Terminale spécialité / Variables aléatoires

Ex. 1★★★Le retard du bus — Le retard $X$, en minutes, du bus à l'arrêt du lycée suit la loi ci-dessous. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $P(X \geqslant 4)$.
2. bCalcule $E(X)$.
3. cLe bus peut-il avoir exactement ce retard moyen lors d'un trajet ? Justifie.
4. dCalcule $E(X^2)$.
5. eDéduis-en $V(X)$.
6. fCalcule $\sigma(X)$ et précise son unité.

Ex. 2★★★Compléter une loi — Les variables $Y$, $Z$, $T$ et $W$ sont étudiées séparément.

1. a$Y$ prend les valeurs $-3$, $1$ et $2$ avec les probabilités $0{,}15$ ; $0{,}6$ et $p$. Calcule $p$.
2. bAvec la loi de $Y$ complétée, calcule $E(Y)$.
3. c$Z$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$, $3$ avec les probabilités $a$, $2a$, $3a$, $4a$. Calcule $a$.
4. dAvec la loi de $Z$, calcule $E(Z)$ puis $V(Z)$.
5. ePour $T$ de valeurs $1$, $2$, $3$, Malo propose les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}4$ ; $0{,}2$. Est-ce une loi de probabilité ? Justifie.
6. f$W$ prend les valeurs $-1$ et $4$, avec $P(W = 4) = q$ et $E(W) = 0$. Calcule $q$.

Ex. 3★★★Le dé de la kermesse — À la kermesse, Lina mise 3 € puis lance un dé équilibré à six faces. Avec un 6, elle reçoit 10 € ; avec un 4 ou un 5, elle reçoit 3 € ; sinon, rien. On note $G$ son gain algébrique, en euros.

1. aDonne les valeurs prises par $G$, en expliquant le rôle de la mise.
2. bDonne la loi de $G$ sous forme de tableau.
3. cCalcule $E(G)$, puis interprète le résultat.
4. dL'organisateur remplace les 10 € du 6 par une somme $s$, le reste étant inchangé. Trouve $s$ pour que le jeu soit équitable.

Ex. 4★★★Deux lancers francs — Noé tire deux lancers francs. Il réussit le premier avec la probabilité $0{,}8$. S'il l'a réussi, il réussit le second avec la probabilité $0{,}9$ ; sinon, avec la probabilité $0{,}6$. $X$ est le nombre de paniers réussis. Arrondis au centième si besoin.

1. aDétermine la loi de $X$.
2. bCalcule $E(X)$.
3. cCalcule $E(X^2)$, puis compare-la à $E(X)^2$. Que peux-tu en conclure ?
4. dRayan écrit $V(X) = E(X^2) - E(X)$. Explique son erreur, puis calcule $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Ex. 5★★★La mise juste du jeu des jetons — Une urne contient 2 jetons dorés et 4 jetons argentés. Yanis paie une mise de $a$ euros, puis tire successivement et sans remise deux jetons. Avec deux jetons dorés, il reçoit 15 € ; avec un seul, il reçoit 3 € ; sinon, rien. On note $N$ le nombre de jetons dorés tirés et $G$ le gain algébrique de Yanis, en euros.

1. aDécris en mots l'arbre de l'expérience, puis détermine la loi de $N$.
2. bDonne les valeurs prises par $G$ en fonction de $a$, puis exprime $E(G)$ en fonction de $a$.
3. cPour quelle mise le jeu est-il équitable ? Yanis en déduit qu'il ne gagne ni ne perd jamais rien. A-t-il raison ? Justifie.
4. dAvec la mise trouvée à la question précédente, calcule $V(G)$ puis $\sigma(G)$, arrondi au centième, en précisant l'unité.
5. eL'organisateur veut gagner en moyenne $0{,}40$ € par partie. Quelle mise doit-il fixer ? Justifie.

Ex. 6★★★Les points au tir à l'arc — Au stand de tir à l'arc, Sacha marque $X$ points par volée (un tir raté hors cible coûte 2 points). La loi de $X$ est donnée ci-dessous, avec $a$ et $b$ deux réels positifs. On sait que $E(X) = 0{,}9$.

1. aÉcris deux équations vérifiées par $a$ et $b$, puis calcule $a$ et $b$.
2. bCalcule $V(X)$ avec la définition $V(X) = E\big((X - 0{,}9)^2\big)$, puis $\sigma(X)$ arrondi au centième, en précisant l'unité.
3. cNouvelle règle : chaque point compte double et chaque volée rapporte un point de bonus. Élise affirme que la variance du nouveau score vaut $2V(X) + 1$. A-t-elle raison ? Justifie, puis donne l'écart type du nouveau score.
4. dAvec un autre arc, le score de Sacha a encore pour espérance $0{,}9$ point, mais un écart type de $1{,}2$ point. Avec quel arc ses scores sont-ils les plus réguliers ? Justifie.

Ex. 7★★★Le quiz d'Inès — Inès répond à un quiz de trois questions. Elle répond juste à la 1re, à la 2e et à la 3e question avec les probabilités respectives $0{,}9$ ; $0{,}6$ et $0{,}5$, de façon indépendante. On note $N$ le nombre de bonnes réponses. Une bonne réponse rapporte 3 points, une mauvaise en retire 1.

1. aÉcris $N$ comme une somme de trois variables qui valent 1 ou 0, puis calcule $E(N)$ par linéarité.
2. bEn décrivant les chemins de l'arbre, détermine la loi de $N$.
3. cCalcule $E(N^2)$, puis $V(N)$ et $\sigma(N)$ arrondi au centième.
4. dExprime le score $S$ d'Inès en fonction de $N$, puis calcule $E(S)$ et $\sigma(S)$, arrondi au centième.

Ex. 8★★★Automatismes : transformer une variable — La variable aléatoire $X$ suit la loi ci-dessous.

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $E(4X + 3)$ sans écrire la loi de $4X + 3$.
3. cCalcule $E(5 - 2X)$.
4. dCalcule $E(X^2)$.
5. eLina écrit « $E(X^2) = E(X)^2$ ». Compare les deux nombres et explique son erreur.
6. fDéduis-en $V(X)$.

Ex. 9★★★Automatismes : sommes et différences — $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur le même univers, avec $E(X) = 3{,}5$ et $E(Y) = -1{,}2$. On ne sait pas si elles sont indépendantes.

1. aCalcule $E(X - Y)$.
2. bCalcule $E(2X - 3Y + 1)$.
3. cVrai ou faux : « On ignore si $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc on ne peut pas calculer $E(X + Y)$. » Justifie.
4. dDétermine le réel $a$ tel que $E(aX + 7Y) = 0$.

Ex. 10★★★Roue et pièce truquée — Jade fait tourner une roue qui donne $X$ points, puis lance une pièce truquée qui donne $Y$ points. Les deux expériences sont indépendantes. On note $S = X + Y$.

1. aDresse un tableau à double entrée qui donne, pour chaque couple $(x_i\,;y_j)$, la valeur de $S$ et sa probabilité.
2. bDéduis-en la loi de $S$.
3. cCalcule $E(S)$ à partir de la loi de $S$.
4. dCalcule $E(X)$ et $E(Y)$, puis vérifie ton résultat précédent par linéarité.
5. eJade gagne un lot si $S \geqslant 4$. Calcule la probabilité qu'elle gagne un lot.

Ex. 11★★★Escape game en trois épreuves — L'équipe de Sarah enchaîne les trois épreuves d'un escape game. Elle réussit les épreuves 1, 2 et 3 avec les probabilités respectives $0{,}9$ ; $0{,}6$ et $0{,}35$, mais ces réussites ne sont pas indépendantes (la fatigue joue). La partie coûte $12$ € et chaque épreuve réussie rapporte $5$ €. On note $N$ le nombre d'épreuves réussies et $G = 5N - 12$ le gain en euros.

1. aPour $i = 1, 2, 3$, on pose $X_i = 1$ si l'épreuve $i$ est réussie et $X_i = 0$ sinon. Exprime $N$ à l'aide des $X_i$ et donne $E(X_i)$.
2. bJustifie qu'on peut calculer $E(N)$ malgré la dépendance, puis calcule-la.
3. cCalcule $E(G)$ et interprète le résultat.
4. dL'équipe joue $6$ parties, avec les mêmes probabilités à chaque fois. Calcule l'espérance de son gain total.

Ex. 12★★★Échange de cadeaux entre amis — Inès et quatre amis apportent chacun un cadeau. On mélange les cinq cadeaux, puis on les redistribue au hasard, un par personne. Toutes les répartitions sont équiprobables. On note $N$ le nombre de personnes qui récupèrent leur propre cadeau.

1. aPour $i$ allant de 1 à 5, on pose $X_i = 1$ si la personne $i$ récupère son propre cadeau, et $X_i = 0$ sinon. Calcule $P(X_i = 1)$.
2. bExprime $N$ à l'aide des $X_i$, puis calcule $E(N)$ sans chercher la loi de $N$. Interprète le résultat.
3. cHugo affirme : « Les $X_i$ ne sont pas indépendantes, donc ce calcul de $E(N)$ est faux. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dLe même échange a lieu avec $n$ personnes ($n \geqslant 2$). Calcule l'espérance du nombre de personnes qui récupèrent leur propre cadeau.
5. eExplique pourquoi $P(N = 4) = 0$. Déduis-en que $N$ ne suit pas la loi $\mathcal{B}\left(5\,;\frac{1}{5}\right)$, même si elle a la même espérance.

Ex. 13★★★Stand de fléchettes — À un stand de fléchettes, Malo marque $X$ points par partie. La loi de $X$ est donnée ci-dessous. Le stand paie $1{,}50$ € par point marqué, et une partie coûte $4$ €. On note $G$ le gain algébrique de Malo sur une partie (en euros).

1. aCalcule $E(X)$.
2. bExprime $G$ en fonction de $X$, puis calcule $E(G)$ sans écrire la loi de $G$. Interprète.
3. cQuelle mise $m$ (en euros) faudrait-il demander pour que le jeu soit équitable ? Justifie.
4. dAvec une mise de 4 €, Malo joue 20 parties. On note $T$ son gain total. Calcule $E(T)$ en justifiant.
5. eUn second stand paie $0{,}30 \times X^2$ euros (même $X$) pour une mise de $3{,}50$ €. Léo prend $0{,}30 \times E(X)^2 - 3{,}50$ comme gain moyen. Corrige-le et conclus.

Ex. 14★★★Deux jetons tirés sans remise — Une urne contient quatre jetons numérotés 1, 2, 3 et 4. Noé tire un jeton au hasard, le garde, puis tire un second jeton. On note $X$ le numéro du premier jeton, $Y$ celui du second, et $S = X + Y$. Les 12 couples $(x\,;y)$ possibles sont équiprobables.

1. aDresse un tableau à double entrée qui donne $S$ pour chaque couple $(x\,;y)$. Déduis-en la loi de $S$.
2. bCalcule $E(S)$ à l'aide de la loi de $S$.
3. cDétermine les lois de $X$ et de $Y$, puis vérifie que $E(S) = E(X) + E(Y)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ? Commente.
4. dNoé reçoit $X - Y$ euros (s'il obtient un nombre négatif, il paie). Ce jeu est-il équitable ? Justifie sans chercher la loi de $X - Y$.
5. eCalcule $V(X)$ et $V(S)$. Compare $V(S)$ à $V(X) + V(Y)$ et explique la différence.

Ex. 15★★★Transformations affines en ligne — Une variable aléatoire $X$ vérifie $E(X) = -1{,}5$ et $V(X) = 2{,}25$. Calcule directement.

Ex. 16★★★Retrouver une variance ou un écart type — Calcule directement chaque valeur demandée.

1. aOn sait que $\sigma(X) = 3$. Calcule $V(5X - 2)$.
2. bOn sait que $\sigma(X) = 3$. Calcule $\sigma(-X + 4)$.
3. cOn sait que $V(Y) = 0{,}16$. Calcule $\sigma(10Y)$.
4. dOn sait que $V(2Z) = 36$. Calcule $V(Z)$.
5. eAvec la même variable $Z$, calcule $\sigma(-3Z + 1)$.
6. fOn sait de plus que $E(Z) = 4$. Calcule $E(-3Z + 1)$.

Ex. 17★★★Le gain aux fléchettes — Noé paie $3$ € pour lancer deux fléchettes et reçoit $5$ € par cible touchée. On note $X$ le nombre de cibles touchées :

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $V(X)$ avec la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
3. cCalcule $E(G)$ et interprète le résultat pour Noé.
4. dLéa écrit : « $V(G) = 5 \times V(X) - 3$ ». Repère son erreur, puis calcule $V(G)$ et $\sigma(G)$
   (arrondi au centime).

Ex. 18★★★Des euros aux dollars — Le montant $X$, en euros, dépensé par un client d'une agence de voyages vérifie $E(X) = 80$ et $\sigma(X) = 12$. Pour un client américain, l'agence affiche le montant en dollars, frais compris : $Z = 1{,}15X + 6$.

1. aCalcule $E(Z)$.
2. bCalcule $\sigma(Z)$, puis $V(Z)$.
3. cVrai ou faux : « Si les frais passent de $6$ à $10$ dollars, l'écart type de $Z$ augmente de $4$. » Justifie.
4. dDéduis-en $E(Z^2)$ à l'aide de $V(Z) = E(Z^2) - E(Z)^2$. Est-ce égal à $E(Z)^2$ ? Justifie.

Ex. 19★★★Harmoniser les notes d'un quiz — Ben fait passer un quiz noté sur $10$. La note $X$ d'un élève pris au hasard suit cette loi :

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $V(X)$ avec la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$, puis $\sigma(X)$.
3. cDétermine $a$ et $b$. Justifie chaque étape.
4. dPourquoi Ben impose-t-il $a > 0$ ? Détermine $a$ et $b$ si l'on prend $a < 0$, puis la note transformée d'un élève qui avait $4$ et d'un élève qui avait $10$. Conclus.

Ex. 20★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, Inès paie $m$ euros pour faire tourner une roue. Chaque case affiche de $0$ à $3$ étoiles, et elle reçoit $4$ € par étoile de la case obtenue. On note $X$ ce nombre d'étoiles et $G$ son gain algébrique, en euros :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bExprime $G$ en fonction de $X$ et de $m$. Détermine $m$ pour que le jeu soit équitable.
3. cCalcule $V(G)$ et $\sigma(G)$ arrondi au centime. Explique pourquoi ces résultats ne dépendent pas de $m$.
4. dLe forain fixe $m = 5$. Son bénéfice par partie est $B = -G$. Hugo écrit $\sigma(B) = -4\,\sigma(X)$. Corrige-le, puis calcule $E(B)$ et $\sigma(B)$.

Ex. 21★★★Deux devis de plombier — Sacha compare deux plombiers. La durée $X$ d'une intervention, en minutes, suit cette loi :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bDéduis-en $E(H)$, $V(H)$ et $\sigma(H)$ arrondi au centième. Cite la propriété utilisée.
3. cExprime le prix $P_A$ en fonction de $H$. Calcule $E(P_A)$ et $\sigma(P_A)$ arrondi au centime. Le forfait change-t-il la dispersion ? Justifie.
4. dCalcule $E(P_B)$ et $\sigma(P_B)$. Quel tarif conseilles-tu à Sacha ? Argumente avec ces deux indicateurs.

Ex. 22★★★Automatismes : deux capteurs indépendants — Deux capteurs d'une serre fonctionnent indépendamment l'un de l'autre. On note $X$ et $Y$ leurs erreurs de mesure (en dixièmes de degré), avec $E(X) = 4$, $V(X) = 5$, $E(Y) = -2$ et $V(Y) = 11$. Arrondis au millième si besoin.

1. aCalcule $E(X + Y)$.
2. bCalcule $V(X + Y)$ en citant la propriété utilisée.
3. cCalcule $\sigma(X + Y)$, puis $\sigma(X) + \sigma(Y)$. Ces deux nombres sont-ils égaux ?
4. dVrai ou faux : « $V(X - Y) = V(Y) - V(X)$ ». Justifie.
5. eCalcule $V(2X + 3Y)$.
6. fCalcule $E(2X - 3Y + 1)$.
7. gCalcule $\sigma(3X - Y + 7)$.

Ex. 23★★★Automatismes : deux lancers ou un lancer doublé ? — Une roue de fête foraine affiche un nombre de points $X$ dont la loi est :

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $V(X)$.
3. cCalcule $E(S)$ et $E(T)$.
4. dCalcule $V(S)$.
5. eCalcule $V(T)$.
6. fCalcule $\sigma(S)$ et $\sigma(T)$. Quel score est le plus dispersé ?

Ex. 24★★★Assemblage de pièces : deux erreurs à corriger — Une tige est formée de deux pièces fabriquées par deux machines distinctes qui fonctionnent indépendamment. Leurs longueurs $L_1$ et $L_2$ (en mm) vérifient $E(L_1) = 50$, $\sigma(L_1) = 0{,}3$, $E(L_2) = 30$ et $\sigma(L_2) = 0{,}4$. La tige mesure $L = L_1 + L_2$.

1. aJustifie que $L_1$ et $L_2$ sont indépendantes, puis calcule $E(L)$ et $V(L)$.
2. bTom écrit : « $\sigma(L) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$ mm ». A-t-il raison ? Justifie et corrige si besoin.
3. cOn note $D = L_1 - L_2$ l'écart de longueur entre les deux pièces. Léa écrit $V(D) = V(L_1) - V(L_2)$. Calcule ce qu'elle obtient, explique son erreur, puis donne $E(D)$ et $\sigma(D)$.

Ex. 25★★★Vrai ou faux : quand la formule s'applique-t-elle ? — À un jeu de cartes, le gain $X$ (en euros) d'une partie suit la loi :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bAffirmation 1 : « Si $Y = X$ (on compte deux fois la même partie), alors $V(X + Y) = V(X) + V(Y)$. » Vrai ou faux ? Justifie.
3. cAffirmation 2 : « Pour deux parties indépendantes de gains $X_1$ et $X_2$, $\sigma(X_1 - X_2) = 0$. » Vrai ou faux ? Justifie.
4. dAffirmation 3 : « Pour deux parties indépendantes, $\sigma(X_1 + X_2) = 2\sigma(X)$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 26★★★Duel de fléchettes : l'écart de score — Inès et Malo lancent chacun une fléchette, sans s'influencer. Le score $X$ d'Inès et le score $Y$ de Malo suivent les lois :

1. aCalcule $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.
2. bJustifie que $X$ et $Y$ sont indépendantes, puis calcule $E(D)$, $V(D)$ et $\sigma(D)$.
3. cConstruis le tableau à double entrée des valeurs de $D$ et de leurs probabilités, déduis-en la loi de $D$, puis retrouve $E(D)$ et $V(D)$.
4. dInès gagne la manche lorsque $D > 0$. Calcule la probabilité $p$ qu'elle gagne une manche, puis compare avec le signe de $E(D)$.
5. eIls jouent 20 manches indépendantes ; $N$ est le nombre de manches gagnées par Inès. Écris $N$ comme une somme de variables de Bernoulli, puis calcule $E(N)$ et $\sigma(N)$.

Ex. 27★★★Le stand de Léna : bénéfice d'un jour, d'une semaine — Chaque jour de marché, Léna vend $X$ bracelets et $Y$ colliers à deux clientèles distinctes : les ventes sont indépendantes. On a $E(X) = 12$, $\sigma(X) = 3$, $E(Y) = 6$ et $\sigma(Y) = 2$. Son bénéfice du jour (en euros), frais de stand déduits, est $B = 2X + 3Y - 5$. Arrondis au centime.

1. aCalcule $E(B)$ en citant la propriété utilisée.
2. bCalcule $V(B)$, puis $\sigma(B)$ (valeur exacte puis arrondie). Justifie chaque étape.
3. cLéna envisage un autre prix pour les colliers : son bénéfice serait $B' = 2X + kY - 5$. Détermine $k$ pour que $E(B') = 49$, puis calcule $\sigma(B')$.
4. dOn revient au bénéfice $B$. Sur 5 jours de marché indépendants, on note $T$ la somme des 5 bénéfices. Calcule $E(T)$ et $\sigma(T)$.
5. eLéna estime son bénéfice de la semaine par $5B$ (un seul jour multiplié par 5). Calcule $\sigma(5B)$ et explique l'écart avec $\sigma(T)$.

Ex. 28★★★Jeu de grattage : rendre le jeu équitable — À un jeu de grattage, le gain net $X$ (en euros) d'une partie suit la loi :

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bZoé joue deux parties ; $X_1$ et $X_2$ sont ses gains. Justifie leur indépendance, puis calcule l'espérance et l'écart type de $G = X_1 + X_2$.
3. cSami additionne les gains de Zoé et de Yanis sur une même partie et écrit : « $V(X + (-X)) = V(X) + V(-X)$ ». Explique son erreur.
4. dL'organisateur retire $c$ euros au gain de chaque partie : le gain devient $X - c$. Détermine $c$ pour que le jeu soit équitable, puis donne $V(X - c)$.
5. eZoé joue $n$ parties indépendantes de ce jeu équitable ; $M_n$ est son gain moyen. Détermine le plus petit $n$ tel que $\sigma(M_n) \leqslant 0{,}2$.

Ex. 29★★★Automatismes : total ou moyenne ? — Les répétitions sont indépendantes et de même loi. Appels : la durée $X$ d'un appel vérifie $E(X) = 6$ min et $V(X) = 9$. Pommes : la masse $Y$ d'une pomme vérifie $E(Y) = 180$ g et $\sigma(Y) = 12$ g.

1. aCalcule l'espérance et la variance de la durée totale $S_{40}$ de $40$ appels.
2. bCalcule l'espérance et la variance de la durée moyenne $M_{40}$ de $40$ appels.
3. cCalcule la variance de la masse totale $T_{16}$ de $16$ pommes.
4. dCalcule l'écart type de la masse totale $T_{16}$ de $16$ pommes.
5. eCalcule l'écart type de la masse moyenne d'une pomme sur un lot de $16$ pommes.
6. fUne action varie chaque jour de $G$ € avec $E(G) = -0{,}30$ et $\sigma(G) = 2{,}5$. Calcule l'espérance et l'écart type de sa variation totale sur $64$ jours.

Ex. 30★★★Automatismes : d'une fléchette à cinquante — Le score $X$ d'une fléchette lancée par Inès suit la loi ci-dessous. Inès lance $50$ fléchettes de façon indépendante ; $S_{50}$ est son score total et $M_{50}$ son score moyen. Arrondis à $0{,}01$ près si besoin.

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $V(X)$.
3. cCalcule $E(S_{50})$ et $V(S_{50})$.
4. dCalcule $\sigma(S_{50})$.
5. eCalcule $E(M_{50})$ et $V(M_{50})$.
6. fCalcule $\sigma(X)$ et $\sigma(M_{50})$.

Ex. 31★★★L'erreur de Lina sur les baguettes — La masse $X$ d'une baguette vérifie $E(X) = 250$ g et $\sigma(X) = 6$ g ; les baguettes sont produites indépendamment. Un lot contient $36$ baguettes, de masse totale $S_{36}$. Lina écrit : « $E(S_{36}) = 36 \times 250 = 9\,000$ g et $\sigma(S_{36}) = 36 \times 6 = 216$ g ».

1. aLina a-t-elle raison pour $E(S_{36})$ ? Justifie en citant la propriété utilisée.
2. bLina a-t-elle raison pour $\sigma(S_{36})$ ? Justifie, puis corrige.
3. cCalcule l'écart type de la masse moyenne $M_{36}$ des $36$ baguettes, compare-le à $\sigma(X)$ et interprète.

Ex. 32★★★Note moyenne d'un concours — À un concours, la note $X$ d'une copie prise au hasard vérifie $E(X) = 11{,}5$ et $\sigma(X) = 3$. Un correcteur prélève $n$ copies ; leurs notes sont indépendantes et de même loi que $X$. On note $S_n$ le total des notes et $M_n = \frac{S_n}{n}$ la note moyenne.

1. aPour $n = 9$, calcule $E(M_9)$ et $\sigma(M_9)$.
2. bDétermine le plus petit entier $n$ tel que $\sigma(M_n) \leqslant 0{,}1$.
3. cNoé affirme : « Pour diviser $\sigma(M_n)$ par $2$, il suffit de doubler $n$. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dPour la valeur de $n$ trouvée à la question b), calcule $\sigma(S_n)$, compare-le à $\sigma(M_n)$ et interprète.

Ex. 33★★★La roue de la kermesse — À la kermesse, Yanis joue à la roue. Son gain algébrique $X$, en euros, suit la loi ci-dessous. Les parties sont indépendantes. Sur $n$ parties, $S_n$ est le gain total et $M_n = \frac{S_n}{n}$ le gain moyen par partie. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $\mu = E(X)$, puis $\sigma^2 = V(X)$ avec la formule $E(X^2) - E(X)^2$.
2. bYanis joue $100$ parties. Justifie que l'on peut appliquer les formules d'un échantillon, puis calcule $E(S_{100})$ et $\sigma(S_{100})$.
3. cPour $n = 400$, calcule $E(M_{400})$ et $\sigma(M_{400})$.
4. dLe forain affirme : « Plus Yanis joue, plus son gain total est imprévisible, mais plus son gain moyen est prévisible. » Justifie en exprimant $\sigma(S_n)$ et $\sigma(M_n)$ en fonction de $n$.

Ex. 34★★★Une palette de colis — La masse $X$ d'un colis vérifie $E(X) = 4{,}2$ kg et $\sigma(X) = 1{,}5$ kg. Les colis sont remplis indépendamment. On charge $25$ colis sur une palette, dont la masse $P$ vérifie $E(P) = 20$ kg et $\sigma(P) = 2$ kg, indépendante des colis. On note $S_{25}$ la masse totale des colis et $M_{25}$ leur masse moyenne. Arrondis au centième.

1. aJustifie que les masses des $25$ colis forment un échantillon, puis calcule $E(S_{25})$.
2. bCalcule $V(S_{25})$, puis $\sigma(S_{25})$.
3. cLe client exige que la masse moyenne d'un colis du lot ait un écart type d'au plus $0{,}25$ kg. Un lot de $25$ colis convient-il ? Justifie.
4. dOn note $T = S_{25} + P$ la masse de la palette chargée. Calcule $E(T)$ et $\sigma(T)$ en justifiant.
5. eLe transporteur facture $0{,}80$ € par kg et ajoute un forfait de $15$ €. Exprime le prix $C$ en fonction de $T$, puis calcule $E(C)$ et $\sigma(C)$.

Ex. 35★★★Sondage sur le vélo — Dans une grande ville, $30$ % des actifs vont travailler à vélo. On interroge $n$ actifs au hasard. La population est assez grande pour que les réponses soient indépendantes. Pour $1 \leqslant i \leqslant n$, $X_i$ vaut $1$ si la $i$-ème personne va travailler à vélo et $0$ sinon. On pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$ et $F_n = \frac{S_n}{n}$.

1. aDonne la loi de $X_1$, puis calcule $E(X_1)$ et $V(X_1)$.
2. bJustifie que $S_n$ suit une loi binomiale, puis exprime $E(S_n)$ et $V(S_n)$ en fonction de $n$ en citant les propriétés utilisées.
3. c$F_n$ est la fréquence des cyclistes dans l'échantillon. Exprime $E(F_n)$ et $\sigma(F_n)$ en fonction de $n$.
4. dOn interroge $n = 400$ actifs. Calcule $E(S_{400})$ et $\sigma(S_{400})$, puis $\sigma(F_{400})$ à $0{,}001$ près.
5. eUn autre institut interroge $1\,600$ actifs. Mila affirme : « Son nombre de cyclistes est plus dispersé, mais sa fréquence l'est moins. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 36★★★Automatismes : espérance, variance, écart type — Arrondis à $0{,}001$ près si nécessaire.

1. a$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}35$. Calcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. b$Y$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$. Calcule $E(Y)$.
3. c$Y$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$. Calcule $V(Y)$ puis $\sigma(Y)$.
4. d$Z$ suit $\mathcal{B}(n\,;0{,}2)$ et $E(Z) = 12$. Trouve $n$, puis calcule $V(Z)$.
5. e$T$ suit $\mathcal{B}(100\,;0{,}1)$. Lina affirme que $\sigma(T) = 9$. Repère son erreur et corrige-la.
6. f$Y$ suit $\mathcal{B}(40\,;0{,}15)$ et $F = \frac{Y}{40}$. Calcule $E(F)$ et $\sigma(F)$.

Ex. 37★★★Automatismes : sommes de binomiales — $X$ et $Y$ sont indépendantes ; $X$ suit $\mathcal{B}(12\,;0{,}4)$ et $Y$ suit $\mathcal{B}(8\,;0{,}4)$.

1. aDonne la loi de $X + Y$ en justifiant.
2. bCalcule $E(X + Y)$ et $V(X + Y)$.
3. cCalcule $\sigma(X + Y)$ à $0{,}01$ près.
4. dCalcule $E(X - Y)$ et $V(X - Y)$.
5. eVrai ou faux : $X + X$ suit $\mathcal{B}(24\,;0{,}4)$. Justifie.

Ex. 38★★★Démonstration guidée : les bulbes de Chloé — Chloé plante $18$ bulbes de tulipes. Chacun fleurit avec la probabilité $0{,}85$, indépendamment des autres. On note $S$ le nombre de bulbes qui fleurissent.

1. aPour $i$ de $1$ à $18$, $X_i = 1$ si le $i$-ième bulbe fleurit, $0$ sinon. Calcule $E(X_i)$, $E(X_i^2)$, puis $V(X_i)$.
2. bÉcris $S$ à l'aide des $X_i$, puis calcule $E(S)$ en citant la propriété utilisée.
3. cCalcule $V(S)$, puis $\sigma(S)$ à $0{,}01$ près, en précisant l'hypothèse de l'énoncé utilisée.
4. dUne gelée pourrait détruire tous les bulbes d'un coup, et chaque bulbe fleurirait toujours avec la probabilité $0{,}85$. Le calcul de $E(S)$ reste-t-il valable ? Et celui de $V(S)$ ? Justifie.

Ex. 39★★★Stand de palets à la kermesse — Noé joue $10$ parties de palets. Chaque partie coûte $1$ € et est gagnée avec la probabilité $0{,}3$, indépendamment des autres. Chaque partie gagnée rapporte $3$ €. On note $X$ le nombre de parties gagnées et $G$ le gain algébrique de Noé, en euros.

1. aJustifie que $X$ suit une loi binomiale dont tu donneras les paramètres, puis exprime $G$ en fonction de $X$.
2. bCalcule $E(G)$ et $\sigma(G)$ à $0{,}01$ près, puis interprète $E(G)$.
3. cQuelle probabilité de gagner une partie rendrait le jeu équitable ?
4. dMaëlle gagne chacune de ses $10$ parties avec la probabilité $0{,}4$, indépendamment de Noé. $T$ est le total des parties gagnées par les deux. Calcule $E(T)$ et $V(T)$. $T$ est-elle binomiale ? Justifie.

Ex. 40★★★Deux machines dans un atelier — La machine A fabrique $40$ pièces, chacune défectueuse avec la probabilité $0{,}05$. La machine B en fabrique $60$, chacune défectueuse avec la probabilité $0{,}02$. Les pièces sont défectueuses indépendamment les unes des autres. $D_A$ et $D_B$ sont les nombres de pièces défectueuses de A et de B, et $D = D_A + D_B$. Arrondis à $0{,}01$ près.

1. aDécompose $D_A$ en une somme de variables de Bernoulli. Déduis-en la loi de $D_A$ et celle de $D_B$, puis calcule $E(D_A)$ et $E(D_B)$.
2. bCalcule $E(D)$ et $V(D)$ en citant les propriétés utilisées.
3. cLéa affirme : « $D$ suit $\mathcal{B}(100\,;0{,}032)$ ». Calcule l'espérance et la variance de cette loi, puis dis si Léa a raison. Justifie.
4. dRéparer une pièce défectueuse coûte $12$ €, et il faut ajouter $20$ € de frais fixes. On note $C = 12D + 20$ le coût total. Calcule $E(C)$ et $\sigma(C)$, puis interprète $E(C)$.

Ex. 41★★★Le sondage d'Inès — Inès réalise un sondage. Chaque personne interrogée répond « oui » avec la probabilité $p$, indépendamment des autres. On note $S_n$ le nombre de « oui » parmi $n$ personnes, et $F = \frac{S_n}{n}$ la fréquence de « oui ». Arrondis à $0{,}001$ près si nécessaire.

1. aDémontre que $E(S_n) = np$ et $V(S_n) = np(1 - p)$. Rédige complètement : définis les variables utilisées et cite chaque propriété.
2. bInès interroge $400$ personnes et $p = 0{,}6$. Calcule $E(S_{400})$, $V(S_{400})$ et $\sigma(S_{400})$.
3. cTom écrit : « $\sigma(F) = \frac{\sigma(S_{400})}{\sqrt{400}}$ ». Explique son erreur, puis calcule $E(F)$ et $\sigma(F)$.
4. dToujours avec $p = 0{,}6$, combien de personnes Inès doit-elle interroger au minimum pour que $\sigma(F) \leqslant 0{,}01$ ?

Ex. 42★★★Le défi du six entre Yanis et Margot — Yanis lance $12$ fois un dé équilibré et Margot $18$ fois. Tous les lancers sont indépendants. $Y$ et $M$ sont les nombres de « 6 » de chacun, et $T = Y + M$. Chaque lancer coûte $2$ € et chaque « 6 » rapporte $a$ €. $G$ est le gain total du duo. Arrondis à $0{,}01$ près.

1. aDonne la loi de $Y$ et celle de $M$. Déduis-en la loi de $T$ en justifiant.
2. bExprime $G$ en fonction de $T$ et de $a$. Détermine $a$ pour que le jeu soit équitable.
3. cAvec cette valeur de $a$, Margot affirme : « $\sigma(T) = \frac{25}{6}$ ». Corrige-la, puis calcule $V(G)$ et $\sigma(G)$.
4. dMargot propose une autre règle : seuls ses « 6 » comptent, à $20$ € chacun, et le duo paie toujours $60$ €. Ce jeu est-il équitable ? Justifie.
5. eLes deux règles ont la même espérance. Laquelle est la moins risquée pour le duo ? Justifie à l'aide des écarts types.

Ex. 43★★★File d'attente au guichet — À un guichet de la poste, le temps de service $X$ d'un client (en minutes) vérifie $E(X) = 4$ et $\sigma(X) = 1{,}5$. Les temps de service de $36$ clients forment un échantillon de taille $36$ de la loi de $X$. On note $S_{36}$ le temps total de service et $M_{36} = \frac{S_{36}}{36}$ le temps moyen.

1. aCalcule $E(S_{36})$.
2. bLucas écrit $V(S_{36}) = 36 \times 1{,}5 = 54$. Corrige son calcul.
3. cDéduis-en $\sigma(S_{36})$.
4. dCalcule $E(M_{36})$ et $\sigma(M_{36})$.
5. eOn observe maintenant $100$ clients ; $S_{100}$ est leur temps total de service. Calcule $\sigma(S_{100})$.

Ex. 44★★★Sinistres d'un assuré — Le nombre $X$ de sinistres déclarés en un an par un client d'une assurance suit la loi ci-dessous. Le coût annuel de gestion de ce client est $C = 200X + 30$ (en euros). Le nombre $Y$ de sinistres d'un second client est indépendant de $X$ et suit la même loi.

1. aCalcule $E(X)$.
2. bCalcule $V(X)$ à l'aide de $E(X^2) - E(X)^2$.
3. cCalcule $E(C)$.
4. dCalcule $\sigma(C)$.
5. eCalcule $V(X + Y)$.
6. fLe coût de gestion du second client est $C' = 200Y + 30$. Calcule $E(C + C')$ et $V(C + C')$.

Ex. 45★★★Roue de la fête foraine — À un stand de fête foraine, une partie coûte $4$ €. La roue rapporte au joueur un gain brut $G$ (en euros) dont la loi est donnée ci-dessous. On note $N = G - 4$ le gain net du joueur.

1. aCalcule $E(G)$ et $V(G)$.
2. bCalcule $E(N)$ et $V(N)$. Interprète $E(N)$.
3. cQuelle mise rendrait le jeu équitable ?
4. dSans changer la mise ni les probabilités, le forain veut gagner en moyenne $1$ € par partie. Quel gain doit remplacer les $20$ € ? Calcule alors $V(G)$.

Ex. 46★★★Trajet en trois étapes — Inès va au lycée en trois étapes de durées indépendantes (en minutes) : la marche $T_1$, avec $E(T_1) = 8$ et $\sigma(T_1) = 1$ ; le bus $T_2$, avec $E(T_2) = 15$ et $\sigma(T_2) = 3$ ; l'attente du bus $T_3$, de loi ci-dessous. On pose $T = T_1 + T_2 + T_3$. Arrondis au millième si besoin.

1. aCalcule $E(T_3)$ et $V(T_3)$.
2. bCalcule $E(T)$ et interprète-la.
3. cInès affirme que $\sigma(T) = 1 + 3 + \sigma(T_3)$. A-t-elle raison ? Calcule $\sigma(T)$.
4. dSur $20$ trajets indépendants, on note $D$ la durée totale. Calcule $E(D)$ et $\sigma(D)$.
5. eCalcule l'écart type de la durée moyenne d'un trajet sur ces $20$ trajets.

Ex. 47★★★Contrôle qualité de boîtes de vis — Une usine vend ses vis par boîtes. Le nombre $X$ de vis défectueuses dans une boîte suit la loi ci-dessous. Remplacer une vis coûte $2$ € et contrôler une boîte coûte $0{,}50$ €. Le coût de contrôle d'une boîte est donc $C = 2X + 0{,}5$ (en euros). Les boîtes sont contrôlées de façon indépendante. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $E(X)$ et $V(X)$.
2. bDéduis-en $E(C)$ et $\sigma(C)$ en citant les propriétés utilisées.
3. cOn contrôle un lot de $400$ boîtes. On note $T$ son coût total. Justifie le modèle, puis calcule $E(T)$ et $\sigma(T)$.
4. dLa responsable affirme : « le coût moyen par boîte du lot, $M_{400} = \frac{T}{400}$, est aussi dispersé que le coût d'une seule boîte ». A-t-elle raison ? Justifie.
5. eOn note $M_n$ le coût moyen par boîte d'un lot de $n$ boîtes. Détermine la plus petite valeur de $n$ telle que $V(M_n) \leqslant 0{,}01$.

Ex. 48★★★Stand de penalties du club de handball — Au stand d'un club de handball, un joueur paie une mise de $m$ euros puis tire $10$ penalties. Les tirs sont indépendants et chacun est réussi avec une probabilité de $0{,}35$. Le joueur reçoit $3$ € par but. On note $N$ le nombre de buts. Pour $i$ allant de $1$ à $10$, $X_i = 1$ si le $i$-ème tir est réussi et $X_i = 0$ sinon. Arrondis au centième si besoin.

1. aDonne la loi de $X_1$, puis calcule $E(X_1)$ et $V(X_1)$.
2. bÉcris $N$ à l'aide des $X_i$. Déduis-en $E(N)$ et $V(N)$ en justifiant chaque propriété utilisée.
3. cLe bénéfice du club sur un joueur est $B = m - 3N$. Détermine la mise minimale $m$ pour que le club gagne en moyenne au moins $2$ € par joueur.
4. dLe club fixe finalement la mise à $m = 13$ €. Calcule $E(B)$ et $\sigma(B)$.
5. eDans la journée, $50$ joueurs jouent indépendamment les uns des autres. Calcule l'espérance et l'écart type du bénéfice total du club, puis interprète.

Ex. 49★★★Atelier de réparation de vélos — Dans l'atelier de Yanis, le nombre $X$ de vélos réparés le matin et le nombre $Y$ de vélos réparés l'après-midi sont indépendants. Leurs lois sont données ci-dessous. On note $T = X + Y$ le nombre de vélos réparés dans la journée. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $E(X)$, $V(X)$, $E(Y)$ et $V(Y)$.
2. bÀ l'aide d'un tableau à double entrée, détermine la loi de $T$.
3. cCalcule $E(T)$ et $V(T)$ à partir de la loi de $T$, puis retrouve ces deux résultats avec les propriétés du cours.
4. dChaque vélo réparé rapporte $25$ € et les charges fixes s'élèvent à $30$ € par jour. Le résultat du jour est $R = 25T - 30$. Calcule $E(R)$ et $\sigma(R)$.
5. eHugo étudie $D = X - Y$ et écrit : « $V(D) = V(X) - V(Y)$ ». Montre que son résultat est absurde, puis calcule $E(D)$ et $V(D)$.