Quatrième / Volumes : pyramide et cône

Ex. 1★★★Automatismes : aires des bases — Calcule l'aire de chaque figure, avec son unité. Pour un disque, donne la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième.

1. aLe triangle ABC a pour côtés AB = 10 cm et AC = 6 cm, et H est le pied de la hauteur issue de C, avec CH = 4,8 cm. Calcule l'aire du triangle ABC.
2. bLe trapèze ABCD a pour côtés parallèles AB = 9 cm et DC = 5 cm, et pour hauteur DH = 3,5 cm. Calcule son aire.
3. cCalcule l'aire d'un disque de diamètre 14 cm.
4. dCalcule l'aire d'un parallélogramme dont un côté mesure 7,5 cm et dont la hauteur relative à ce côté mesure 4 cm.
5. eLina écrit que l'aire d'un disque de rayon 6 cm vaut $2 \times \pi \times 6 = 12\pi$ cm². A-t-elle raison ? Justifie, puis corrige si besoin.

Ex. 2★★★Automatismes : volumes du pavé, du prisme et du cylindre — Calcule le volume de chaque solide en cm³. Pour un cylindre, donne la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième.

1. aCalcule le volume d'un pavé droit de longueur 12 cm, de largeur 5 cm et de hauteur 0,8 dm.
2. bCalcule le volume d'un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 7 cm.
3. cCalcule le volume d'un cylindre de diamètre 5 cm et de hauteur 4 cm.
4. dCalcule le volume d'un prisme droit dont l'aire de la base est B = 13,5 cm² et dont la hauteur mesure 6 cm.

Ex. 3★★★Un prisme couché — Ce prisme droit est posé sur une face rectangulaire. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 12 cm, AC = 9 cm et BC = 15 cm. Les arêtes latérales mesurent 6,5 cm.

1. aNomme les deux bases de ce prisme et donne sa hauteur.
2. bCalcule l'aire B d'une base.
3. cCalcule le volume V du prisme.
4. dExprime le volume de ce prisme en mL, puis en dm³.

Ex. 4★★★Les bougies d'Ambre — Ambre fabrique des bougies cylindriques de diamètre 7 cm et de hauteur 0,9 dm. Arrondis au dixième.

1. aDonne le rayon et la hauteur d'une bougie, en cm.
2. bNoé calcule le volume d'une bougie avec la formule $2 \times \pi \times r \times h$. Explique son erreur.
3. cCalcule le volume d'une bougie : valeur exacte, puis valeur approchée.
4. dAmbre dispose de 2 L de cire. Combien de bougies entières peut-elle fabriquer ? Justifie par un calcul.

Ex. 5★★★L'abreuvoir de Clémence — Près d'Aurillac, Clémence a un abreuvoir en forme de prisme droit couché, long de $2{,}5$ m. Chaque extrémité a la forme du trapèze ABCD ci-dessous : les côtés parallèles mesurent $AB = 40$ cm et $DC = 60$ cm, et la hauteur du trapèze est $AH = 30$ cm.

1. aQuelle est la hauteur de ce prisme droit ? Justifie en indiquant ses deux bases.
2. bCalcule l'aire $B$ de la base de l'abreuvoir, en cm².
3. cCalcule le volume de l'abreuvoir en cm³, puis sa contenance en litres.
4. dMalo calcule l'aire de la base avec $(a + b) \times h$. Explique son erreur.
5. eUn robinet débite $30$ L par minute. Combien de temps faut-il pour remplir l'abreuvoir vide ? Donne le résultat en minutes et secondes.

Ex. 6★★★Les boîtes de thé d'Hugo — À Nantes, Hugo hésite entre deux boîtes de thé. La boîte 1 est un cylindre de diamètre $8$ cm et de hauteur $1{,}2$ dm. La boîte 2 est un pavé droit à base carrée de côté $7$ cm et de hauteur $10$ cm. Arrondis au dixième.

1. aPour le volume de la boîte 1, Lisa écrit $\pi \times 8^2 \times 12$ et Tom écrit $\pi \times 4^2 \times 1{,}2$. Explique l'erreur de chacun.
2. bCalcule le volume de la boîte 1 : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée en cm³.
3. cCalcule le volume de la boîte 2, en cm³.
4. dQuelle boîte contient le plus de thé ? Donne la différence de contenance en cL.
5. eHugo veut une boîte cylindrique de même diamètre, de contenance $0{,}5$ L. Calcule sa hauteur.

Ex. 7★★★La tente de Yanis — Pour camper au bord du lac d'Annecy, Yanis a une tente en forme de prisme droit couché, longue de $2{,}1$ m. Sa base est le triangle isocèle ABC : $AB = 1{,}6$ m au sol, $AC = BC = 1$ m, et la hauteur relative à $[AB]$ est $CH = 0{,}6$ m.

1. aJade calcule $B = 1{,}6 \times 1 \div 2$. Explique son erreur, puis calcule l'aire $B$ de la base en m².
2. bCalcule le volume de la tente en m³, puis en litres.
3. cLa toile recouvre les deux pans inclinés et les deux triangles des extrémités, pas le sol. Calcule l'aire de cette toile en m².
4. dUne autre tente, de même longueur, a un volume de $1{,}26$ m³. Calcule l'aire de sa base.

Ex. 8★★★Automatismes : calculer le volume d'une pyramide — Calcule le volume de chaque pyramide. Commence par l'aire de la base B.

1. aPyramide SABCD à base carrée :
2. bPyramide de hauteur $10$ cm, dont la base est un rectangle de $8$ cm sur $4{,}5$ cm.
3. cPyramide de hauteur $11$ cm, dont la base est un triangle de base $6$ cm et de hauteur $7$ cm.
4. dPyramide de hauteur $5$ cm, dont l'aire de la base est $B = 12{,}6$ cm².

Ex. 9★★★Automatismes : la bonne hauteur, la bonne base — SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de côté $6$ cm. H est le centre de la base et $SH = 7$ cm. I est le milieu de [AB] ; on a aussi $SI \approx 7{,}6$ cm et $SA \approx 8{,}2$ cm.

1. aParmi [SA], [SI] et [SH], quel segment est la hauteur de la pyramide ? Justifie.
2. bLina écrit : « $B = 6 \times 4 = 24$ cm² ». Explique son erreur et corrige son calcul.
3. cCalcule le volume de la pyramide SABCD.
4. dCalcule le volume du pavé droit qui a la même base et la même hauteur. Combien de fois est-il plus grand que la pyramide ?

Ex. 10★★★Une pyramide découpée dans un prisme — Le prisme droit ABCDEF a pour base le triangle ABC, rectangle en A, avec $AB = 9$ cm et $AC = 5$ cm. Ses arêtes latérales mesurent $8$ cm (par exemple $AD = 8$ cm). On découpe dans ce prisme la pyramide DABC : sa base est ABC et son sommet est D.

1. aCalcule le volume du prisme droit ABCDEF.
2. bCalcule le volume de la pyramide DABC. Quelle fraction du prisme représente-t-il ?
3. cNoé couche la pyramide sur sa face DAB, qui est un triangle rectangle en A. Quel segment est alors sa hauteur ? Calcule son volume avec cette nouvelle base.
4. dPour la pyramide DABC, Noé avait écrit : « $V = 9 \times 5 \times 8 \div 3 = 120$ cm³ ». Trouve son erreur.

Ex. 11★★★Les bougies de Ben — Ben coule deux bougies en cire. Bougie 1 : une pyramide SABCD dont la base est un rectangle de $7$ cm sur $6$ cm, avec une hauteur de $10$ cm ; le sommet S est au-dessus du centre H de la base. Bougie 2 : la même base, la même hauteur, mais son sommet est juste au-dessus du coin A.

1. aCalcule le volume de la bougie 1, en divisant par $3$ dès que possible.
2. bVrai ou faux : « La bougie 2 est penchée, donc son volume est plus grand. » Justifie.
3. cSami pose la bougie 1 tête en bas. Il dit que sa hauteur est maintenant l'arête latérale SA, d'environ $11$ cm, et il trouve $154$ cm³. A-t-il raison ? Justifie.
4. dBen a $0{,}5$ L de cire. En a-t-il assez pour couler les deux bougies ? Justifie par un calcul.

Ex. 12★★★Le toit d'une tour — À Carcassonne, le toit d'une tour est une pyramide SABCD. Sa base ABCD est un carré de côté $4{,}2$ m. H est le centre de la base et $SH = 2{,}5$ m. Les arêtes latérales mesurent environ $3{,}9$ m. Sous le toit, le corps de la tour est un pavé droit de même base et de hauteur $6$ m.

1. aCalcule le volume du toit.
2. bLe toit est creux. Quelle est sa contenance, en litres ?
3. cCalcule le volume total de la tour
   (corps et toit).
4. dBen affirme : « Le toit représente plus du dixième du volume total de la tour. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 13★★★Un presse-papier à base de trapèze — Le presse-papier en verre de Malik est une pyramide SABCD de hauteur $SH = 6$ cm. Sa base ABCD est un trapèze rectangle en A et en D, avec $AB = 7$ cm, $DC = 4$ cm et $AD = 5$ cm (figure ci-dessous).

1. aCalcule l'aire B de la base ABCD.
2. bCalcule le volume du presse-papier.
3. cPour ce volume, Inès trouve $165$ cm³ et Malik trouve $70$ cm³. Retrouve l'erreur de chacun.
4. dMalik range le presse-papier dans une boîte en forme de pavé droit de $7$ cm sur $5$ cm et de $6$ cm de haut. Le presse-papier occupe-t-il plus du quart de la boîte ? Justifie par un calcul.

Ex. 14★★★Les pyramides de la maquette — Pour une maquette, Nadia fabrique des pyramides. La pyramide P₁ = SKLMN a pour base le rectangle KLMN de $7{,}5$ cm sur $4$ cm, et pour hauteur $9$ cm (figure).

1. aCalcule le volume de la pyramide P₁.
2. bBen affirme : « Si Nadia double la hauteur de P₁ sans changer la base, le volume double aussi. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cNadia veut une pyramide P₂ à base carrée, de hauteur $9$ cm et de volume $147$ cm³. Calcule l'aire de sa base, puis le côté du carré.
4. dElle veut enfin une pyramide P₃ de même base que P₁, de volume $125$ cm³. Calcule sa hauteur.

Ex. 15★★★Calculer le volume d'un cône — Calcule le volume de chaque cône de révolution. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième.

1. aUn cône a un rayon de $4$ cm et une hauteur de $6$ cm. Calcule son volume.
2. bUn cône a un diamètre de $12$ cm et une hauteur de $5$ cm. Calcule son volume.
3. cUn cône a un rayon de $1{,}5$ cm et une hauteur de $4$ cm. Calcule son volume.
4. dCalcule le volume d'un cône dont la hauteur mesure $9$ cm et dont la base a pour rayon $7$ cm.
5. eLe toit d'une tour est un cône de révolution de rayon $3$ m et de hauteur $2{,}5$ m. Calcule son volume.

Ex. 16★★★Le tiers du cylindre — Dans chaque cas, un cône de révolution et un cylindre ont la même base et la même hauteur.

1. aLe cylindre a un volume de $240$ cm³. Quel est le volume du cône ?
2. bLe cône a un volume de $45$ cm³. Quel est le volume du cylindre ?
3. cLe cylindre a un volume de $54\pi$ cm³. Donne la valeur exacte du volume du cône.
4. dLe cône a une contenance de $2{,}4$ L. Quelle est la contenance du cylindre ?

Ex. 17★★★La bougie conique : trois erreurs à corriger — Une bougie a la forme d'un cône de révolution de diamètre $8$ cm et de hauteur $9$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de cire de la bougie : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bNora écrit : $V = \pi \times 8^2 \times 9 \div 3 = 192\pi$ cm³. Explique son erreur.
3. cHugo écrit : $V = \pi \times 4^2 \times 9 = 144\pi$ cm³. Quel solide a ce volume ? Explique son erreur.
4. dYanis tape $(\pi \times 4)^2 \times 9 \div 3$ et trouve environ $473{,}7$ cm³. Explique son erreur.

Ex. 18★★★Le tas de sable du chantier — Sur un chantier près de Rennes, un tas de sable a la forme d'un cône de révolution de sommet S. Son diamètre [AM] au sol mesure $8$ m et une génératrice [SM] mesure $5$ m. O est le centre de la base. Arrondis au dixième.

1. aLe triangle SOM est rectangle en O. Calcule la hauteur SO du tas.
2. bCalcule le volume du tas : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cUn camion transporte au plus $12$ m³ de sable. Combien de voyages faut-il pour emporter tout le tas ?
4. dLucas prend $\pi \approx 3$ et annonce qu'il suffit de $4$ voyages. A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 19★★★Le cornet du glacier de Sète — À Sète, un glacier vend des cornets en forme de cône de révolution de sommet S et de centre de base O. Le diamètre d'un cornet mesure $10$ cm. Une génératrice [SM] mesure $13$ cm. Arrondis au dixième.

1. aLe triangle SOM est rectangle en O. Calcule la hauteur SO du cornet.
2. bCalcule le volume du cornet. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cLe glacier a un bac de $2$ L de glace et remplit les cornets à ras bord. Combien de cornets peut-il remplir entièrement ? Justifie.
4. dLe glacier affirme : « Un cornet de même hauteur, mais avec un diamètre deux fois plus grand, contient deux fois plus de glace. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 20★★★L'entonnoir d'Inès — Inès a un entonnoir en forme de cône de révolution. Son diamètre mesure $15$ cm et sa hauteur $12$ cm. Elle bouche le bas de l'entonnoir et le remplit d'eau à ras bord. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de l'entonnoir. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bMalik affirme : « L'entonnoir contient environ $2{,}1$ L. » Retrouve le calcul qu'il a fait et explique son erreur.
3. cAvec un seul entonnoir plein, Inès peut-elle remplir une bouteille de $75$ cL ? Justifie.
4. dInès verse toute l'eau de l'entonnoir dans une casserole cylindrique de diamètre $15$ cm. Calcule la hauteur de l'eau dans la casserole.

Ex. 21★★★La pointe du crayon taillé — Un crayon taillé est formé d'un cylindre de longueur $15$ cm et d'une pointe en forme de cône de révolution de hauteur $2{,}4$ cm. Le cylindre et le cône ont le même diamètre : $0{,}8$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la partie cylindrique.
2. bCalcule la valeur exacte du volume de la pointe conique.
3. cCalcule le volume total du crayon taillé. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
4. dPour la pointe, Zoé a écrit : $(3 \times 0{,}4)^2 \times 2{,}4 \div 3$. Trouve ses deux erreurs et calcule son résultat.
5. eAvant d'être taillé, le crayon était un cylindre de $17{,}4$ cm de long. Calcule le volume enlevé par le taille-crayon : valeur exacte, puis valeur approchée.

Ex. 22★★★Convertir des volumes — Convertis dans l'unité demandée. Pense au tableau de conversion : trois colonnes par unité de volume.

1. aConvertis $3{,}2$ m³ en dm³.
2. bConvertis $5\,600$ cm³ en dm³.
3. cComplète : $0{,}7$ cm³ $= \ldots$ mm³.
4. dCombien de petits cubes de $1$ cm³ faut-il pour remplir un bac de $2$ m³ ?
5. eMattéo écrit « $4$ m³ $= 400$ dm³ ». Corrige son erreur.
6. fComplète le tableau :

   m³	dm³	cm³
   0,038	…	…

Ex. 23★★★Volume et contenance — Convertis dans l'unité demandée.

1. aConvertis $850$ cm³ en L.
2. bConvertis $0{,}75$ dm³ en cL.
3. cCombien de cm³ d'eau faut-il pour remplir une bouteille de $65$ cL ?
4. dUne cuve contient $1{,}6$ m³ d'eau. Combien de litres cela fait-il ?
5. eRange dans l'ordre croissant : $4{,}2$ hL ; $0{,}5$ m³ ; $380$ L.

Ex. 24★★★Le verre à cocktail de Noah — Le verre à cocktail de Noah a la forme d'un cône de révolution de rayon $4$ cm et de hauteur $9$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume du verre : donne la valeur exacte, puis une valeur approchée en cm³.
2. bNoah affirme : « Mon verre contient plus d'un litre. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cExprime la contenance du verre en cL.
4. dNoah verse $12$ cL de jus dans son verre vide. Combien de cL de limonade peut-il encore ajouter ?

Ex. 25★★★L'aquarium de Lina — L'aquarium de Lina est un pavé droit de longueur $0{,}8$ m, de largeur $30$ cm et de hauteur $45$ cm.

1. aHugo calcule le volume ainsi : $0{,}8 \times 30 \times 45 = 1\,080$. Explique son erreur.
2. bConvertis les trois longueurs en dm, puis calcule le volume de l'aquarium en dm³.
3. cDonne la contenance de l'aquarium en L, puis en m³.
4. dLina verse $84$ L d'eau dans l'aquarium vide. Quelle est la hauteur d'eau, en cm ?

Ex. 26★★★Les bougies de Rose — Rose fabrique des bougies en forme de pyramide de sommet S et de base le rectangle ABCD, avec $AB = 8$ cm, $BC = 4{,}5$ cm et une hauteur $SH = 12$ cm. Elle a $1{,}5$ L de cire fondue.

1. aCalcule le volume d'une bougie en cm³.
2. bExprime ce volume en mL, puis en cL, puis en L.
3. cMax affirme : « $1{,}5$ L $= 1{,}5$ cm³, donc Rose ne peut même pas faire une bougie. » Explique son erreur.
4. dCombien de bougies entières Rose peut-elle couler ? Quel volume de cire lui reste-t-il, en cL ?
5. eRose veut une grande bougie de même base et de volume $0{,}24$ L. Quelle hauteur doit-elle avoir ?

Ex. 27★★★L'abreuvoir du centre équestre — Au centre équestre, l'abreuvoir de Tom est un prisme droit de longueur $1{,}2$ m. Sa base est le trapèze ABCD ci-dessous : $AB = 50$ cm, $DC = 35$ cm et la hauteur $DH = 32$ cm.

1. aCalcule l'aire de la base ABCD en cm².
2. bLéo multiplie l'aire de la base, en cm², par $1{,}2$ et donne le résultat en cm³. Explique son erreur, puis calcule le volume de l'abreuvoir en cm³.
3. cÀ l'aide d'un tableau de conversion (trois colonnes par unité de volume), exprime ce volume en dm³, en m³, puis en L.
4. dCalcule le résultat de Léo, en L. Une canette fait environ $33$ cL et une baignoire $150$ à $200$ L : explique pourquoi il était faux.
5. eTom remplit l'abreuvoir avec un seau de $12$ L. Combien de seaux lui faut-il au minimum ?

Ex. 28★★★Le silo à grain de Jules — Le silo de Jules est un cylindre de diamètre $3$ m et de hauteur $4$ m, posé sur un cône de révolution de même diamètre, pointe en bas, de hauteur $120$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de la partie cylindrique : donne la valeur exacte en m³.
2. bConvertis en mètres la hauteur du cône, puis calcule la valeur exacte du volume de la partie conique en m³.
3. cDéduis-en le volume total du silo : donne la valeur exacte, puis une valeur approchée en m³ et en L.
4. dJules doit stocker trois livraisons de $95$ hL de blé chacune. Le silo suffit-il ? Justifie par un calcul.

Ex. 29★★★Retrouver une hauteur ou une aire de base — Pour chaque solide, calcule la dimension demandée.

1. aLa pyramide EFGHS a une base d'aire $B = 40$ cm² et un volume de $120$ cm³. Calcule sa hauteur SH.
2. bUn prisme droit a une base d'aire $40$ cm² et un volume de $120$ cm³. Calcule sa hauteur.
3. cUn cône de révolution de hauteur $9$ cm a un volume de $48\pi$ cm³. Calcule l'aire de sa base en valeur exacte.
4. dUn cylindre de hauteur $2{,}5$ cm a un volume de $55$ cm³. Calcule l'aire de sa base.

Ex. 30★★★Du disque ou du carré à la longueur — Calcule la longueur demandée. Arrondis au dixième si besoin.

1. aUn cône de révolution a une base d'aire $169\pi$ cm². Calcule son rayon.
2. bUne pyramide a une base carrée d'aire $121$ cm². Calcule le côté de cette base.
3. cUn cylindre a une base d'aire $100\pi$ cm². Calcule son diamètre.
4. dSacha écrit : « $r^2 = 144$, donc $r = 72$ cm ». Corrige son erreur.
5. eUn cône de révolution a une base d'aire $B \approx 113$ cm². Calcule son rayon.

Ex. 31★★★La maquette de pyramide — Une maquette de pyramide IJKLS a une base carrée IJKL. Sa hauteur SH mesure $10$ cm et son volume vaut $270$ cm³.

1. aCalcule l'aire B de la base IJKL.
2. bDéduis-en la longueur IJ du côté de la base.
3. cVérifie ton résultat en recalculant le volume de la pyramide.

Ex. 32★★★Le pot de sirop — Inès verse $1{,}2$ L de sirop dans un pot cylindrique de diamètre intérieur $11$ cm et de hauteur $12{,}5$ cm. Arrondis au dixième.

1. aConvertis $1{,}2$ L en cm³.
2. bCalcule l'aire B de la base du pot, en valeur exacte puis en valeur approchée.
3. cCalcule la hauteur atteinte par le sirop dans le pot.
4. dLe pot suffit-il pour que le sirop ne déborde pas ? Justifie.

Ex. 33★★★Le verre à cocktail — À Biarritz, Malo dessine un verre à cocktail en forme de cône de révolution. L'ouverture est un disque de diamètre $8$ cm. Rempli à ras bord, le verre doit contenir $20$ cL. Arrondis au dixième.

1. aConvertis $20$ cL en cm³.
2. bCalcule la valeur exacte de l'aire B de l'ouverture du verre.
3. cLéo divise le volume du verre par l'aire B et trouve une profondeur d'environ $4{,}0$ cm. Explique son erreur, puis calcule la bonne profondeur h.
4. dBen propose un autre verre conique, de profondeur $14$ cm et de diamètre $6$ cm. Contient-il $20$ cL ? Justifie avec la valeur exacte de son volume.

Ex. 34★★★La tente pyramidale — Maëlle campe près d'Annecy dans une tente en forme de pyramide régulière à base carrée ABCD. La hauteur SH de la tente mesure $2{,}4$ m et son volume vaut $7\,200$ L.

1. aConvertis $7\,200$ L en m³.
2. bCalcule l'aire B du sol ABCD de la tente.
3. cDéduis-en la longueur AB du côté du sol.
4. dNoé veut un abri en forme de pavé droit, avec le même sol et le même volume que la tente. Il dit : « Sa hauteur sera aussi $2{,}4$ m. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 35★★★Les bougies coniques — À Grasse, Chloé fabrique des bougies en forme de cône de révolution. La base de chaque bougie a une aire de $64\pi$ cm², et une génératrice [SM] mesure $17$ cm. La figure montre une demi-coupe d'une bougie. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le rayon OM de la base.
2. bCalcule la hauteur OS de la bougie avec le théorème de Pythagore.
3. cCalcule le volume d'une bougie : donne sa valeur exacte, puis sa valeur approchée.
4. dChloé a fait fondre $4$ L de cire. Combien de bougies entières peut-elle fabriquer ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : ajouter ou retrancher des volumes — Nomme chaque morceau, puis ajoute ou retranche les volumes. Arrondis au dixième.

1. aCe cône de révolution est posé sur un cylindre de même rayon, de volume $36\pi$ cm³. Donne la valeur exacte du volume du solide.
2. bUn pavé droit de $96$ cm³ est percé d'un trou cylindrique de $6\pi$ cm³. Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée du volume restant.
3. cUne tente de réception est un pavé droit de $3{,}5$ m³ surmonté d'un toit pyramidal de $0{,}75$ m³. Calcule son volume.
4. dUn silo est un cylindre de $2$ m³ surmonté d'un cône de $400$ dm³. Calcule son volume en m³.
5. eUne tasse en céramique à paroi épaisse occupe, pleine, un cylindre de $250$ cm³ ; l'intérieur vide mesure $180$ cm³. Calcule le volume de céramique.

Ex. 37★★★Automatismes : hauteur et rayon de chaque morceau — Chaque solide est formé de deux morceaux. Nomme-les, puis donne la dimension demandée.

1. aUn sablier est formé de deux cônes de révolution identiques, pointe contre pointe. Il mesure $14$ cm de haut. Quelle est la hauteur de chaque cône ?
2. bUne bougie de $17{,}5$ cm de haut est un cylindre surmonté d'une pointe en forme de cône de hauteur $2{,}5$ cm. Quelle est la hauteur du cylindre ?
3. cUn clocher de hauteur totale $12{,}4$ m est un pavé droit surmonté d'une flèche en forme de pyramide de hauteur $3{,}6$ m. Quelle est la hauteur du pavé ?
4. dUne toupie est un cylindre de diamètre $8$ cm sous un cône de même base. Quel est le rayon du cône ?
5. eUne fusée-jouet de hauteur totale $1{,}2$ m est un cylindre de $85$ cm surmonté d'un cône. Quelle est la hauteur du cône, en cm ?

Ex. 38★★★La trémie à grains — Une trémie à grains est un cylindre de diamètre $3$ m et de hauteur $6$ m, posé sur un cône de révolution de même base, pointe en bas, de hauteur $2$ m. Voici sa coupe. Arrondis au dixième.

1. aNomme les deux solides qui composent la trémie et donne leur rayon commun.
2. bCalcule la valeur exacte du volume de chaque morceau.
3. cDéduis-en la valeur exacte, puis une valeur approchée du volume de la trémie.
4. dExprime la contenance de la trémie en litres.

Ex. 39★★★Le pot de fleurs en béton — Un pot de fleurs en béton est un pavé droit de $30$ cm sur $30$ cm et de hauteur $25$ cm, creusé d'un trou cylindrique de rayon $12$ cm et de profondeur $20$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de béton du pot.
2. bDonne une valeur approchée de ce volume, en litres.
3. cRémi a calculé le trou avec une profondeur de $25$ cm et trouve environ $11\,190{,}3$ cm³ de béton. Explique son erreur.
4. dUn sac donne $5$ L de béton. Combien de sacs faut-il acheter ? Justifie.

Ex. 40★★★La tour au toit pyramidal — La tour d'un vieux moulin, près de Carcassonne, est un pavé droit à base carrée de côté $5$ m surmonté d'un toit en forme de pyramide de même base. La hauteur totale de la tour est $14$ m. La hauteur du toit est $240$ cm. Voici sa coupe.

1. aNomme les deux solides qui composent la tour, puis calcule la hauteur du pavé droit en mètres.
2. bCalcule le volume du pavé droit.
3. cCalcule le volume du toit.
4. dCalcule le volume total de la tour, puis exprime-le en litres.
5. eTom a écrit : $V = 5 \times 5 \times 14 + 5 \times 5 \times 240 \div 3 = 2\,350$ m³. Trouve ses deux erreurs.

Ex. 41★★★Le verre à cocktail en cristal — Au bar de Nadia, à Biarritz, un verre en cristal est un cylindre de diamètre $11$ cm et de hauteur $10$ cm. On l'a creusé d'une cavité en forme de cône de révolution, pointe en bas, de rayon $4{,}5$ cm et de génératrice $7{,}5$ cm. Voici sa coupe. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la profondeur $OS$ de la cavité conique.
2. bCalcule la contenance de la cavité : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée en cm³.
3. cCalcule la valeur exacte, puis une valeur approchée, du volume de cristal du verre.
4. dNoé a calculé le volume du cylindre ainsi : $\pi \times 11^2 \times 10 = 1\,210\pi$ cm³. Explique son erreur.
5. eNadia prépare $1{,}5$ L de cocktail et remplit les verres à ras bord. Combien de verres lui faut-il pour tout servir ? Justifie.

Ex. 42★★★Le crayon taillé et sa maquette géante — Le crayon taillé d'Elias est un cylindre de diamètre $8$ mm surmonté d'une pointe en forme de cône de révolution de même base. Le crayon mesure $15$ cm de long en tout. La pointe a une hauteur de $1{,}5$ cm. Arrondis au dixième.

1. aNomme les deux solides qui composent le crayon. Donne leur rayon commun en cm, puis la hauteur du cylindre.
2. bCalcule la valeur exacte du volume du crayon, puis sa valeur approchée en cm³.
3. cLila arrondit d'abord chaque morceau : cylindre $\approx 6{,}8$ cm³ et pointe $\approx 0{,}3$ cm³, donc crayon $\approx 7{,}1$ cm³. A-t-elle raison ? Justifie.
4. dUn crayon géant de décoration est un agrandissement du crayon de rapport $20$. Calcule son volume en litres. Est-il $20$ fois plus grand que celui du crayon ?

Ex. 43★★★Automatismes : agrandir une pyramide — La pyramide SABCD a une base carrée de côté AB = $3$ cm, une hauteur SH = $4$ cm et un volume de $12$ cm³.

1. aOn l'agrandit de rapport $2$. Quelle est la nouvelle longueur AB ?
2. bAvec ce même agrandissement de rapport $2$, quelle est l'aire de la nouvelle base ?
3. cQuel est le volume de la pyramide agrandie de rapport $2$ ?
4. dQuel est son volume si on l'agrandit de rapport $5$ ?
5. eQuel est son volume si on la réduit de rapport $0{,}5$ ?

Ex. 44★★★Automatismes : réduire un cône — Ce cône de révolution a un rayon de $6$ cm et une hauteur de $9$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume du cône : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bOn le réduit de rapport $\frac{1}{3}$. Quels sont le rayon et la hauteur du petit cône ?
3. cDans cette réduction, par combien l'aire de la base est-elle divisée ? Donne la nouvelle aire de la base.
4. dCalcule le volume du petit cône à partir du volume du grand.
5. eQuel est le volume du grand cône agrandi de rapport $1{,}5$ ?

Ex. 45★★★L'entonnoir de Malik — Malik a un entonnoir en forme de cône de révolution, de rayon $5$ cm et de hauteur $15$ cm. Il en achète un plus petit, réduction du premier, de hauteur $6$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume du grand entonnoir : valeur exacte, puis valeur approchée.
2. bCalcule le rapport $k$ de la réduction, puis le rayon du petit entonnoir.
3. cTom multiplie le volume du grand entonnoir par $k$ pour trouver celui du petit. Explique son erreur, puis calcule le bon volume du petit entonnoir.

Ex. 46★★★Vrai ou faux : agrandissements et réductions — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie par un calcul.

1. aUne tente en forme de pyramide a un volume de $2$ m³. On l'agrandit de rapport $3$. « La tente agrandie a un volume de $18$ m³. »
2. bUn tas de sable conique a un volume de $5$ m³. Un second tas a un rayon et une hauteur $1{,}2$ fois plus grands. « Il a un volume de $8{,}64$ m³. »
3. cCe cône a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $4$ cm. Une réduction de ce cône a un volume de $1{,}5\pi$ cm³. « Le rapport de la réduction est $k = \frac{1}{8}$. »

Ex. 47★★★Le verre à cocktail de Léa — Le verre à cocktail de Léa a la forme d'un cône de révolution de sommet S. Sa base est un disque de centre O et de rayon OM = $6$ cm. Sa génératrice SM mesure $10$ cm. Léa verse du sirop jusqu'à mi-hauteur : le sirop forme un petit cône de sommet S. Arrondis au dixième.

1. aLe triangle SOM est rectangle en O. Calcule la hauteur SO du verre.
2. bCalcule le volume du verre : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cQuelle est la hauteur du petit cône de sirop ? Justifie que ce cône est une réduction du verre et donne son rapport $k$.
4. dLéa affirme : « Mon verre est à moitié plein. » Vrai ou faux ? Justifie en calculant le volume de sirop en cm³, puis en cL.
5. eLéa complète ensuite le verre jusqu'en haut avec du jus d'orange. Quel volume de jus verse-t-elle ? Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée en cL.

Ex. 48★★★La maquette du toit de la tour — Le toit d'une tour est une pyramide MNPQS à base carrée MNPQ de côté $4$ m, de hauteur $3$ m. Un architecte en fait une maquette à l'échelle $\frac{1}{50}$.

1. aCalcule le volume réel du toit, en m³.
2. bCalcule le côté de la base et la hauteur de la maquette, en cm.
3. cCalcule le volume de la maquette en cm³ avec ses dimensions. Retrouve ce résultat à partir du volume réel, en utilisant $k^3$.
4. dNoé affirme : « La maquette est $50$ fois plus petite, donc son volume vaut $16 \div 50 = 0{,}32$ m³. » Explique son erreur.
5. ePar quel nombre est divisée l'aire de la base quand on passe du toit réel à la maquette ? Justifie par un calcul en cm².

Ex. 49★★★L'atelier de bougies d'Inès — Inès fabrique des bougies en forme de cône de révolution. Le modèle A a un diamètre de $6$ cm et une hauteur de $12$ cm. Le tableau donne les dimensions des autres modèles. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume du modèle A : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bParmi les modèles B, C et D, lequel est un agrandissement du modèle A ? Donne son rapport $k$ et justifie.
3. cSam affirme : « Le modèle D contient $2$ fois plus de cire que le modèle A. » A-t-il raison ? Justifie en calculant le volume de D.
4. dPar quel nombre le volume de A est-il multiplié pour obtenir B ? Et pour obtenir C ? Justifie par un calcul.
5. eJustifie que E est une réduction de A et donne son rapport $k$. Déduis-en le volume de E : valeur exacte, puis valeur approchée.