Troisième / Volumes

Ex. 1★★★Droit ou pointu ? — Calcule le volume de chaque solide. Donne la valeur exacte, puis, si $\pi$ intervient, la valeur approchée au dixième.

1. aCalcule le volume de ce pavé droit de dimensions $8$ cm, $5$ cm et $3{,}5$ cm.
2. bLa pyramide SABCD a une base carrée de côté $4$ cm et une hauteur SH de $9$ cm. Ses arêtes latérales mesurent environ $9{,}4$ cm. Calcule son volume.
3. cUne boîte de conserve cylindrique a un diamètre de $8$ cm et une hauteur de $5$ cm. Calcule son volume.
4. dCalcule le volume de ce cône de révolution de sommet S, de rayon $3$ cm et de hauteur SO $= 8$ cm.

Ex. 2★★★Volumes et contenances — Réponds à chaque question en écrivant la conversion.

1. aConvertis $4\,500$ L en m³.
2. bUn flacon de parfum contient $0{,}05$ L. Exprime sa contenance en mL.
3. cLina écrit « $7$ dm³ $= 700$ cm³ ». Corrige son erreur.
4. dUne boîte en forme de pavé droit mesure $15$ cm sur $8$ cm sur $5$ cm. Calcule sa contenance en litres.

Ex. 3★★★La cale de porte — Ilyès fabrique une cale de porte en bois. Elle a la forme du prisme droit ABCDEF ci-dessous, couché sur une face rectangulaire. Sa base est le triangle ABC, rectangle en A, avec AB $= 6$ cm et AC $= 4{,}5$ cm. On a aussi AD $= 0{,}2$ m.

1. aCalcule l'aire de la base ABC.
2. bQuelle longueur est la hauteur de ce prisme ? Calcule alors son volume en cm³.
3. cUn camarade trouve un volume de $540$ cm³. Quelle erreur a-t-il commise ?
4. dCe bois a une masse volumique de $0{,}7$ g par cm³. Calcule la masse de la cale.

Ex. 4★★★La bougie conique — Inès coule une bougie en forme de cône de révolution, de sommet S. Le centre de la base est O, et A est un point du cercle de base. Le rayon OA mesure $5$ cm et la génératrice SA mesure $13$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur SO de la bougie.
2. bCalcule le volume de cire de la bougie : valeur exacte, puis valeur approchée.
3. cInès veut une autre bougie conique, de même hauteur, dont le volume vaut $196\pi$ cm³. Calcule le rayon de sa base.

Ex. 5★★★Le silo de la ferme — Le silo à grains de Mathis est formé d'un cylindre de révolution de diamètre AB $= 4{,}8$ m et de hauteur AD $= 6{,}5$ m. Ce cylindre est posé sur un cône de révolution de même base, de centre O et de sommet S. La génératrice SA mesure $4$ m. Donne chaque volume en valeur exacte, puis arrondi au dixième de m³.

1. aCalcule le volume de la partie cylindrique du silo.
2. bCalcule la hauteur SO du cône.
3. cCalcule le volume de la partie conique du silo.
4. dCalcule le volume total du silo, puis exprime-le en litres.
5. ePour vider le silo plein, une vis sans fin débite $1\,500$ L par minute. Combien de temps faut-il ? Donne la durée en heures et minutes, à la minute près.

Ex. 6★★★La lampe de Noé — Noé fabrique une lampe en verre en forme de pyramide régulière SABCD. Sa base est le carré ABCD de côté $12$ cm et de centre H. Chaque arête latérale mesure $11$ cm (par exemple SA $= 11$ cm). La hauteur de la lampe est [SH].

1. aCalcule $AC^2$, puis $AH^2$
   (H est le milieu de [AC]).
2. bCalcule la hauteur SH de la lampe.
3. cCalcule le volume de la lampe.
4. dNoé veut que sa lampe contienne au moins $0{,}35$ L d'air. Est-ce le cas ? Justifie.

Ex. 7★★★L'abreuvoir et le seau — Maëlle remplit un abreuvoir en forme de prisme droit couché sur une arête, long de $1{,}5$ m. Ses deux extrémités sont des triangles ABC isocèles en A, avec BC $= 60$ cm et une hauteur AI $= 40$ cm (vue de face ci-dessous). Elle utilise un seau cylindrique de diamètre $28$ cm et de hauteur $30$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule l'aire du triangle ABC.
2. bCalcule le volume de l'abreuvoir en cm³, puis sa contenance en litres.
3. cSacha calcule le volume du seau ainsi : « $V = 2 \times \pi \times 28 \times 30$ ». Explique ses deux erreurs, puis calcule le volume exact du seau et sa contenance en litres.
4. dCombien de seaux pleins faut-il au minimum pour remplir l'abreuvoir ? Justifie.

Ex. 8★★★Automatismes : calculer l'aire d'une sphère — Calcule l'aire de chaque surface. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième.

1. aLa sphère de centre $O$ et de rayon $5$ cm.
2. bUne sphère de diamètre $16$ cm.
3. cUne sphère de rayon $2{,}5$ m.
4. dUne demi-sphère de rayon $10$ cm, sans le disque de base.

Ex. 9★★★Automatismes : vrai ou faux ? — Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse. Justifie par un calcul ou une phrase.

1. aNoé affirme : « La sphère de rayon $1{,}5$ cm a une aire de $9\pi$ cm³. »
2. bLina écrit : « L'aire de la sphère de rayon $4$ cm vaut $\pi \times 4^2 = 16\pi$ cm². »
3. cMalo écrit : « L'aire de la sphère de rayon $7$ cm vaut $4 \times \pi \times 2 \times 7 = 56\pi$ cm². »
4. dLéo affirme : « Une bille de diamètre $2{,}4$ cm a une aire de $5{,}76\pi$ cm². »

Ex. 10★★★Le cuir d'un ballon de football — À Rennes, un atelier fabrique des ballons de football de diamètre $22$ cm. On assimile un ballon à une sphère. Arrondis au dixième.

1. aCalcule l'aire de cuir qui recouvre un ballon : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bLe cuir est formé de $32$ pièces que l'on suppose de même aire. Calcule l'aire d'une pièce, en cm².
3. cQuelle aire de cuir faut-il pour fabriquer $50$ ballons ? Donne la réponse en m², sachant que $1$ m² $= 10\,000$ cm².
4. dCalcule le volume d'air contenu dans un ballon, en litres.

Ex. 11★★★Retrouver le rayon d'un globe — Dans une école de Dijon, on fabrique des globes terrestres. Chaque globe est une sphère de centre $O$. Arrondis au dixième.

1. aLa sphère du premier globe a pour aire $900\pi$ cm². Calcule son rayon $R$.
2. bLa sphère d'un second globe a une aire d'environ $907{,}9$ cm². Calcule une valeur approchée de son rayon.
3. cÉva veut un globe dont l'aire est $4$ fois celle du premier. Elle dit : « Il faut un rayon $4$ fois plus grand, soit $60$ cm. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 12★★★Repeindre le dôme d'un observatoire — À Toulouse, un observatoire a un toit en forme de dôme. Ce dôme est une demi-sphère de diamètre $8{,}4$ m. On repeint seulement la surface courbe extérieure du dôme, pas le sol. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le rayon du dôme, puis l'aire à peindre. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bTom écrit : « Aire du dôme $= 2 \times \pi \times 2 \times 4{,}2 \approx 52{,}8$ m². » Explique son erreur.
3. cOn passe deux couches de peinture, et $1$ L couvre $8$ m². Calcule le nombre de litres de peinture nécessaires.
4. dLa peinture est vendue en pots de $5$ L à $42{,}50$ € le pot. Combien de pots faut-il acheter ? Calcule le prix à payer.

Ex. 13★★★Des lampes boules en papier — À Lille, Inès fabrique des lampes en papier. Chaque abat-jour est une sphère. La petite lampe a un rayon de $12{,}5$ cm. La grande lampe a un rayon deux fois plus grand. Arrondis au dixième.

1. aCalcule l'aire de papier de la petite lampe. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bInès affirme : « La grande lampe demande deux fois plus de papier que la petite. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cPour une troisième lampe, Inès a utilisé $1\,444\pi$ cm² de papier. Calcule le diamètre de cette lampe.
4. dSami calcule $\frac{4}{3} \times \pi \times 12{,}5^3$ pour trouver l'aire de papier de la petite lampe. Explique pourquoi c'est faux, puis dis ce que son calcul représente.

Ex. 14★★★Le feutre des balles de tennis — À Troyes, une usine recouvre de feutre des balles de tennis. Chaque balle est une sphère de diamètre $6{,}6$ cm. Les balles sont vendues par trois dans un tube cylindrique (vue de face ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aCalcule l'aire de feutre d'une balle. Donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bLucas calcule seulement $\pi \times 3{,}3^2$. Que représente son calcul ? Combien de fois est-il trop petit ?
3. cUn rouleau de feutre mesure $1{,}2$ m sur $50$ m, et $20$ % du feutre part en chutes. Combien de balles peut-on recouvrir avec un rouleau ?
4. dLe tube a pour rayon $3{,}3$ cm et pour hauteur trois diamètres de balle. Son aire latérale vaut $2 \times \pi \times r \times h$. Montre qu'elle est égale à l'aire totale de feutre des trois balles.

Ex. 15★★★Automatismes : volume d’une boule — Calcule le volume de chaque solide : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée au dixième.

1. aUne boule de rayon $5$ cm.
2. bUne bille de rayon $1{,}2$ cm.
3. cUne boule de Noël de diamètre $9$ cm.
4. dUn dôme de pâtisserie en forme de demi-boule de rayon $10$ cm.

Ex. 16★★★Automatismes : aire ou volume ? Repère les erreurs — Arrondis au dixième.

1. aUn globe a la forme d’une sphère de diamètre $30$ cm. Calcule l’aire de cette sphère (valeur exacte puis approchée).
2. bPour une boule de rayon $2$ cm, Léa écrit : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 = 8\pi$ cm³. Trouve son erreur et corrige son calcul.
3. cVrai ou faux : « Le volume d’une boule de rayon $2{,}5$ cm est $4 \times \pi \times 2{,}5^3$ cm³. » Justifie.
4. dPour une boule de rayon $20$ cm, Nathan annonce un volume de $4 \times \pi \times 20^2 = 1\,600\pi$ cm³. Qu’a-t-il calculé en réalité ? Donne le bon volume.

Ex. 17★★★Du volume au rayon — Arrondis au dixième.

1. aLe ballon de plage de Malo a un volume exact de $36\,000\pi$ cm³. Donne sa valeur approchée en cm³, puis sa contenance en litres.
2. bRetrouve le rayon du ballon de Malo.
3. cUne perle de verre a un volume de $20$ cm³. Encadre son rayon $R$ entre deux nombres décimaux consécutifs au dixième.

Ex. 18★★★La bougie et sa boîte (Archimède) — Une bougie a la forme d’une boule de diamètre $7$ cm. Elle est vendue dans une boîte cylindrique de diamètre $7$ cm et de hauteur $7$ cm, qu’elle touche en haut, en bas et sur le côté. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de la bougie
   (valeur exacte, puis valeur approchée).
2. bCalcule le volume de la boîte, puis montre que la bougie occupe les deux tiers de la boîte.
3. cCalcule le volume d’air qui reste dans la boîte autour de la bougie.
4. dUne bougie géante, de même forme, demande $8$ fois plus de cire que cette bougie. Quel est son diamètre ? Justifie.

Ex. 19★★★La lampe dans son colis — Arrondis au dixième. Mila range une lampe en forme de boule de diamètre $22$ cm dans une boîte cubique d’arête $22$ cm. Elle remplit le vide avec des billes de polystyrène. Vue de face :

1. aInès calcule le volume de la lampe : $V = \frac{4}{3} \times \pi \times 22^2 \approx 2\,027{,}4$ cm³. Explique ses deux erreurs, puis donne la valeur exacte et la valeur approchée du volume de la lampe.
2. bCalcule le volume de la boîte en cm³, puis en litres.
3. cCalcule le volume occupé par les billes de polystyrène, en cm³ puis en litres.
4. dMila affirme : « La lampe occupe plus de la moitié du volume de la boîte. » A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.

Ex. 20★★★Les dômes du pâtissier — Arrondis au dixième. Hugo, pâtissier à Annecy, prépare des dômes de mousse au chocolat. Chaque dôme a la forme d’une demi-boule. Un grand dôme a un diamètre de $16$ cm et un mini-dôme un diamètre de $8$ cm.

1. aCalcule le volume d’un grand dôme : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
2. bHugo affirme : « Le diamètre est deux fois plus petit, donc un mini-dôme contient deux fois moins de mousse. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cHugo a préparé $1{,}5$ L de mousse. Combien de mini-dômes complets peut-il faire ?
4. dLe glaçage ne recouvre que la surface arrondie d’un grand dôme, c’est-à-dire une demi-sphère. Un pot de glaçage couvre $750$ cm². Suffit-il pour deux grands dômes ? Justifie.

Ex. 21★★★Les billes de l’aquarium — Arrondis au dixième. L’aquarium de Léna est un pavé droit de $40$ cm de longueur, $25$ cm de largeur et $30$ cm de hauteur. Il est rempli d’eau sur une hauteur de $20$ cm.

1. aCalcule le volume d’eau contenu dans l’aquarium, en cm³ puis en litres.
2. bLéna a des billes de verre de diamètre $3$ cm. Calcule le volume d’une bille : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cElle plonge $60$ billes dans l’aquarium. De combien de centimètres le niveau de l’eau monte-t-il ?
4. dElle retire les billes, puis plonge entièrement une boule de verre : le niveau monte de $0{,}5$ cm. Trouve le rayon de cette boule, en t’aidant d’un encadrement à la calculatrice.

Ex. 22★★★Automatismes — lire un solide composé — Réponds à chaque question par un calcul court.

1. aUne boule tient exactement dans une boîte cubique d'arête $9$ cm (vue de face ci-dessous). Quel est le rayon de la boule ?
2. bUn silo a une hauteur totale de $9{,}5$ m. Il est formé d'un cylindre surmonté d'une demi-boule de rayon $2{,}5$ m. Quelle est la hauteur du cylindre ?
3. cUne toupie est formée d'un cône de rayon $2{,}5$ cm et de hauteur $4$ cm, fermé en haut par une demi-boule posée exactement sur sa base. Quelle est la hauteur totale de la toupie ?
4. dUne citerne contient $3{,}6$ m³ d'eau. Exprime cette contenance en litres.
5. eAvec $100$ cm³ de pâte d'amande, un pâtissier façonne des boules de $6$ cm³ chacune. Combien de boules peut-il faire au maximum ?

Ex. 23★★★Automatismes — volume d'un solide composé — Pour chaque solide, donne la valeur exacte du volume, puis sa valeur approchée au dixième.

1. aUn cornet de glace est un cône de rayon $2$ cm et de hauteur $11$ cm, surmonté d'une demi-boule de glace de même rayon. Calcule son volume.
2. bUne gélule est formée d'un cylindre de rayon $0{,}5$ cm et de hauteur $2$ cm, avec une demi-boule de même rayon à chaque bout. Calcule son volume.
3. cUn bloc de cire en forme de cube d'arête $8$ cm est creusé d'une cavité en forme de demi-boule de rayon $3$ cm. Calcule le volume de cire.

Ex. 24★★★La boîte de balles de tennis — Inès range trois balles de tennis de diamètre $6{,}6$ cm dans une boîte cylindrique. Les balles tiennent exactement : elles touchent le fond, le couvercle et la paroi (vue de face ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aDonne le rayon et la hauteur de la boîte.
2. bCalcule la valeur exacte, puis une valeur approchée, du volume des trois balles et du volume de la boîte.
3. cCalcule le volume d'air qui reste dans la boîte fermée.
4. dQuel pourcentage du volume de la boîte les balles occupent-elles ?

Ex. 25★★★Les billes du verrier — À Biot, Malik, artisan verrier, dispose de $1{,}5$ L de verre fondu. Il fabrique des billes pleines de diamètre $1{,}6$ cm. Arrondis les volumes au centième.

1. aExprime en cm³ le volume de verre dont dispose Malik.
2. bCalcule la valeur exacte du volume d'une bille, puis sa valeur approchée.
3. cCombien de billes Malik peut-il fabriquer au maximum ? Justifie par un calcul.

Ex. 26★★★Le silo à grain du Gers — Dans le Gers, Romain stocke son blé dans un silo. Le silo est formé d'un cylindre surmonté d'une demi-boule de même diamètre. Le diamètre du silo est $6$ m et sa hauteur totale est $14$ m (vue de face ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aDonne le rayon de la demi-boule, puis la hauteur de la partie cylindrique. Justifie.
2. bCalcule le volume du silo en m³ : donne sa valeur exacte, puis sa valeur approchée.
3. cUn mètre cube de blé a une masse de $750$ kg. Calcule la masse de blé, en tonnes, que contient le silo quand il est plein.
4. dBen affirme : « Un silo qui est un agrandissement de rapport $1{,}5$ de celui-ci contient $1{,}5$ fois plus de blé. » A-t-il raison ? Justifie en calculant le volume de ce silo.

Ex. 27★★★Le globe de Nadia — À Lille, Nadia vend un globe terrestre décoratif. C'est une boule de diamètre $30$ cm. Elle l'expédie dans une boîte cubique où il tient exactement (vue de face ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aDonne l'arête de la boîte. Justifie.
2. bThéo calcule le volume du globe ainsi : $\frac{4}{3} \times \pi \times 30^3 \approx 113\,097{,}3$ cm³. Explique son erreur, puis donne la valeur exacte et la valeur approchée du volume du globe.
3. cCalcule le volume d'air restant dans la boîte : donne sa valeur exacte en cm³, puis sa valeur approchée en litres.
4. dNadia vend aussi un grand globe de volume $7\,776\pi$ cm³. Quelle est l'arête de la boîte cubique où il tient exactement ? Justifie.
5. eNadia comble l'espace vide avec des billes de polystyrène vendues en sacs de $5$ L. Combien de sacs doit-elle acheter ? Justifie.

Ex. 28★★★La citerne de récupération d'eau de pluie — À Rennes, Yanis récupère l'eau de pluie dans une citerne. Elle est formée d'un cylindre et de deux demi-boules de même diamètre, une à chaque bout. La citerne a une longueur totale de $4{,}2$ m et un diamètre de $1{,}2$ m (vue de face ci-dessous). Arrondis au dixième.

1. aDonne le rayon des demi-boules, puis la longueur de la partie cylindrique. Justifie.
2. bMontre que les deux demi-boules forment une boule, puis calcule le volume de la citerne en m³ : valeur exacte, puis valeur approchée.
3. cSacha écrit : « $1$ m³ $= 100$ L, donc la citerne contient moins de $500$ L. » Explique l'erreur, puis donne la contenance de la citerne en litres.
4. dYanis remplit des arrosoirs de $11$ L avec l'eau de la citerne pleine. Combien d'arrosoirs pleins peut-il remplir ? Justifie.

Ex. 29★★★Section d’un cône : rapport, rayon et aire — Un cône de sommet $S$ a une hauteur $SO = 10$ cm et un rayon de base $OA = 4$ cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à $3$ cm de la base. La section est un disque de centre $O'$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le rapport $k$ de la réduction.
2. bCalcule le rayon $O'A'$ de la section.
3. cCalcule l’aire de la base du cône : valeur exacte, puis valeur approchée.
4. dCalcule l’aire de la section à l’aide de $k$ : valeur exacte, puis valeur approchée.

Ex. 30★★★Volume du petit solide : penser au cube — Dans chaque cas, le petit solide a le même sommet que le grand. Il est obtenu en coupant le grand solide par un plan parallèle à sa base.

1. aPour une pyramide de $250$ cm³ coupée avec $k = 0{,}2$, Léo trouve que la petite pyramide a un volume de $250 \times 0{,}2 = 50$ cm³. Trouve son erreur et corrige-la.
2. bUne pyramide de hauteur $20$ cm et de volume $800$ cm³ est coupée à $15$ cm de la base. Calcule le volume de la petite pyramide.
3. cUn cône de hauteur $9$ cm et de volume $135$ cm³ est coupé à $6$ cm de son sommet. Calcule le volume du petit cône.
   
4. dOn découpe un petit cône de $27$ cm³ dans un cône de $1\,000$ cm³. Calcule le rapport $k$ de la réduction.

Ex. 31★★★Pyramide coupée : retrouver la hauteur — Une pyramide $SABCD$ de hauteur $SO = 12$ cm a pour base un rectangle $ABCD$ avec $AB = 9$ cm et $BC = 6$ cm. Un plan parallèle à la base la coupe selon le rectangle $A'B'C'D'$, avec $A'B' = 3$ cm. Sur la vue de face, $I$, $J$, $I'$, $J'$ sont les milieux de $[AD]$, $[BC]$, $[A'D']$, $[B'C']$.

1. aCalcule le rapport $k$ de la réduction, puis la hauteur $SO'$ de la petite pyramide.
2. bCalcule la largeur $B'C'$ de la section.
3. cCalcule le volume $V$ de la pyramide $SABCD$, puis le volume $V'$ de la petite pyramide à l’aide de $k$.
4. dVérifie $V'$ par le calcul direct $\mathcal{B}' \times h' \div 3$.

Ex. 32★★★Le verre à cocktail rempli à mi-hauteur — À Annecy, Jade sert des jus de fruits dans des verres coniques, pointe en bas. Chaque verre mesure $8$ cm de diamètre à l’ouverture et $12$ cm de profondeur. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la contenance d’un verre en cm³ : valeur exacte, puis valeur approchée.
2. bJade remplit un verre jusqu’à mi-hauteur. Elle pense avoir versé la moitié de la contenance. A-t-elle raison ? Justifie en calculant le volume de jus en mL.
3. cJade remplit ainsi des verres à mi-hauteur avec une bouteille de $1$ L. Combien de verres peut-elle servir ? Justifie par un calcul.

Ex. 33★★★Le presse-papiers en tronc de pyramide — À Nantes, Lina fabrique des presse-papiers en verre. Elle part d’une pyramide $SABCD$ de hauteur $SO = 8$ cm, dont la base est un carré de $12$ cm de côté. Elle la coupe par un plan parallèle à la base, à $2$ cm de la base. Elle garde le tronc de pyramide (colorié sur la vue de face, où $[EF]$ a la longueur d’un côté de la base).

1. aLa petite pyramide a le même sommet $S$. Calcule sa hauteur $SO'$, puis le rapport $k$ de la réduction.
2. bCalcule le côté de la section, puis son aire. Yanis a multiplié l’aire de la base par $k$. Explique son erreur.
3. cCalcule le volume $V$ de la pyramide $SABCD$, puis le volume $V'$ de la petite pyramide à l’aide de $k$.
4. dCalcule le volume du presse-papiers. Zoé affirme qu’il suffit de multiplier $V$ par $1 - k$. A-t-elle raison ? Justifie.
5. eLe verre a une masse volumique de $2{,}5$ g/cm³. Calcule la masse du presse-papiers.

Ex. 34★★★La bougie conique qui se consume — À Lyon, Hugo allume une bougie en forme de cône posée sur sa base. Le diamètre de la base mesure $10$ cm et la hauteur $18$ cm. La bougie brûle par le haut : la partie brûlée est un petit cône de même sommet $S$, coupé par un plan parallèle à la base. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le volume de cire de la bougie neuve : valeur exacte, puis valeur approchée.
2. bUn soir, Hugo éteint la bougie quand la flamme est à $15$ cm de la base. Calcule le volume de cire brûlée, puis le volume de cire restante.
3. cUn autre soir, la partie brûlée a un volume de $9{,}6\pi$ cm³. Calcule $k$, puis la distance entre la flamme et la base.
4. dCe soir-là, calcule l’aire du disque qui forme le haut de la bougie restante : valeur exacte, puis valeur approchée.

Ex. 35★★★La cuve conique d’eau de pluie — À Perpignan, Malik récupère l’eau de pluie dans une cuve en forme de cône, pointe $S$ en bas. Le rayon vaut $OA = 1{,}5$ m et la hauteur $SO = 2$ m. Ce matin, la hauteur d’eau est $SO' = 1{,}2$ m (vue de face, eau coloriée). Arrondis au centième en m² et en m³, à l’unité en litres et en minutes.

1. aCalcule la contenance de la cuve : valeur exacte en m³, puis valeur approchée en m³ et en litres.
2. bL’eau forme un petit cône de sommet $S$. Calcule le rayon de la surface de l’eau, puis l’aire de cette surface.
3. cMalik affirme : « L’eau remplit $60\,\%$ de la cuve. » Calcule le volume d’eau en litres, puis corrige son affirmation.
4. dMalik arrose son potager avec une pompe qui débite $12$ L par minute. Combien de minutes lui faut-il pour vider l’eau de la cuve de ce matin ?

Ex. 36★★★Longueur, aire ou volume ? — Automatismes. Avant chaque calcul, demande-toi si tu mesures une longueur, une aire ou un volume.

1. aUn triangle a un périmètre de $12$ cm. On l'agrandit avec un rapport $k = 2{,}5$. Calcule le périmètre du triangle obtenu.
2. bOn triple toutes les longueurs d'une figure d'aire $8$ cm². Calcule l'aire de la figure obtenue.
3. cOn réduit ce pavé droit avec un rapport $k = \frac{1}{2}$. Calcule le volume du pavé obtenu.
4. dOn applique un rapport $k = 0{,}8$ à une figure d'aire $50$ cm². S'agit-il d'un agrandissement ou d'une réduction ? Calcule l'aire obtenue.
5. eUne boîte de contenance $1\,250$ cm³ est agrandie : toutes ses dimensions sont multipliées par $1{,}2$. Calcule la contenance de la nouvelle boîte, en L.

Ex. 37★★★Retrouver le rapport k — Automatismes. Dans chaque cas, calcule le rapport $k$ et dis s'il s'agit d'un agrandissement ou d'une réduction. Arrondis au centième si besoin.

1. aOn agrandit ce cône et sa hauteur devient $14$ cm. Calcule $k$.
2. bLe côté d'un carré mesure $2$ m. Après transformation, il mesure $50$ cm. Calcule $k$.
3. cDeux figures de même forme ont des aires de $7$ cm² et de $63$ cm². Calcule $k$, la petite figure étant celle de départ.
4. dOn agrandit une bille de volume $5$ cm³ : la nouvelle bille, de même forme, a un volume de $320$ cm³. Calcule $k$.
5. eUn solide de $10$ cm³ est agrandi en un solide de même forme de $50$ cm³. Encadre $k$ à la calculatrice puis donne une valeur approchée de $k$.

Ex. 38★★★La maquette du silo — Pour son exposé sur une ferme près de Rodez, Inès a fabriqué la maquette d'un silo cylindrique à l'échelle $\frac{1}{50}$. La maquette a un rayon de $3$ cm et une hauteur de $8$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur réelle du silo, en m.
2. bCalcule le volume de la maquette : donne la valeur exacte, puis la valeur approchée.
3. cDéduis-en le volume réel du silo, en m³, sans recalculer avec les dimensions réelles.
4. dInès affirme : « Au sol, le silo occupe une surface $50$ fois plus grande que celle de la maquette. » A-t-elle raison ? Calcule l'aire réelle occupée au sol, en m².

Ex. 39★★★Les sapins en chocolat — Dans sa pâtisserie de Colmar, Lina fabrique des sapins en chocolat plein. Chacun a la forme d'un cône de rayon $3$ cm et de hauteur $10$ cm, et il pèse $120$ g. Elle veut fabriquer d'autres sapins de la même forme.

1. aHugo affirme : « Un sapin de $30$ cm de haut pèsera $3 \times 120 = 360$ g. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
2. bCalcule la masse d'un sapin de $25$ cm de haut.
3. cUn petit sapin de même forme pèse $15$ g. Calcule sa hauteur.

Ex. 40★★★Les bougies de Manon — À Annecy, Manon coule des bougies en cire en forme de pyramide à base carrée. La petite bougie SABCD a une base de $6$ cm de côté et une hauteur de $9$ cm. Elle veut aussi fabriquer une grande bougie de même forme, dont la base a une aire de $81$ cm².

1. aCalcule le volume $V$ de la petite bougie.
2. bCalcule le rapport $k$ qui fait passer de la petite bougie à la grande. Est-ce un agrandissement ou une réduction ? Justifie.
3. cLéo affirme : « La grande bougie demande $1{,}5$ fois plus de cire que la petite. » Corrige son erreur, puis calcule le volume $V'$ de la grande bougie.
4. dManon a $1{,}2$ L de cire fondue. Combien de grandes bougies peut-elle couler au maximum ? Justifie par un calcul.

Ex. 41★★★La maquette du château d'eau — Pour un projet à Saint-Nazaire, Yanis a construit la maquette d'un château d'eau dont le réservoir est une boule. La maquette est à l'échelle $\frac{1}{40}$ : le réservoir de la maquette est une boule de $15$ cm de diamètre. Arrondis au dixième.

1. aCalcule le diamètre réel du réservoir, en m.
2. bCalcule l'aire de la sphère de la maquette (valeur exacte puis valeur approchée), puis déduis-en l'aire réelle du réservoir, en m².
3. cTom affirme : « Le vrai réservoir contient $40$ fois plus d'eau que la maquette remplie. » Corrige-le, puis calcule la contenance réelle du réservoir, en L.
4. dUn pot de peinture couvre $12$ m². Combien de pots faut-il acheter pour peindre une couche sur tout le réservoir ? Justifie.

Ex. 42★★★Le bocal deux fois plus grand — À Quimper, Zoé vend de la confiture dans des bocaux cylindriques de rayon $4$ cm et de hauteur $10$ cm. Elle veut un nouveau bocal de même forme qui contienne deux fois plus de confiture. Arrondis au dixième (et $k$ au centième).

1. aCalcule la contenance du petit bocal : valeur exacte en cm³, puis valeur approchée en mL.
2. bZoé propose de doubler le rayon et la hauteur. A-t-elle raison ? Justifie par un calcul.
3. cExplique pourquoi le rapport $k$ cherché vérifie $k^3 = 2$, puis encadre $k$ à la calculatrice entre deux nombres à deux décimales.
4. dAvec $k \approx 1{,}26$, calcule le rayon et la hauteur du nouveau bocal.
5. eCalcule le périmètre du couvercle du nouveau bocal, puis son aire.

Ex. 43★★★Automatismes : conversions, durée et quantité suffisante — Automatismes. Arrondis au dixième si besoin.

1. aConvertis $2{,}35$ m³ en litres.
2. bConvertis $4\,800$ cm³ en litres.
3. cCalcule le volume de ce cylindre (valeur exacte, puis valeur approchée).
4. dUn robinet débite $400$ L par heure. Combien de temps met-il à remplir un réservoir de $0{,}7$ m³ ? Donne la durée en heures et minutes.
5. eHugo remplit un aquarium de $58$ L avec un seau de $8$ L. Combien de fois doit-il remplir son seau, au minimum ?

Ex. 44★★★Automatismes : une pyramide coupée près de sa base — La pyramide $SABCD$ a pour base un carré de côté $9$ cm et pour hauteur $SO = 12$ cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, à $4$ cm de la base. La section est un carré de centre $O'$. Voici la vue de face.

1. aCalcule $SO'$, puis le rapport $k$ de la réduction.
2. bCalcule le côté $A'B'$ de la section.
3. cCalcule l'aire de la section.
4. dCalcule le volume de la pyramide $SABCD$.
5. eCalcule le volume de la petite pyramide au-dessus du plan.
6. fCalcule le volume du tronc de pyramide qui reste sous le plan.

Ex. 45★★★Le cornet de glace de Lisbonne — À Lisbonne, un glacier vend des cornets en forme de cône. Le cône a pour sommet $S$, pour génératrice $SA = 13$ cm et pour base un disque de centre $O$ et de diamètre $AB = 10$ cm. Voici la vue de face. Arrondis les valeurs approchées à l'unité.

1. aCalcule la hauteur $SO$ du cornet. Justifie.
2. bInès écrit : « $V = \pi \times 5^2 \times 13 \div 3 = \frac{325}{3}\pi$ cm³ ». Trouve son erreur, puis donne la valeur exacte et la valeur approchée du volume du cornet.
3. cLe glacier remplit le cornet de glace, puis il ajoute dessus une demi-boule de glace de diamètre $10$ cm. Quel volume de glace sert-il, en mL ?

Ex. 46★★★La citerne de la ferme de Noé — Noé récupère l'eau de pluie dans une citerne cylindrique posée debout. Elle a un diamètre de $1{,}6$ m et une hauteur de $2{,}5$ m. Arrondis les volumes au litre et les sommes au centime.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la citerne en m³, puis donne sa contenance approchée en litres.
2. bSes animaux boivent $4\,800$ L d'eau par semaine. Cette citerne pleine suffit-elle pour une semaine ? Justifie.
3. cL'eau du réseau coûte $4{,}20$ € le m³. Quelle somme Noé économise-t-il chaque fois qu'il remplit sa citerne avec l'eau de pluie ?

Ex. 47★★★Le silo à blé de Marion — À Chartres, Marion stocke son blé dans un silo. Il est formé d'un cylindre de diamètre $6$ m et de hauteur $8$ m, posé sur une trémie. La trémie est un cône de sommet $S$, de centre de base $O$ et de génératrice $SA = 5$ m. La figure montre le silo en vue de face. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la hauteur $SO$ de la trémie. Justifie.
2. bCalcule la valeur exacte du volume total du silo en m³, puis sa valeur approchée. Justifie chaque formule.
3. cLe silo est rempli à 90 %. Un mètre cube de blé pèse $0{,}75$ t. Calcule la masse de blé stockée.
4. dDes camions qui portent $25$ t au plus vident le silo. Combien de camions faut-il au minimum ? Justifie.

Ex. 48★★★Le réservoir d'arrosage de Yasmine — À Montpellier, Yasmine arrose son potager avec l'eau d'un réservoir. C'est un cône posé pointe en bas, de sommet $S$, de rayon $OA = 1{,}2$ m et de hauteur $SO = 2$ m. Ce matin, la surface de l'eau est un disque de centre $O'$, à $0{,}5$ m sous le bord. Arrondis au litre.

1. aCalcule la valeur exacte du volume du réservoir en m³, puis sa contenance en litres.
2. bCalcule la hauteur d'eau $SO'$, puis le rapport $k$ de la réduction qui transforme le réservoir en cône d'eau.
3. cDéduis-en le volume d'eau du réservoir : donne sa valeur exacte en m³, puis sa valeur en litres.
4. dYasmine doit arroser dans $4$ h. Sa pompe ajoute $400$ L par heure. Le réservoir sera-t-il plein à temps ? Donne la durée en heures et minutes.

Ex. 49★★★La sculpture du rond-point de Rennes — À Rennes, Camille a réalisé la maquette d'une sculpture : une boule de diamètre $8$ cm posée sur un socle cubique d'arête $6$ cm. La vraie sculpture est un agrandissement de rapport $25$ de la maquette. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte du volume de la maquette, puis sa valeur approchée en cm³.
2. bLéo affirme : « Pour avoir le volume réel, je multiplie celui de la maquette par $25$. » A-t-il raison ? Calcule le volume réel en m³.
3. cLa boule réelle reçoit deux couches de peinture. $1$ L de peinture couvre $3$ m². Combien de pots de $2$ L faut-il acheter ?
4. dLe socle réel est en béton plein : $1$ m³ de béton pèse $2{,}4$ t. Une grue qui soulève $8$ t au plus suffit-elle pour le poser d'un seul bloc ? Justifie.