49 exercices en 7 parties, du plus simple au plus difficile : ★★★ facile · ★★★ moyen · ★★★ difficile. Le corrigé détaillé est sur benprofparticulier.fr.
1.Égalité de vecteurs, translation et parallélogramme
À retenir : $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ ⟺ ABCD parallélogramme (on suit le contour) ; $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ ⟺ ABDC. Égaux : même direction, même sens, même norme ; $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$. Image M′ de M par la translation de vecteur $\vec{u}$ : $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$.
Ex. 1★★★Lire des vecteurs égaux ou opposés sur un quadrillage— Un robot trace des flèches sur un quadrillage. En carreaux, avec A pour origine : $A(0\,;0)$,$B(3\,;1)$,$C(4\,;3)$,$D(7\,;4)$,$E(8\,;1)$,$F(5\,;0)$.
aDécris en carreaux le déplacement associé au vecteur $\overrightarrow{AB}$.
bLe vecteur $\overrightarrow{EF}$ est-il égal à $\overrightarrow{AB}$ ? Justifie.
cCite deux vecteurs égaux à $\overrightarrow{AB}$, d'origine et d'extrémité prises parmi les points de la figure.
dCite trois vecteurs opposés à $\overrightarrow{CD}$, formés avec les points de la figure.
eÉcris dans l'ordre les sommets du parallélogramme formé par les points A, B, C et D.
fCombien le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a-t-il de représentants dans le plan ?
Ex. 2★★★Parallélogramme et ordre des lettres— Réponds à chaque question en faisant si besoin un croquis à main levée.
aRSTU est un parallélogramme. Complète : $\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{T\ldots}$.
bDans le parallélogramme RSTU, cite un vecteur égal à $\overrightarrow{ST}$.
cOn sait que $\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{MN}$. Écris dans l'ordre les sommets du parallélogramme obtenu.
dOn sait que $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{HG}$. Écris dans l'ordre les sommets du parallélogramme obtenu.
eHugo écrit : « $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$, car les longueurs AB et BA sont égales » (A et B distincts). Corrige son erreur.
fOn sait que $\overrightarrow{PQ}=\vec{0}$. Que peux-tu dire des points P et Q ?
gA, B, C, D sont alignés dans cet ordre, avec AB = CD = 2 cm. Compare $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$, puis donne la nature de ABDC.
Ex. 3★★★Jeu vidéo : image par une translation— Dans un jeu vidéo, un personnage se déplace selon la translation qui transforme $A(-2\,;1)$ en $B(1\,;3)$. Repère orthonormé : $C(2\,;-1)$ et $D(-4\,;-3)$.
aDécris le déplacement de A à B, puis donne les coordonnées de C′, l'image de C.
bDonne les coordonnées de D′, l'image de D.
cAprès la translation, le personnage arrive en $F(0\,;4)$. Donne les coordonnées de son point de départ E.
dJustifie que ABC′C est un parallélogramme.
eLou affirme : « cette translation transforme aussi B en A ». A-t-elle raison ? Justifie.
Ex. 4★★★Plan d'un parc : vrai ou faux— Sur le plan d'un parc, les allées forment le parallélogramme ABCD : B est 4 carreaux à droite de A, D est 2 carreaux à droite de A et 3 vers le haut. La fontaine E est 4 carreaux à droite de B. Vrai ou faux ? Justifie.
a$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
b$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.
cLa translation qui transforme A en B transforme C en D.
dBECD est un parallélogramme.
eSur cette figure, $\overrightarrow{AB}$ n'a qu'un seul représentant, en plus de lui-même.
Ex. 5★★★Drone : démontrer, corriger, translater— Un drone survole un champ. Dans un repère orthonormé (unité : 10 m), les quatre balises sont $E(-3\,;-1)$,$F(2\,;-2)$, $G(4\,;2)$ et $H(-1\,;3)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$ et de $\overrightarrow{HG}$. Déduis-en la nature du quadrilatère EFGH en citant la propriété utilisée.
bLéa écrit : « EFGH est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{GH}$. » A-t-elle raison ? Justifie en calculant $\overrightarrow{GH}$.
cLe drone part de F et subit la translation qui transforme G en H. Calcule les coordonnées de son point d'arrivée P. Que remarques-tu ?
dIlan affirme : « EFGH est un losange. » Vrai ou faux ? Justifie en calculant $\|\overrightarrow{EF}\|$ et $\|\overrightarrow{EH}\|$ en valeur exacte.
Ex. 6★★★Le cavalier sur l'échiquier— Aux échecs, Noa joue un cavalier : un de ses coups est « 2 carreaux à droite, 1 vers le haut », c'est le vecteur $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$. En carreaux, avec A pour origine : $A(0\,;0)$,$B(2\,;1)$,$C(1\,;3)$,$D(3\,;4)$,$E(6\,;3)$,$F(4\,;2)$.
aDécris en carreaux les déplacements $\overrightarrow{CD}$ et $\overrightarrow{EF}$. Lequel est égal à $\vec{u}$, lequel est son opposé ? Explique pourquoi deux flèches d'origines différentes peuvent représenter $\vec{u}$.
bNoa dit : « $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AE}$ ont la même direction, donc ils sont égaux. » A-t-il raison ? Justifie.
cParmi ABCD et ABDC, lequel est un parallélogramme ? Justifie en citant la propriété.
dConstruis le point G tel que $\overrightarrow{DG}=\vec{u}$, puis montre que D est le milieu de [CG].
eLe cavalier part de C, joue le coup $\overrightarrow{AB}$, puis le coup $\overrightarrow{EF}$. Où arrive-t-il ? Quel vecteur représente son déplacement total ?
Ex. 7★★★Bouées et courant marin— Le courant déplace chaque bouée selon la translation qui transforme $R(-4\,;3)$ en $S(-1\,;1)$ (repère orthonormé, unité : 1 km). Une bouée arrive en $T(5\,;4)$. Une autre bouée part de $W(5\,;-3)$, situé sur la droite (RS).
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{RS}$, puis celles du point de départ U de la bouée arrivée en T.
bMia affirme : « Comme $\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{UT}$, RSUT est un parallélogramme. » Corrige-la en citant la propriété.
cContrôle ta réponse précédente en calculant les coordonnées des milieux des diagonales du parallélogramme trouvé.
dCalcule les coordonnées de W′, la position de la bouée partie de W après le courant.
eMontre que [RW′] et [SW] ont le même milieu. Que peux-tu dire du quadrilatère RSW′W ? Justifie.
2.Somme de vecteurs et relation de Chasles
À retenir : Chasles : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ (bout à bout). « $-\overrightarrow{XY}$ » devient « $+\overrightarrow{YX}$ ». ABCD parallélogramme : $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (diagonale). En général, $\|\vec{u}+\vec{v}\|\neq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|$.
Ex. 8★★★Automatismes : simplifier avec la relation de Chasles— Écris chaque expression à l'aide d'un seul vecteur (ou du vecteur nul $\vec{0}$).
Ex. 9★★★Automatismes : sommes dans un parallélogramme— Sur le quadrillage, EFGH est un parallélogramme de centre O. Écris chaque somme à l'aide d'un seul vecteur dont l'origine et l'extrémité sont des points de la figure (ou du vecteur nul $\vec{0}$).
Ex. 10★★★Deux cordes tirent une caisse— Nadia et Sami tirent une caisse placée en O avec deux cordes. Leurs forces sont représentées par $\overrightarrow{OM}$ (3 carreaux vers la droite) et $\overrightarrow{ON}$ (4 carreaux vers le haut). La force totale est représentée par $\overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$.
aConstruis le point P tel que $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OM} + \overrightarrow{ON}$. Quelle est la nature du quadrilatère OMPN ?
bCalcule $\|\overrightarrow{OP}\|$, en carreaux.
cNadia affirme : « La force totale mesure $3 + 4 = 7$ carreaux. » A-t-elle raison ? Justifie.
dSami change de place : il tire maintenant dans le même sens que Nadia, avec une force de 4 carreaux vers la droite. Calcule la norme de la nouvelle force totale.
Ex. 11★★★La fontaine du parc— Sur le plan d'un parc, on a trois kiosques A, B, C et une fontaine G. Depuis G, A est à 3 carreaux à gauche et 2 vers le bas, B est à 3 carreaux à droite et 1 vers le bas, C est à 3 carreaux vers le haut.
aConstruis le point P tel que $\overrightarrow{GP} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}$. Décris ta construction.
bCompare $\overrightarrow{GP}$ et $\overrightarrow{GC}$ : direction, sens et norme.
dTom écrit : « $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{AB}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
eDémontre, sans figure, que pour tout point M : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MG}$.
Ex. 12★★★Démontrer sans figure— Ici, il n'y a pas de figure : chaque égalité doit être vraie pour tous les points nommés. Rédige chaque étape en citant la relation de Chasles.
aMontre que, pour tous points E, F, G, H : $\overrightarrow{EF} - \overrightarrow{GF} + \overrightarrow{GH} - \overrightarrow{EH} = \vec{0}$.
bMontre que, pour tous points R, S, T, U : $\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{TU} = \overrightarrow{RT} + \overrightarrow{US}$. Tu pourras insérer le point T dans $\overrightarrow{RS}$.
cLéo écrit : « $\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{ML} = \overrightarrow{KM}$ par la relation de Chasles. » A-t-il raison ? Justifie, puis donne l'égalité juste qu'il voulait sans doute écrire.
dÉcris $\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{CD}$ à l'aide d'un seul vecteur, pour tous points M, A, B, C, D.
eVrai ou faux ? « Pour tous points A, B, C, on a AB + BC = AC en longueurs. » Justifie avec un triangle ABC rectangle en B tel que AB = 5 et BC = 12.
Ex. 13★★★Le robot de l'entrepôt— Inès programme un robot dans un entrepôt. Sur le quadrillage, ABCD est un parallélogramme de centre O. Depuis A : B est à 5 carreaux à droite et 1 vers le haut, C est à 7 carreaux à droite et 4 vers le haut, D est à 2 carreaux à droite et 3 vers le haut.
aLe robot part de D. Il subit la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$, puis celle de vecteur $\overrightarrow{CB}$. Écris $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ à l'aide d'un seul vecteur, puis dis où arrive le robot.
bConstruis le point E tel que $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, puis démontre, avec la relation de Chasles, que $\overrightarrow{CE} = \overrightarrow{AB}$.
cÉcris $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{OB}$ à l'aide d'un seul vecteur. Justifie chaque étape.
Ex. 14★★★Le bateau et le courant— Un bateau part du ponton O. Moteur seul : $\vec{m} = \overrightarrow{OM}$ (5 carreaux à droite, 4 vers le haut). Courant seul : $\vec{c} = \overrightarrow{ON}$ (3 carreaux à droite, 4 vers le bas). Vitesse réelle : $\vec{m} + \vec{c}$. Sur le quadrillage, 1 carreau représente 1 km/h. La bouée B est à 2 carreaux à droite et 4 vers le haut de O.
aConstruis le point P tel que $\overrightarrow{MP} = \vec{c}$, puis justifie que $\overrightarrow{OP} = \vec{m} + \vec{c}$.
bCalcule en valeur exacte $\|\vec{m}\|$, $\|\vec{c}\|$ et $\|\vec{m} + \vec{c}\|$, en carreaux.
cYanis affirme : « La vitesse réelle du bateau vaut $\|\vec{m}\| + \|\vec{c}\|$ km/h. » A-t-il raison ? Justifie.
dLe pilote veut rester immobile malgré le courant. Quel vecteur moteur doit-il choisir ? Décris-le en carreaux et justifie.
eLe pilote veut maintenant que la vitesse réelle soit $\overrightarrow{OB}$. Construis le point Q tel que $\overrightarrow{QB} = \vec{c}$, puis explique pourquoi le vecteur moteur à choisir est $\overrightarrow{OQ}$.
3.Produit d’un vecteur par un réel
À retenir : $k\vec{u}$ : même direction que $\vec{u}$, même sens si $k>0$, sens contraire si $k<0$, norme $|k|\times\|\vec{u}\|$, donc $\|-3\vec{u}\| = 3\|\vec{u}\|$. Je développe puis je regroupe : $2(\vec{u}-\vec{v})+\vec{v} = 2\vec{u}-\vec{v}$. Et $0\vec{u} = \vec{0}$.
Ex. 15★★★Automatismes : développer et réduire— $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs. Développe puis réduis chaque expression.
fTrouve le réel $k$ tel que $2(\vec{u} + \vec{v}) + k\vec{u} = 5\vec{u} + 2\vec{v}$.
Ex. 16★★★Automatismes : direction, sens et norme de $k\vec{u}$— Sur le quadrillage (1 carreau = 1 cm), $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ est horizontal, dirigé vers la droite, et a pour norme $\|\vec{u}\| = 6$ cm.
aDonne la direction, le sens et la norme de $-2\vec{u}$.
bDonne la direction, le sens et la norme de $\frac{1}{3}\vec{u}$.
cDepuis A, construis un représentant de $-\frac{1}{2}\vec{u}$. Décris sa direction, son sens et sa norme.
dQue représente $0\vec{u}$ ? Donne sa norme.
eLéo écrit : « $\|-\frac{4}{3}\vec{u}\| = -\frac{4}{3} \times 6 = -8$ cm ». A-t-il raison ? Justifie.
fTrouve les deux réels $k$ tels que $\|k\vec{u}\| = 15$ cm.
Ex. 17★★★Lire $k$ sur une figure— Un robot se déplace sur un rail rectiligne. Les points G, E, F, H y sont placés de gauche à droite, avec GE = 2 carreaux, EF = 3 carreaux et FH = 2 carreaux. Pour chaque égalité, trouve le réel $k$ (signe ET valeur).
a$\overrightarrow{EH} = k\overrightarrow{EF}$
b$\overrightarrow{EG} = k\overrightarrow{EF}$
c$\overrightarrow{FG} = k\overrightarrow{EF}$
d$\overrightarrow{GH} = k\overrightarrow{EF}$
eHugo écrit $\overrightarrow{FH} = \frac{2}{5}\overrightarrow{FG}$, car FH = 2 et FG = 5. A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 18★★★Le trajet d'un drone— Un drone part du point R. Sur le quadrillage, on va de R à S en se déplaçant de 3 carreaux à droite et 1 vers le haut, et de R à T de 1 carreau à droite et 3 vers le haut.
aPlace le point M tel que $\overrightarrow{RM} = -\overrightarrow{RS} + 2\overrightarrow{RT}$.
bAvec la relation de Chasles, exprime $\overrightarrow{SM}$ en fonction de $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$.
cExprime $\overrightarrow{ST}$ en fonction de $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$, puis trouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{SM} = k\overrightarrow{ST}$.
dDéduis-en la position du point T par rapport aux points S et M. Justifie.
Ex. 19★★★Un parallélogramme dans le parc— Sur le plan d'un parc, on place trois kiosques R, S, T sur un quadrillage. Pour aller de R à S, on fait 6 carreaux à droite. Pour aller de R à T, on fait 1 carreau à droite et 4 vers le haut.
aPlace le point U tel que $\overrightarrow{RU} = \frac{1}{3}\overrightarrow{RS}$. Donne la direction, le sens et la norme (en carreaux) de $\overrightarrow{RU}$.
bCalcule $3\overrightarrow{RU} - \overrightarrow{RS}$. Max écrit que le résultat est « 0 ». Que corriges-tu ?
cLe point V est défini par $\overrightarrow{SV} = \overrightarrow{RT} - \frac{2}{3}\overrightarrow{RS}$. Avec la relation de Chasles, écris $\overrightarrow{RV}$ en fonction de $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$, puis place V.
dDémontre que RUVT est un parallélogramme. Cite la propriété utilisée.
Ex. 20★★★Le bateau et le courant— Dans un repère orthonormé (unité 1 km), un bateau part de $P(1\,;0)$. En une heure, son moteur le déplace de $\vec{u}(2\,;1)$ et le courant de $\vec{c}(1\,;-1)$. On place aussi $R(-5\,;-3)$.
aCalcule $\|\vec{u}\|$ en valeur exacte. Chloé écrit $\|-4\vec{u}\| = -4\sqrt{5}$. A-t-elle raison ? Justifie.
bLe trajet du bateau est $\vec{d} = 3(\vec{u} + \vec{c}) - 2\vec{c}$. Réduis $\vec{d}$ en fonction de $\vec{u}$ et $\vec{c}$, puis calcule ses coordonnées.
cLe bateau part de P et suit le trajet $\vec{d}$ jusqu'au point Q. Calcule les coordonnées de Q.
dTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{PR} = k\vec{u}$. Compare le sens de $\overrightarrow{PR}$ et celui de $\vec{u}$, puis donne $PR$ en valeur exacte.
Ex. 21★★★Le personnage du jeu vidéo— Dans un jeu vidéo, un personnage se déplace sur un quadrillage. De K à L, il fait 4 carreaux à droite et 2 vers le haut. De K à M, il fait 6 carreaux à gauche et 3 vers le bas. De K à N, il fait 1 carreau à droite et 3 vers le haut.
aTrouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{KM} = k\overrightarrow{KL}$. Justifie le signe de $k$ puis sa valeur.
bVrai ou faux : $\overrightarrow{LM} = \frac{5}{2}\overrightarrow{LK}$ ? Justifie avec la relation de Chasles.
cYanis réduit $2(\overrightarrow{KN} - \overrightarrow{KL}) - 3\left(\overrightarrow{KN} - \frac{1}{3}\overrightarrow{KL}\right)$ et trouve $-\overrightarrow{KN} - 3\overrightarrow{KL}$. Trouve son erreur et corrige-la.
dLe point P vérifie $\overrightarrow{KP} = 2\overrightarrow{KN} - \frac{1}{2}\overrightarrow{KL}$. Écris $\overrightarrow{MP}$ en fonction de $\overrightarrow{KL}$ et $\overrightarrow{KN}$, puis place P.
4.Construire un point défini par une égalité vectorielle
À retenir : Je pars de l'origine A de $\overrightarrow{AM}$ et je reporte les vecteurs bout à bout, dans l'ordre ; « − » inverse le sens. Si M est l'origine, je me ramène à $\overrightarrow{AM}$ : $\overrightarrow{MA}=\vec{u}$ donne $\overrightarrow{AM}=-\vec{u}$.
Ex. 22★★★Le robot du quadrillage— Un robot se déplace sur un quadrillage. On a $\overrightarrow{EF}$ : 3 carreaux à droite, 1 vers le haut ; $\overrightarrow{EG}$ : 1 carreau à droite, 3 vers le haut. Réponds en carreaux, puis place le point.
aPlace le point M tel que $\overrightarrow{EM} = 2\overrightarrow{EF}$.
bLe point N vérifie $\overrightarrow{EN} = -\overrightarrow{EG}$. Décris le trajet du robot de E à N, puis place N.
cPlace le point P tel que $\overrightarrow{FP} = \overrightarrow{EG}$.
dConstruis bout à bout le point T tel que $\overrightarrow{ET} = \overrightarrow{EF} - \overrightarrow{EG}$. Où est T par rapport à E ?
eLe robot part de G et s'arrête en R tel que $\overrightarrow{GR} = -2\overrightarrow{EF}$. Où est R par rapport à G ?
fLe robot va de E au point V situé 9 carreaux à droite et 3 au-dessus de E. Trouve le réel $k$ tel que $\overrightarrow{EV} = k\overrightarrow{EF}$.
Ex. 23★★★Des points sur l'écran d'un jeu vidéo— L'écran d'un jeu vidéo est muni d'un repère orthonormé. On donne $A(-2\,;1)$, $B(2\,;3)$ et $C(1\,;-2)$. Calcule les coordonnées du point demandé, puis place-le.
aLe point M tel que $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
bLe point N tel que $\overrightarrow{AN} = -0{,}5\overrightarrow{AB}$.
cLe point P tel que $\overrightarrow{BP} = -\overrightarrow{AC}$.
dLe point Q tel que $\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$.
eLe point R tel que $\overrightarrow{BR} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$. Que remarques-tu ?
Ex. 24★★★La fontaine du parc— Sur le plan d'un parc, R, S et T sont trois kiosques. On a $\overrightarrow{RS}$ : 5 carreaux à droite, 1 vers le bas ; $\overrightarrow{RT}$ : 1 carreau à droite, 3 vers le haut. On veut installer une fontaine au point M tel que $\overrightarrow{MR} + \overrightarrow{MS} = \overrightarrow{RT}$.
aAvec la relation de Chasles, montre que l'égalité s'écrit $2\overrightarrow{MR} + \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RT}$.
bInès en déduit $\overrightarrow{MR} = \frac{1}{2}\overrightarrow{RT} - \frac{1}{2}\overrightarrow{RS}$, puis place M en reportant ce vecteur depuis R. A-t-elle raison ? Justifie.
cExprime $\overrightarrow{RM}$ en fonction de $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$, puis place M en donnant sa position en carreaux par rapport à R.
dVérifie en carreaux que $\overrightarrow{MR} + \overrightarrow{MS} = \overrightarrow{RT}$.
Ex. 25★★★Le vol du drone— Un drone décolle de la base $D(-3\,;-1)$, dans un repère orthonormé (unité 1 cm). On donne $E(1\,;1)$ et $F(-1\,;2)$. Le drone doit rejoindre le point M tel que $\overrightarrow{DM} = \frac{3}{2}\overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF}$.
aConstruis M en traçant des représentants bout à bout sur le quadrillage. Décris ta construction en carreaux.
bCalcule les coordonnées de M pour vérifier ta construction.
cAvec la relation de Chasles, montre que $\overrightarrow{EM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DE} - \overrightarrow{DF}$, puis vérifie-le avec les coordonnées.
dCalcule en valeur exacte $\left\|\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}\right\|$ et $\|-\overrightarrow{DF}\|$.
Ex. 26★★★Le bateau au mouillage— Dans un repère orthonormé (unité 1 cm), on place le port $P(1\,;-1)$, la bouée $B(3\,;1)$ et le phare $F(-3\,;3)$. Le bateau doit mouiller au point M tel que $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PF} - \overrightarrow{PB}$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{PF}$ et de $\overrightarrow{PB}$, puis celles du vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{PF} - \overrightarrow{PB}$.
bDéduis-en les coordonnées de M. Place ensuite M en décrivant ta construction bout à bout depuis P, puis vérifie qu'elle donne le même point.
cLina a recopié l'égalité sous la forme $\overrightarrow{MP} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PF} - \overrightarrow{PB}$ et elle obtient un point M'. Calcule les coordonnées de M'.
dJustifie à l'aide des vecteurs que P est le milieu de [MM'], puis vérifie-le avec les coordonnées.
Ex. 27★★★Les cases de l'échiquier— Sur un échiquier quadrillé, Malo repère trois cases K, L et N. $\overrightarrow{KL}$ : 4 carreaux à droite, 2 vers le haut ; $\overrightarrow{KN}$ : 2 carreaux à droite, 2 vers le bas. Il cherche la case M telle que $\overrightarrow{MK} + 2\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{KN}$.
aAvec la relation de Chasles (en passant par K), décompose $\overrightarrow{ML}$ et montre que l'égalité s'écrit $3\overrightarrow{MK} + 2\overrightarrow{KL} = \overrightarrow{KN}$. Justifie chaque étape.
bDéduis-en $\overrightarrow{KM}$ en fonction de $\overrightarrow{KL}$ et $\overrightarrow{KN}$.
cPlace M en donnant le déplacement en carreaux depuis K. Vérifie en comptant les carreaux que $\overrightarrow{MK} + 2\overrightarrow{ML} = \overrightarrow{KN}$.
dMalo définit la case P par $\overrightarrow{KP} = 2(\overrightarrow{KL} + \overrightarrow{LN}) - \overrightarrow{KN}$. Sans rien tracer, montre que P est confondu avec une case déjà connue.
Ex. 28★★★Les forces sur un objet— Dans un repère orthonormé (unité 1 cm), un objet est placé en $G(-1\,;2)$. Deux forces qui s'exercent sur lui sont représentées par $\overrightarrow{GH}$ et $\overrightarrow{GJ}$, avec $H(3\,;-1)$ et $J(0\,;4)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{GH}$ et de $\overrightarrow{GJ}$, puis celles du point R tel que $\overrightarrow{GR} = \overrightarrow{GH} + \overrightarrow{GJ}$ (force résultante).
bSami affirme : « GHJR est un parallélogramme. » A-t-il raison ? Justifie, puis nomme correctement le parallélogramme formé par ces quatre points.
cLe point T vérifie $\overrightarrow{TG} + \overrightarrow{TR} = \vec{0}$. Calcule ses coordonnées, puis montre que T est aussi le milieu de [HJ].
dUne troisième force est représentée par $\overrightarrow{SH} = 2\overrightarrow{GJ}$. Calcule les coordonnées de son origine S.
5.Coordonnées d’un vecteur
À retenir : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A\,;y_B - y_A)$ : extrémité moins origine, négatifs entre parenthèses. Pour un point inconnu, je pose $(x\,;y)$ et j'écris deux équations. ABCD est un parallélogramme $\iff \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$. Exemple : $\overrightarrow{AB}(2\,;-1)$ ne veut pas dire $B(2\,;-1)$.
Ex. 29★★★Lire des coordonnées sur un quadrillage— Automatismes. Chaque vecteur relie deux nœuds du quadrillage (unité : 1 carreau). On note $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$,$\vec{v} = \overrightarrow{CD}$, $\vec{w} = \overrightarrow{EF}$ et $\vec{t} = \overrightarrow{GH}$.
aLis les coordonnées de $\vec{u}$ sur le quadrillage.
bLis les coordonnées de $\vec{v}$ sur le quadrillage.
cLis les coordonnées de $\vec{w}$ sur le quadrillage.
dLis les coordonnées de $\vec{t}$ sur le quadrillage.
eDéduis-en les coordonnées du vecteur opposé $-\vec{t}$.
Ex. 30★★★Extrémité moins origine— Automatismes. Dans un repère orthonormé, calcule les coordonnées des vecteurs demandés. Écris entre parenthèses les nombres négatifs que tu remplaces.
a$A(2\,;-5)$ et $B(-3\,;1)$ : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$.
bAvec les mêmes points, calcule les coordonnées de $\overrightarrow{BA}$.
c$E(-4\,;-1)$ et $F(-1\,;-6)$ : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
d$R(1{,}5\,;-2)$ et $S(-0{,}5\,;3{,}5)$ : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{RS}$.
e$M\left(\frac{1}{2}\,;\frac{2}{3}\right)$ et $N\left(-\frac{3}{4}\,;\frac{1}{6}\right)$ : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$.
fO est l'origine du repère et $P(-2\,;7)$ : calcule les coordonnées de $\overrightarrow{OP}$ puis celles de $\overrightarrow{PO}$.
Ex. 31★★★Le robot livreur— Un robot se déplace dans un entrepôt muni d'un repère orthonormé (unité : 1 m). Chaque commande est un vecteur : le robot va de son point de départ au point d'arrivée en suivant ce vecteur. On donne $\vec{u}(5\,;-4)$ et $\vec{v}(-3\,;-5)$.
aLe robot part de $K(-2\,;3)$ et suit $\vec{u}$ jusqu'en L. Tom affirme que $L(5\,;-4)$. A-t-il raison ? Justifie, puis donne les coordonnées de L.
bLors d'un autre trajet, le robot suit $\vec{v}$ et arrive en $P(1\,;-2)$. Pose $Q(x\,;y)$ son point de départ et calcule x et y.
cDepuis L, le robot va en Z tel que $\overrightarrow{LZ} = \vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v}$. Calcule les coordonnées de ce vecteur, puis celles de Z.
Ex. 32★★★Le parterre du parc— Sur le plan d'un parc, muni d'un repère orthonormé, un jardinier veut un parterre de fleurs en forme de parallélogramme EFGH, avec $E(-3\,;-2)$, $F(2\,;-1)$ et $G(4\,;3)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$.
bInès écrit : « EFGH parallélogramme $\iff \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{GH}$ » et trouve $H(9\,;4)$. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule les coordonnées de H.
cCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{EH}$ et de $\overrightarrow{FG}$. Que constates-tu ?
dOn place K tel que $\overrightarrow{EK} = \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{EH}$. Calcule les coordonnées de K. Quel point retrouves-tu ?
Ex. 33★★★La trajectoire du drone— Un drone survole un terrain muni d'un repère orthonormé (unité : 10 m). Il passe par les balises $R(-3\,;-1)$, $S(1\,;2)$ et $T(4\,;-2)$.
aCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{RS}$ et de $\overrightarrow{RT}$.
bLe drone doit rejoindre le point M tel que $\overrightarrow{RM} = 2\overrightarrow{RS} - \overrightarrow{RT}$. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{RM}$, puis celles de M.
cLe drone doit aussi passer par $U(4{,}5\,;1{,}5)$. Détermine le réel $k$ tel que $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{RS} + k\overrightarrow{RT}$. Justifie.
dUn second drone part d'un point N inconnu et, en suivant le vecteur $\frac{1}{2}\overrightarrow{RT}$, arrive en S. Détermine les coordonnées de N.
Ex. 34★★★Le bateau et le courant— Une carte marine est munie d'un repère orthonormé (unité : 1 km). Un bateau part du port $P(-3\,;-2)$ et vise le phare $L(5\,;2)$. En une heure, le moteur seul le déplacerait du vecteur $\vec{m}$ et le courant le déplace du vecteur $\vec{c}(1\,;-2)$. Son déplacement réel en une heure est donc $\vec{m} + \vec{c}$.
aOn règle $\vec{m}(2\,;3)$. Calcule les coordonnées de $\vec{m} + \vec{c}$, puis la position du bateau après 1 h.
bAvec ce réglage, calcule la position du bateau après 3 h.
cNoé affirme : « pour arriver en L en 2 h, il suffit de régler $\vec{m}$ sur $\frac{1}{2}\overrightarrow{PL}$ ». A-t-il raison ? Justifie.
dDétermine les coordonnées de $\vec{m}$ qui amène le bateau en L en exactement 2 h.
eOn règle $\vec{m}(a\,;2a)$, où $a$ est un réel. Existe-t-il $a$ tel que le bateau arrive en L en 1 h ? Justifie.
Ex. 35★★★Le quatrième coffre— Dans un jeu vidéo, la carte est munie d'un repère orthonormé. Trois coffres sont placés en $A(-2\,;1)$, $B(3\,;2)$ et $C(1\,;-2)$. Un quatrième coffre doit former un parallélogramme avec eux, mais le jeu ne précise pas l'ordre des sommets.
aCite la propriété qui caractérise le parallélogramme ABCD par une égalité de vecteurs, puis détermine les coordonnées de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
bDétermine les coordonnées du point E tel que ABEC soit un parallélogramme. Cite la propriété utilisée.
cDétermine les coordonnées du point F tel que AFBC soit un parallélogramme.
dCalcule les coordonnées de $\overrightarrow{DA}$ et de $\overrightarrow{AF}$. Que peux-tu en déduire pour le point A ? Justifie.
6.Norme d’un vecteur
À retenir : En base orthonormée : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2+y^2}$,$AB = \|\overrightarrow{AB}\|$,$\|k\vec{u}\| = |k| \times \|\vec{u}\|$. Ex. : $\vec{u}(-1\,;2)$,$\|\vec{u}\| = \sqrt{5}$. Pièges : $(-1)^2 = 1$ ; $\sqrt{a^2+b^2} \neq a+b$ ; on compare les carrés exacts.
Ex. 36★★★Calculer une norme en valeur exacte— Dans une base orthonormée, calcule la norme de chaque vecteur en valeur exacte simplifiée.
f$\vec{r}(-3\,;5)$, puis donne une valeur arrondie au centième.
g$\overrightarrow{KL}$ avec $K(-1\,;2)$ et $L(1\,;-4)$.
Ex. 37★★★Propriétés de la norme : les réflexes— Dans une base orthonormée, $\vec{u}(2\,;-2)$ et $\vec{v}(-1\,;3)$, représentés par $\vec{u} = \overrightarrow{OP}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OQ}$ avec $P(2\,;-2)$ et $Q(-1\,;3)$.
aCalcule $\|\vec{u}\|$ en valeur exacte simplifiée, puis $\|-4\vec{u}\|$ sans calculer les coordonnées de $-4\vec{u}$.
bTrouve tous les réels $k$ tels que $\|k\vec{u}\| = 10\sqrt{2}$.
cTom écrit, pour $\vec{w}(-4\,;5)$ : $\|\vec{w}\| = \sqrt{(-4)^2 + 5^2} = -4 + 5 = 1$. Corrige son erreur.
dCalcule $\|\vec{u} + \vec{v}\|$, puis compare-la à $\|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$.
eSans calculatrice, compare $\|\vec{v}\|$ et $3$.
fTrouve tous les réels $y$ tels que le vecteur $\vec{m}(2\,;y)$ ait pour norme $\sqrt{53}$.
Ex. 38★★★Trois bases dans un jeu vidéo— Dans un jeu vidéo, trois bases sont repérées sur la carte, munie d'un repère orthonormé : $R(-2\,;1)$, $S(1\,;-1)$ et $T(4\,;1)$.
aCalcule $RS$, $ST$ et $RT$ en valeur exacte.
bQuelle est la nature du triangle $RST$ ? Justifie.
cLe triangle $RST$ est-il rectangle ? Justifie sans utiliser de valeur arrondie.
dCalcule le périmètre du triangle $RST$ en valeur exacte, puis arrondi au dixième.
Ex. 39★★★Le drone et sa zone de vol— Un drone doit rester dans un disque centré sur sa base $C(-1\,;1)$. Il décolle du point $A(3\,;3)$, situé sur le cercle de centre $C$ qui borde cette zone. Repère orthonormé, unité : 100 m.
aCalcule le rayon $CA$ du cercle en valeur exacte simplifiée.
bLe point $D(-3\,;-3)$ est-il sur le cercle ? Justifie.
cSans calculatrice, dis si le point $E(3\,;-1{,}5)$ est à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle.
dLe drone vole en ligne droite de $A$ à $D$. Calcule $AD$ en valeur exacte, puis donne la distance parcourue au mètre près.
ePaul affirme : « $CA = CD$, donc le triangle $ACD$ est équilatéral. » A-t-il raison ? Justifie.
Ex. 40★★★Course d'orientation : l'erreur de Léo— Lors d'une course d'orientation, trois balises sont placées dans un repère orthonormé en $E(-3\,;-1)$, $F(1\,;-4)$ et $G(4\,;0)$. Léo calcule les longueurs des côtés du triangle $EFG$.
aLéo écrit : $EF = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$. Repère son erreur, puis calcule $EF$ correctement.
bPour $FG$, Léo écrit : $FG = \sqrt{3^2 + 4^2} = 3 + 4 = 7$. A-t-il raison ? Justifie.
cCalcule $EG$ en valeur exacte simplifiée, puis donne une valeur approchée au centième.
dDémontre que le triangle $EFG$ est rectangle et isocèle, en précisant le sommet de l'angle droit.
eLéo écrit aussi : « $7{,}07^2 = 49{,}9849 \neq 50$, donc $EFG$ n'est pas rectangle. » Explique son erreur.
Ex. 41★★★Bateau et courant : le capitaine se trompe-t-il ?— Dans une base orthonormée (unité : 1 nœud), la vitesse propre d'un bateau est $\vec{v}(4\,;-1)$ et celle du courant est $\vec{c}(-1\,;4)$. La vitesse réelle du bateau est $\vec{v} + \vec{c}$. Sur la figure, $\vec{v} = \overrightarrow{OV}$ et $\vec{c} = \overrightarrow{OK}$, avec $V(4\,;-1)$ et $K(-1\,;4)$.
aCalcule $\|\vec{v}\|$ et $\|\vec{c}\|$ en valeur exacte.
bCalcule les coordonnées de $\vec{v} + \vec{c}$, puis sa norme en valeur exacte simplifiée et arrondie au dixième.
cLe capitaine affirme : « la vitesse réelle vaut $\|\vec{v}\| + \|\vec{c}\|$ ». Vrai ou faux ? Justifie sans calculatrice.
dÀ marée descendante, le courant devient $-2\vec{c}$. Calcule $\|-2\vec{c}\|$ sans calculer ses coordonnées, puis vérifie avec ses coordonnées.
eJade affirme : « la formule $\sqrt{x^2 + y^2}$ marche dans n'importe quel repère ». Vrai ou faux ? Justifie à l'aide de la démonstration du cours.
Ex. 42★★★Le plan du parc et le jet d'eau— Le plan d'un parc est muni d'un repère orthonormé (unité : 10 m). Trois bancs sont placés en $A(-2\,;-1)$, $B(-1\,;4)$ et $C(3\,;1)$.
aCalcule $AB$, $AC$ et $BC$ en valeur exacte, en unités du repère.
bSam mesure les côtés sur le plan, les arrondit à l'unité et affirme que $ABC$ est équilatéral. A-t-il raison ? Justifie.
cUn jet d'eau arrose le disque de centre $C$ et de rayon 5. Le banc $B$ est-il sur le bord du disque ? Le banc $A$ est-il arrosé ? Justifie.
dSans calculatrice, détermine si une poubelle placée en $P(6{,}5\,;-2{,}5)$ est arrosée.
eCalcule la longueur réelle de l'allée droite $[AC]$ en mètres, en valeur exacte puis arrondie au décimètre.
7.Caractérisation vectorielle du milieu
À retenir : I milieu de [AB] $\iff \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0} \iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ (et non $\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}$).$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$. Milieu : moyenne des coordonnées, ex. $(-2\,;5)$ et $(4\,;1)$ donnent $(1\,;3)$.
Ex. 43★★★Automatismes : le milieu en vecteurs— Sur le quadrillage, S est à 6 carreaux à droite et 2 vers le haut de R, et P est à 2 carreaux à droite et 4 vers le haut de R. T est le milieu de [RS].
fDonne le déplacement en carreaux qui correspond à $\overrightarrow{RT}$.
gInès affirme : « $\overrightarrow{TR} = \overrightarrow{TS}$ car TR = TS. » A-t-elle raison ? Justifie.
Ex. 44★★★Automatismes : coordonnées du milieu— Tous les points sont donnés dans un repère orthonormé.
aCalcule les coordonnées du milieu de [AB], avec $A(2\,;-6)$ et $B(8\,;4)$.
bAvec $E(-3\,;5)$ et $F(-7\,;-2)$, I est le milieu de [EF]. Calcule les coordonnées de $\overrightarrow{EI}$.
cVrai ou faux : avec $G\left(\frac{1}{2}\,;-3\right)$ et $H\left(\frac{5}{2}\,;\frac{1}{3}\right)$, le milieu de [GH] est $\left(\frac{3}{2}\,;-\frac{1}{3}\right)$. Justifie.
dCalcule les coordonnées du milieu de [KL], avec $K(-1{,}4\,;0{,}6)$ et $L(3\,;-2{,}2)$.
ePour le milieu de [UV], avec $U(-2\,;3)$ et $V(6\,;-5)$, Hugo écrit $\left(\frac{6-(-2)}{2}\,;\frac{-5-3}{2}\right) = (4\,;-4)$. Corrige son erreur.
Ex. 45★★★Plan d'un parc : la quatrième fontaine— Sur le plan d'un parc, dans un repère orthonormé, trois fontaines sont placées en $E(-4\,;1)$, $F(3\,;2)$ et $G(5\,;-3)$. On veut placer une quatrième fontaine K pour que EFGK soit un parallélogramme.
aCalcule les coordonnées du milieu Ω de [EG].
bQue représente Ω pour le segment [FK] ? Justifie en citant la propriété.
cDéduis-en les coordonnées de K.
dContrôle ton résultat en calculant les coordonnées de $\overrightarrow{EF}$ et de $\overrightarrow{KG}$.
Ex. 46★★★Deux forces sur un objet— Un objet M est tiré par deux élastiques, modélisés par $\overrightarrow{MA}$ et $\overrightarrow{MB}$. En carreaux, $\overrightarrow{MA}$ correspond à 0 à droite et 5 vers le haut, et $\overrightarrow{MB}$ à 6 à droite et 1 vers le haut. I est le milieu de [AB].
aDonne le déplacement en carreaux qui correspond à $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$.
bPlace I, puis donne le déplacement en carreaux de $\overrightarrow{MI}$.
cNora affirme : « La force totale $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$ est égale à $\overrightarrow{MI}$. » A-t-elle raison ? Justifie.
dN est le point tel que $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}$. Démontre que I est le milieu de [MN].
Ex. 47★★★La zone d'un robot tondeuse— Dans un repère orthonormé, un robot tondeuse délimite une zone RSTU avec $R(-3\,;-2)$,$S(5\,;-1)$, $T(6\,;3)$ et $U(-2\,;2)$.
aCalcule les coordonnées du milieu Ω de [RT], puis celles du milieu de [SU].
bDéduis-en la nature de RSTU. Justifie en citant la propriété.
cT′ est le symétrique de T par rapport à S. Chloé écrit $x_{T'} = 2x_T - x_S = 7$. A-t-elle raison ? Justifie, puis calcule les coordonnées de T′.
dSans utiliser de coordonnées, démontre que $\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{T'S}$.
Ex. 48★★★Le centre caché d'un jeu vidéo— Dans un jeu vidéo, quatre tours forment un parallélogramme EFGH de centre O (O n'est pas affiché). Sur le quadrillage, depuis E : F est à 6 carreaux à droite et 1 vers le haut, G à 8 à droite et 5 vers le haut, H à 2 à droite et 4 vers le haut. Un joueur M est à 1 carreau à droite et 6 vers le haut de E.
aLucas écrit : « O est le centre, donc $\overrightarrow{OE} = \overrightarrow{OG}$ et $\overrightarrow{OF} = \overrightarrow{OH}$ ». Corrige son erreur et écris les bonnes égalités.
bDémontre avec la relation de Chasles que $\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{MO}$, puis que $\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{MF} + \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{MH} = 4\overrightarrow{MO}$.
cLis en carreaux les vecteurs $\overrightarrow{ME}$,$\overrightarrow{MF}$,$\overrightarrow{MG}$,$\overrightarrow{MH}$, puis calcule leur somme.
dDéduis-en le vecteur $\overrightarrow{MO}$, puis la position de O par rapport à E, en carreaux.
eContrôle : en prenant E comme origine et le carreau comme unité, calcule les coordonnées du milieu de [FH].
Ex. 49★★★La balise du drone— Dans un repère orthonormé (unité 1 km), un drone relie le dépôt $A(-4\,;-1)$ au client $B(2\,;3)$. Une balise est placée en $J(-3\,;4)$.
aCalcule JA et JB en valeur exacte. Maël en conclut que J est le milieu de [AB]. A-t-il raison ? Justifie avec des vecteurs.
bCalcule les coordonnées du milieu I de [AB].
cLe point K vérifie $\overrightarrow{BK} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BJ}$. Que représente K pour le segment [BJ] ? Calcule ses coordonnées.
dL est le symétrique de J par rapport à I. Calcule les coordonnées de L.