous, se découpe en un rectangle ABHD et un triangle rectangle BHC. ($\pi \approx 3{,}14$)

1. aCalcule l'aire de la base ABCD, en cm², en la découpant.
2. bCalcule la contenance de la jardinière, en litres.
3. cLe terreau est vendu en sacs de $50$ L. Combien de sacs Soline doit-elle acheter pour remplir la jardinière ? Justifie.
4. dSoline pourrait plutôt prendre trois pots cylindriques de diamètre $40$ cm et de hauteur $35$ cm. Où y a-t-il le plus de terreau : dans la jardinière ou dans les trois pots ? Justifie.