1re spécialité / Variables aléatoires

Ex. 1★★★Lire une loi : au plus, au moins, moins de — $X$ est le nombre de buts marqués par l'équipe de foot de Hugo lors d'un match pris au hasard dans la saison. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :

1. aCalcule $P(X = 2)$.
2. bCalcule $P(X \leqslant 2)$.
3. cTraduis « l'équipe marque moins de 2 buts » par un événement lié à $X$, puis calcule sa probabilité.
4. dTraduis « l'équipe marque au moins 2 buts » par un événement, puis calcule sa probabilité à l'aide de l'événement contraire.
5. eVrai ou faux : $P(X > 2) = P(X \geqslant 2)$. Justifie.
6. fCalcule la probabilité que l'équipe marque au plus 3 buts.

Ex. 2★★★Compléter une loi, trouver un paramètre — Dans chaque cas, utilise le fait que la somme des probabilités d'une loi vaut 1. Donne les résultats en valeur exacte.

1. aLa loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :

   x_i	-1	0	3
   P(X = x_i)	0,45	?	0,2

   Calcule $P(X = 0)$.
2. b$X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $5$ avec les probabilités respectives $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{3}$ et $p$. Calcule $p$.
3. cPour chaque valeur $k$ de $X$ ($k = 0$, 1, 2 ou 3), $P(X = k) = (k + 1)a$, où $a$ est un réel. Calcule $a$.
4. d$X$ prend les valeurs $10$, $20$ et $50$ avec les probabilités respectives $0{,}6$, $2a$ et $0{,}5 - a$. Montre qu'aucun réel $a$ ne convient.
5. eLina affirme que $0{,}25$, $0{,}5$ et $0{,}2$ peuvent être les probabilités respectives des valeurs 0, 1 et 2 d'une variable aléatoire. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 3★★★Écart entre deux dés à la fête foraine — À un stand de fête foraine, Inès lance deux dés équilibrés à six faces, un rouge et un vert. Une issue est un couple (rouge ; vert) ; les 36 issues sont équiprobables. $X$ est la différence entre le plus grand et le plus petit des deux numéros.

1. aQuelle valeur la fonction $X$ associe-t-elle à l'issue (2 ; 6) ? à l'issue (4 ; 4) ? Donne toutes les valeurs prises par $X$.
2. bÉtablis la loi de probabilité de $X$ dans un tableau, avec des fractions de dénominateur 36.
3. cInès gagne une peluche si l'écart vaut au moins 3. Calcule la probabilité qu'elle gagne une peluche.
4. dCalcule $P(1 \leqslant X \leqslant 4)$ sous forme de fraction irréductible.

Ex. 4★★★Kermesse : tirage avec ou sans remise — À la kermesse, un sac contient 3 jetons bleus (B) et 2 jetons jaunes (J). Lucas paie 3 € et tire deux jetons l'un après l'autre ; chaque jeton jaune obtenu lui rapporte 3 €. $X$ est son gain net (gain moins mise), en euros. Une issue s'écrit (1er jeton ; 2e jeton).

1. aQuelle valeur la fonction $X$ associe-t-elle à l'issue (J ; B) ? Donne toutes les valeurs prises par $X$.
2. bLe premier jeton est remis dans le sac avant le second tirage. Établis la loi de $X$ en décrivant les chemins de l'arbre.
3. cMême question si le premier jeton n'est pas remis dans le sac.
4. dDans quel cas Lucas a-t-il la plus grande probabilité de ne pas perdre d'argent ? Justifie.

Ex. 5★★★Loi lue dans un tableau croisé — On interroge 80 usagers d'une ligne de bus sur leur titre de transport et sur le nombre de correspondances de leur trajet :

1. aOn choisit un usager au hasard parmi les 80. $X$ est son nombre de correspondances. Établis la loi de probabilité de $X$.
2. bCalcule la probabilité que cet usager ait au moins une correspondance.
3. cOn choisit maintenant un usager au hasard parmi les abonnés seulement. $Z$ est son nombre de correspondances. Établis la loi de $Z$.
4. dCalcule la probabilité que cet abonné ait moins de 2 correspondances.

Ex. 6★★★Assurance auto : une loi à paramètre — Un assureur étudie ses contrats auto. $X$ est le nombre de sinistres déclarés en un an par un assuré pris au hasard. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant, où $a$ est un réel :

1. aMontre que $a$ vérifie l'équation $a^2 + 2a - 0{,}44 = 0$.
2. bRésous cette équation, puis justifie quelle solution peut convenir.
3. cDonne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau et vérifie-la.
4. dCalcule la probabilité qu'un assuré déclare au moins un sinistre, puis la probabilité qu'il en déclare au plus deux.
5. eYanis écrit : « $P(X \geqslant 2) = 1 - P(X \leqslant 2)$ ». A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $P(X \geqslant 2)$.

Ex. 7★★★Train et correspondance : durée du trajet — Chloé va au lycée en train puis en bus. Le train est en retard avec la probabilité 0,2. Elle attrape son bus avec la probabilité 0,9 si le train est à l'heure, et 0,4 s'il est en retard. Son trajet dure 45 min, plus 15 min par imprévu (train en retard, bus raté). $X$ est la durée du trajet, en minutes.

1. aDécris les quatre chemins de l'arbre pondéré et la valeur que la fonction $X$ associe à chacun. Quelles valeurs $X$ prend-elle ?
2. bÉtablis la loi de probabilité de $X$ et vérifie-la.
3. cCalcule la probabilité que Chloé mette moins d'une heure, puis la probabilité qu'elle mette au plus une heure.
4. dOn note $p$ la probabilité de retard du train, les autres données restant les mêmes. Avec $p = 0{,}05$, calcule $P(X = 60)$.
5. eLa région veut obtenir $P(X \geqslant 75) \leqslant 0{,}05$. Est-ce le cas aujourd'hui ? Quelles valeurs de $p$ conviennent ?

Ex. 8★★★Tombola de la classe : gain net et loi corrigée — Pour financer un voyage, une classe vend les 40 billets d'une tombola, à 2 € l'un. Un billet porte un lot de 30 €, trois billets un lot de 10 €, huit billets un lot de 2 € ; les autres ne gagnent rien. Noé achète un billet au hasard ; $X$ est son gain net, en euros (valeur du lot moins prix du billet).

1. aQuelle valeur $X$ associe-t-elle à un billet portant un lot de 10 € ? à un billet sans lot ? Donne toutes les valeurs prises par $X$.
2. bMathis propose cette loi pour $X$ :

   x_i	0	2	10	30
   P(X = x_i)	0,8	0,2	0,075	0,025

   Montre qu'elle est fausse sans refaire la loi, puis trouve ses deux erreurs.
3. cÉtablis la loi de probabilité exacte de $X$, en fractions irréductibles.
4. dCalcule la probabilité que Noé ne perde pas d'argent, puis celle qu'il gagne plus de 5 €.
5. eLes organisateurs veulent $P(X \geqslant 0) \geqslant \frac{1}{2}$ en transformant des billets sans lot en billets à lot de 2 €. Combien doivent-ils en transformer, au minimum ?

Ex. 9★★★Automatismes : calculer une espérance — Dans chaque cas, calcule $E(X)$. Donne la valeur exacte.

1. a$X$ prend les valeurs $1$, $2$ et $3$ avec les probabilités $0{,}2$ ; $0{,}5$ et $0{,}3$.
2. b$X$ prend les valeurs $-4$, $1$ et $6$ avec les probabilités $0{,}25$ ; $0{,}5$ et $0{,}25$.
3. c$X$ prend les valeurs $-3$ et $2$, avec $P(X = -3) = 0{,}4$ et $P(X = 2) = 0{,}6$.
4. dUn ticket à gratter rapporte $0$ €, $5$ € ou $30$ € avec les probabilités $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{5}$ et $\frac{1}{10}$. $X$ est le gain en euros.
5. eOn lance un dé équilibré à $6$ faces. $X$ vaut $-6$ si le dé donne $1$, vaut $1$ s'il donne $2$, $3$ ou $4$, et vaut $3$ sinon.
6. fLa loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :

   x_i	-5	-1	2	8
   P(X = x_i)	0,1	0,3	0,4	0,2

Ex. 10★★★Automatismes : retrouver une valeur ou une probabilité — Dans chaque cas, trouve l'inconnue pour que $E(X)$ ait la valeur indiquée.

1. a$X$ prend les valeurs $0$, $2$ et $x$ avec les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}3$ et $0{,}2$, et $E(X) = 1{,}4$. Trouve $x$.
2. b$P(X = -1) = 0{,}4$, $P(X = 3) = 0{,}4$, $P(X = x) = 0{,}2$ et $E(X) = 2$. Trouve $x$.
3. c$X$ prend les valeurs $x$, $5$ et $10$ avec les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}25$ et $0{,}25$, et $E(X) = 3$. Trouve $x$.
4. dLa loi de $X$ est donnée par le tableau

   x_i	1	3	x
   P(X = x_i)	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

   et $E(X) = 3$. Trouve $x$.
5. e$P(X = 0) = p$, $P(X = 1) = 0{,}5$ et $P(X = 4) = 0{,}5 - p$, avec $E(X) = 1{,}3$. Trouve $p$.

Ex. 11★★★La roue de la fête foraine — Une roue de fête foraine a $10$ secteurs identiques : $6$ rouges, $3$ verts et $1$ doré. Le gain algébrique $X$ (en euros) vaut $-3$ sur un rouge, $2$ sur un vert et $10$ sur le doré. Yanis affirme : « $E(X) = \frac{-3 + 2 + 10}{3} = 3$, donc je gagne $3$ € à chaque partie. »

1. aDonne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
2. bYanis fait deux erreurs. Explique-les.
3. cCalcule $E(X)$.
4. dInterprète $E(X)$ avec son unité, puis estime le résultat de Yanis sur $200$ parties.

Ex. 12★★★Deux stands à la kermesse — Inès hésite entre deux stands. Jeu A : on lance une pièce équilibrée ; pile fait gagner $1$ €, face fait lancer un dé équilibré à $6$ faces : un $6$ fait gagner $10$ €, sinon on perd $3$ €. Jeu B : on tire au hasard une boule parmi $2$ vertes ($+3$ €) et $3$ blanches ($-2$ €). $X$ et $Y$ sont les gains (en euros) des jeux A et B.

1. aDonne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
2. bCalcule $E(X)$ : valeur exacte, puis arrondie au centime.
3. cCalcule $E(Y)$.
4. dQuel jeu Inès doit-elle choisir si elle joue un grand nombre de fois ? Justifie par une phrase avec l'unité.

Ex. 13★★★Contrôle qualité en usine — Dans une usine, on note $X$ le nombre de défauts d'une pièce prise au hasard. $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$, avec $P(X = 0) = 0{,}6$, $P(X = 1) = 2a$, $P(X = 2) = a$ et $P(X = 3) = 0{,}1$, où $a$ est un réel positif.

1. aDétermine $a$, puis donne la loi de $X$ dans un tableau.
2. bCalcule $E(X)$.
3. cInterprète $E(X)$, puis estime le nombre total de défauts sur un lot de $1\,000$ pièces.
4. dUne stagiaire affirme : « Le calcul de $E(X)$ est forcément faux, car le résultat n'est pas un nombre entier de défauts. » A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 14★★★L'assurance des vélos électriques — Une compagnie assure des vélos électriques pour une prime annuelle de $80$ €. Son résultat $R$ (en euros) sur un contrat pris au hasard vaut $80$ sans sinistre, $-70$ pour une petite réparation, $-520$ pour une grosse réparation et $-1\,120$ en cas de vol. La loi de probabilité de $R$ est donnée par le tableau :

1. aDétermine $p$.
2. bCalcule $P(R < 0)$, puis interprète ce résultat pour la compagnie.
3. cLéo écrit : $E(R) = 80 \times 0{,}85 + 70 \times 0{,}1 + 520 \times p + 1\,120 \times 0{,}01$. Repère son erreur, puis calcule $E(R)$.
4. dVrai ou faux ? « Sur chaque contrat, la compagnie gagne exactement $E(R)$ euros. » Justifie, puis interprète $E(R)$ par une phrase.
5. eLa compagnie a $2\,000$ contrats. Estime son résultat total sur un an.

Ex. 15★★★Deux points ou trois points ? — Au basket, Noah hésite entre deux tirs. Tir A ($2$ points) : réussi avec la probabilité $0{,}5$ ; s'il est réussi, Noah subit une faute dans $20\,\%$ des cas et tente alors un lancer franc, réussi avec la probabilité $0{,}8$ ($1$ point de plus). Tir B ($3$ points) : réussi avec la probabilité $p$. $X_A$ et $X_B$ sont les nombres de points marqués avec chaque tir.

1. aDonne la loi de probabilité de $X_A$ dans un tableau.
2. bCalcule $E(X_A)$. Noah peut-il marquer $E(X_A)$ points sur un tir ? Justifie, puis interprète $E(X_A)$ avec son unité.
3. cDonne la loi de $X_B$, puis exprime $E(X_B)$ en fonction de $p$.
4. dPour quelles valeurs de $p$ le tir B rapporte-t-il plus de points en moyenne que le tir A ?
5. ePour Noah, $p = 0{,}34$. Sur $50$ tirs, estime le nombre de points marqués avec chaque tir. Quel tir lui conseilles-tu ?

Ex. 16★★★Le gros lot de la tombola du judo — Un club de judo vend $500$ billets de tombola. Il y a $1$ gros lot d'une valeur de $x$ €, $4$ bons d'achat de $50$ € et $20$ places de cinéma à $10$ € ; les autres billets sont perdants. On note $X$ la valeur (en euros) du lot gagné avec un billet pris au hasard.

1. aDonne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau, avec des probabilités décimales.
2. bExprime $E(X)$ en fonction de $x$.
3. cLe club veut que $E(X) = 1{,}50$ €. Détermine $x$, puis interprète $E(X)$ par une phrase.
4. dMaëlle programme : def moyenne(x, p): s = 0 for v in x: s = s + v return s / len(x) Avec $x$ trouvé, que renvoie moyenne appelée avec les listes de la loi de $X$ ? Pourquoi n'est-ce pas $E(X)$ ?
5. eÉcris une fonction esperance(x, p) correcte, puis donne ce qu'elle renvoie avec ces mêmes listes.

Ex. 17★★★Variance avec la ligne des écarts — La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau ci-dessous. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $E(X)$.
2. bÉcris la ligne des écarts $x_i - E(X)$, puis celle de leurs carrés.
3. cCalcule $V(X)$ avec la définition $V(X) = \displaystyle\sum p_i\big(x_i - E(X)\big)^2$.
4. dLéo additionne les carrés des écarts sans les multiplier par les probabilités. Quel nombre trouve-t-il ? Explique son erreur.
5. eDonne $\sigma(X)$ arrondi au centième.

Ex. 18★★★Vrai ou faux express sur la dispersion — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie en une ligne.

1. a« Si $V(X) = 9$, alors $\sigma(X) = 81$. »
2. b« Si $X$ est une durée en minutes, $\sigma(X)$ s'exprime en minutes et $V(X)$ en minutes au carré. »
3. c« On peut avoir $E(X) = 4$ et $E(X^2) = 13$. »
4. d« Si $X$ prend la seule valeur $7$, avec la probabilité $1$, alors $V(X) = 0$. »
5. e« Si $X$ prend les valeurs $3$ et $5$, chacune avec la probabilité $\frac{1}{2}$, alors $V(X) = 0$. »
6. f« Avec $E(X) = 1{,}25$ et $E(X^2) = 3$, arrondir d'abord $E(X)$ à $1{,}3$ donne $V(X)$ correcte au centième. »

Ex. 19★★★Livret sûr ou placement risqué — Inès place 1\,000 € pendant un an. Avec le placement A, elle gagne 30 € à coup sûr : on note $A$ ce gain. Avec le placement B, son gain $B$ (en euros) suit la loi ci-dessous. Arrondis au centième.

1. aCalcule $E(A)$ et $E(B)$. Que constates-tu ?
2. bSans calcul, donne $V(A)$ et $\sigma(A)$. Justifie.
3. cCalcule $E(B^2)$, puis la valeur exacte de $V(B)$ et $\sigma(B)$ arrondi au centième.
4. dInterprète $\sigma(B)$. Inès ne veut prendre aucun risque : quel placement lui conseilles-tu ? Justifie.

Ex. 20★★★Défauts de fabrication : l'erreur de Hugo — Dans une usine, on prélève une pièce au hasard. $X$ est son nombre de défauts : $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$ avec les probabilités $0{,}5$ ; $0{,}3$ ; $0{,}15$ et $0{,}05$. Arrondis au centième.

1. aCalcule $E(X)$.
2. bHugo écrit : « $E(X^2) = E(X)^2$, donc $V(X) = 0$. » Explique son erreur, puis calcule $E(X^2)$ et $V(X)$.
3. cCalcule $\sigma(X)$ et interprète-le dans le contexte.

Ex. 21★★★La roue de la fête foraine et Python — À la fête foraine, une roue est partagée en 8 secteurs identiques : 4 blancs, 3 bleus et 1 doré. Un secteur blanc ne rapporte rien, un bleu rapporte 2 € et le doré 10 €. On note $X$ le gain (en euros) d'un lancer. Arrondis au centième.

1. aDonne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau, avec une ligne des $x_i^2$.
2. bCalcule $E(X)$ et $E(X^2)$, puis $V(X)$ et $\sigma(X)$.
3. cInterprète $E(X)$ et $\sigma(X)$ dans le contexte.
4. dComplète les deux pointillés pour que la fonction renvoie l'écart type à partir des listes x et p. from math import sqrt def ecart_type(x, p): e = 0 for i in range(len(x)): e = e + p[i]*x[i] v = 0 for i in range(len(x)): v = v + ... return ...
5. eQue renvoie ecart_type([0, 2, 10], [1/2, 3/8, 1/8]) (arrondi au centième) ? Compare avec $\sigma(X)$.

Ex. 22★★★Tir à l'arc : deux inconnues et la régularité — Au tir à l'arc, le score $X$ de Léna sur une flèche prend les valeurs 0, 2, 5 et 10. Sa loi de probabilité est donnée par le tableau ci-dessous, où $p$ et $q$ sont deux réels. On sait que $E(X) = 5$. N'arrondis qu'à la fin, au centième.

1. aÉcris deux équations vérifiées par $p$ et $q$, puis détermine $p$ et $q$.
2. bAjoute une ligne des $x_i^2$ au tableau et calcule $E(X^2)$. Donne ensuite la valeur exacte de $V(X)$ et une valeur arrondie de $\sigma(X)$.
3. cLéna affirme : « En moyenne, mon score s'écarte de 5 d'environ $V(X)$ points. » A-t-elle raison ? Justifie.
4. dLe score de Malo a aussi une espérance de 5 points, avec un écart type de 2 points. Le coach veut le tireur le plus régulier. Lequel doit-il choisir ? Justifie.

Ex. 23★★★Le prix d'une course en taxi — Un taxi facture 4 € de prise en charge, plus 1,50 € par kilomètre. La distance $X$ (en km) d'une course prise au hasard a la loi de probabilité ci-dessous. Le prix $C$ (en euros) de la course est donc $C = 1{,}5X + 4$. Arrondis au centième, à la fin seulement.

1. aCalcule $E(X)$ et $E(X^2)$, puis $V(X)$ et $\sigma(X)$
   (en km).
2. bDonne la loi de $C$ dans un tableau. Calcule $E(C)$ à partir de cette loi, puis vérifie ton résultat par linéarité.
3. cApprofondissement (hors programme) : soit $Y = aX + b$, qui prend les valeurs $y_i = ax_i + b$. Exprime $y_i - E(Y)$ en fonction de $x_i - E(X)$, puis démontre que $V(Y) = a^2V(X)$.
4. dDéduis-en la valeur exacte de $V(C)$, puis $\sigma(C)$ arrondi au centième.
5. eLe chauffeur affirme : « $\sigma(C) = 1{,}5\,\sigma(X) + 4$ ». Vrai ou faux ? Justifie, puis interprète $\sigma(C)$.

Ex. 24★★★Kermesse : le lot de l'as et le risque — À la kermesse, Nora propose le jeu A. On mise 2 €, puis on tire une carte au hasard parmi 10 : 1 as, 3 rois et 6 autres cartes. L'as rapporte un lot de $L$ euros, un roi rapporte 2 € et une autre carte ne rapporte rien. On note $G$ le gain net du joueur, en euros. Arrondis au centième.

1. aDonne la loi de $G$ en fonction de $L$, puis détermine $L$ pour que le jeu A soit équitable.
2. bDans la suite, $L$ prend la valeur trouvée. Calcule $V(G)$ et $\sigma(G)$.
3. cSoit $X$ une variable aléatoire dont toutes les probabilités $p_i$ sont non nulles. Démontre que si $V(X) = 0$, alors $X$ ne prend qu'une seule valeur.
4. dTom calcule $E(G^2)$ en multipliant chaque valeur de $G$, sans la mettre au carré, par sa probabilité. Il trouve $V(G) = 0$. Explique son erreur, puis pourquoi ce résultat était forcément faux.
5. eJeu B : on mise 2 € et on lance une pièce équilibrée. Pile rapporte 4 €, face ne rapporte rien. Montre que B est équitable, puis dis quel jeu est le plus risqué. Justifie.

Ex. 25★★★Automatismes : König-Huygens en une ligne — Calcule directement.

1. aOn sait que $E(X)=3$ et $E(X^2)=13$. Calcule $V(X)$.
2. bOn sait que $E(X)=-2$ et $V(X)=5$. Calcule $E(X^2)$.
3. cOn sait que $V(X)=6{,}25$. Calcule $\sigma(X)$.
4. d$X$ prend les valeurs $-3$ et $2$ avec les probabilités $0{,}4$ et $0{,}6$. Calcule $E(X^2)$.
5. eUn élève trouve $E(X)=4$ et $E(X^2)=10$ pour une même variable $X$. Montre qu'il s'est forcément trompé.
6. fOn sait que $E(X)=0{,}5$ et $E(X^2)=2$. Calcule $V(X)$.

Ex. 26★★★Automatismes : la ligne des carrés — La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau ci-dessous. Arrondis au centième si besoin.

1. aComplète la ligne des $x_i^2$ du tableau.
2. bCalcule $E(X)$.
3. cCalcule $E(X^2)$.
4. dDéduis-en $V(X)$.
5. eDonne $\sigma(X)$.
6. fCalcule $\big(E(X)\big)^2$ et compare ce nombre à $E(X^2)$.

Ex. 27★★★Fête foraine : corrige Noé — À la fête foraine, Noé joue au chamboule-tout. Son gain net $X$, en euros, prend les valeurs $-2$, $1$ et $6$. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau :

1. aCalcule $E(X)$.
2. bNoé écrit $E(X^2)=-2\times 0{,}5^2+1\times 0{,}3^2+6\times 0{,}2^2$. Explique son erreur, puis calcule correctement $E(X^2)$.
3. cNoé écrit ensuite $V(X)=E(X^2)-E(X)$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $V(X)$.
4. dDonne $\sigma(X)$, puis interprète $E(X)$ et $\sigma(X)$ pour Noé.

Ex. 28★★★Contrôle qualité : un paramètre, deux calculs de variance — Dans une usine, on contrôle des cadres de vélo. $X$ est le nombre de défauts d'un cadre pris au hasard. La loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant, où $p$ est un réel :

1. aDétermine $p$, puis donne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
2. bCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
3. cCalcule $V(X)$ avec la formule de König-Huygens.
4. dRecalcule $V(X)$ avec la définition $V(X)=\displaystyle\sum p_i\big(x_i-E(X)\big)^2$ et vérifie que tu retrouves le même résultat.

Ex. 29★★★Python : la variance par König-Huygens — Lina écrit une fonction Python qui reçoit la liste x des valeurs de $X$ et la liste p des probabilités, et qui doit renvoyer $V(X)$ par la formule de König-Huygens. def variance(x, p): e = 0 e2 = 0 for i in range(len(x)): e = e + p[i]*x[i] e2 = ... return e2 - e**2

1. aComplète la ligne 6 pour que e2 contienne $E(X^2)$ à la fin de la boucle.
2. b$X$ prend les valeurs $-3$, $0$ et $5$ avec les probabilités $0{,}3$ ; $0{,}5$ et $0{,}2$. Calcule à la main la valeur renvoyée par variance([-3, 0, 5], [0.3, 0.5, 0.2]).
3. cUn élève remplace la dernière ligne par return e**2 - e2. Que renvoie sa fonction avec les mêmes listes ? Explique son erreur.
4. dModifie la dernière ligne pour que la fonction renvoie $\sigma(X)$. Quelle valeur renvoie-t-elle avec les mêmes listes ? Arrondis au centième.

Ex. 30★★★Démontrer la formule de König-Huygens — $X$ prend les valeurs $x_1$, …, $x_n$ avec les probabilités $p_1$, …, $p_n$. On note $\mu = E(X)$ et $V(X) = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i(x_i - \mu)^2$. On veut démontrer que $V(X) = E(X^2) - \mu^2$.

1. aDéveloppe $(x_i - \mu)^2$ pour tout $i$.
2. bMultiplie par $p_i$, puis additionne pour $i$ allant de $1$ à $n$. Montre que $V(X) = \displaystyle\sum p_i x_i^2 - 2\mu \sum p_i x_i + \mu^2 \sum p_i$.
3. cConclus que $V(X) = E(X^2) - \mu^2$. Cite les deux résultats que tu utilises.
4. dExplique pourquoi $V(X) \geqslant 0$. Déduis-en que $E(X^2) \geqslant \big(E(X)\big)^2$ pour toute variable $X$.
5. ePour une variable $Y$, on sait que $E(Y)=3$. Quelle est la plus petite valeur possible de $E(Y^2)$ ? Donne une variable $Y$ pour laquelle elle est atteinte.

Ex. 31★★★Fléchettes : retrouver une loi à partir de E(X) et V(X) — Lors d'un concours de fléchettes, le score $X$ d'un lancer de Maëlys prend les valeurs $-3$, $1$ et $4$. On note $a = P(X = -3)$, $b = P(X = 1)$ et $c = P(X = 4)$. On sait que $E(X) = 1{,}1$ et $V(X) = 5{,}89$. Arrondis au centième si besoin.

1. aCalcule $E(X^2)$.
2. bÉcris trois équations vérifiées par $a$, $b$ et $c$.
3. cRésous ce système. Donne la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
4. dVérifie la valeur de $V(X)$ avec la définition $V(X) = \displaystyle\sum p_i\big(x_i - E(X)\big)^2$.
5. eCalcule $\sigma(X)$. Interprète $E(X)$.

Ex. 32★★★Tram : une variance qui dépend d'un paramètre — Sur une ligne de tram, $X$ est le retard, en minutes, d'une rame prise au hasard. $X$ prend les valeurs $0$, $1$ et $3$, avec $P(X = 3) = 0{,}1$ et $P(X = 1) = p$, où $p$ est un réel. Arrondis au centième si besoin.

1. aExprime $P(X = 0)$ en fonction de $p$. Quelles valeurs $p$ peut-il prendre ? Justifie.
2. bExprime $E(X)$ et $E(X^2)$ en fonction de $p$.
3. cMontre que $V(X) = -p^2 + 0{,}4p + 0{,}81$.
4. dLe réseau annonce un retard moyen de $0{,}5$ minute. Détermine $p$, puis $V(X)$ et $\sigma(X)$.
5. ePour quelle valeur de $p$ la variance $V(X)$ est-elle la plus grande ? Justifie.

Ex. 33★★★Automatismes : linéarité de l'espérance — Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $E(X) = 4$.

1. aOn pose $Y = 40 - 3X$. Donne $a$ et $b$ tels que $Y = aX + b$, avec leur signe.
2. bCalcule $E(Y)$.
3. cCalcule $E(X + 7)$.
4. d$X$ est une durée en heures. Exprime cette durée en minutes en fonction de $X$, puis calcule son espérance.

Ex. 34★★★Automatismes : loi de aX + b aux fléchettes — Aux fléchettes, Inès marque $X$ points par lancer. La loi de $X$ est donnée par le tableau :

1. aOn pose $Y = 3X + 1$. Donne les valeurs prises par $Y$.
2. bCalcule $P(Y = 7)$.
3. cCalcule $P(Y \geqslant 7)$.
4. dCalcule $E(X)$.
5. eDéduis-en $E(Y)$ sans écrire la loi de $Y$.
6. fOn pose $Z = 10 - X$. Donne les valeurs prises par $Z$, puis calcule $P(Z \geqslant 8)$.

Ex. 35★★★Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit — À midi, en juin, la température d'une ville est $X$, en °C. Sa loi est donnée par le tableau :

1. aCalcule $E(X)$ et interprète ce résultat.
2. bCalcule $E(X^2)$, puis $V(X)$ avec la formule de König-Huygens, puis $\sigma(X)$.
3. cIdentifie $a$ et $b$ dans $F = aX + b$, puis calcule $E(F)$ sans écrire la loi de $F$.
4. dApprofondissement : exprime $F - E(F)$ en fonction de $X - E(X)$. Déduis-en $V(F)$ et $\sigma(F)$. Pourquoi le $32$ n'intervient-il pas ?

Ex. 36★★★Contrôle qualité : coût fixe et coût variable — Dans un lot de pièces, $X$ est le nombre de pièces défectueuses. Sa loi est donnée par le tableau :

1. aCalcule $E(X)$.
2. bDonne la loi de probabilité de $C$ sous forme de tableau.
3. cCalcule $E(C)$ à partir de la loi de $C$, puis vérifie avec la linéarité. Interprète.
4. dMalik propose un nouveau contrat de coût $C' = aX + 30$. Détermine $a$ pour que $E(C') = 60$ €.

Ex. 37★★★Fête foraine : le bénéfice de l'organisateur — À un stand de fête foraine, le joueur paie $3$ € et reçoit un gain brut $X$, en euros. La loi de $X$ est donnée par le tableau :

1. aCalcule $E(X)$ et $E(X^2)$, puis déduis-en $V(X)$.
2. bIdentifie $a$ et $b$ dans $B = aX + b$, avec leur signe. Calcule $E(B)$. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
3. cÉtablis la loi de $B$, puis recalcule $V(B)$ à partir de cette loi. Compare avec $V(X)$.
4. dLina affirme : « $\sigma(B) = -\sigma(X)$, car $a = -1$ ». Vrai ou faux ? Justifie et donne $\sigma(B)$.

Ex. 38★★★Démontrer les règles de aX + b, puis corriger Lucas — Une variable aléatoire $X$ prend les valeurs $x_1, \dots, x_n$ avec les probabilités $p_1, \dots, p_n$. On note $a$ et $b$ deux réels. Dans un jeu de plateau, Lucas avance de $X$ cases à chaque tour ($X = -1$ : il recule d'une case). La loi de $X$ est donnée par le tableau :

1. aDémontre que $E(aX + b) = a\,E(X) + b$. Précise à quel moment tu utilises $\displaystyle\sum p_i = 1$.
2. bDéduis-en l'espérance de la variable centrée $X - E(X)$. Donne d'abord $a$ et $b$.
3. cApprofondissement. Démontre que $V(aX + b) = a^2\,V(X)$, puis que $\sigma(aX + b) = |a|\,\sigma(X)$.
4. dPour la loi du jeu de plateau, calcule $E(X)$, $E(X^2)$, puis $V(X)$.
5. eLucas écrit : « $V(Y) = -3\,V(X) + 5$ ». Calcule sa valeur. Recalcule $V(Y)$ à partir de la loi de $Y$, puis donne $\sigma(Y)$. Explique ses deux erreurs.

Ex. 39★★★Gymnastique : harmoniser les notes d'un jury — À une compétition de gymnastique, on choisit une gymnaste au hasard. $X$ est sa note donnée par un juge. La loi de $X$ est donnée par le tableau :

1. aCalcule $E(X)$, puis $V(X)$ avec la formule de König-Huygens, et $\sigma(X)$.
2. bApprofondissement. On veut $a > 0$, $E(Z) = 14$ et $\sigma(Z) = 3{,}6$. Détermine $a$, puis $b$.
3. cÉtablis la loi de $Z$ dans un tableau. Recalcule $V(Z)$ à partir de cette loi, puis vérifie que $\sigma(Z) = 3{,}6$.
4. dChloé propose $Z' = -2X + b'$ : « même écart type que $Z$ ». Trouve $b'$ tel que $E(Z') = 14$, vérifie $\sigma(Z')$, puis explique pourquoi ce choix est inacceptable.

Ex. 40★★★Kermesse : mise équitable et gains doublés — À la kermesse, Nora tire une boule : elle est rouge avec la probabilité $0{,}4$. Si elle est rouge, Nora fait tourner une roue et gagne $20$ € avec la probabilité $0{,}25$, sinon $2$ €. Si la boule n'est pas rouge, elle ne gagne rien. $X$ est le gain brut, en euros. Arrondis au centième. def esperance(valeurs, probas): e = 0 for i in range(len(valeurs)): e = e + valeurs[i] * probas[i] return e def variance(valeurs, probas): m = esperance(valeurs, probas) v = 0 for i in range(len(valeurs)): v = v + ... return v

1. aÉtablis la loi de probabilité de $X$ dans un tableau.
2. bComplète la ligne v = v + .... Écris l'instruction qui affiche $V(X)$ arrondie au dix-millième, puis donne ce qu'elle affiche.
3. cOn note $m$ la mise et $G = X - m$ le gain net. Calcule $E(X)$, puis la mise qui rend le jeu équitable. L'organisateur choisit $m = 3$ € : estime son bénéfice sur $500$ parties.
4. dL'organisateur double les gains bruts et veut gagner $0{,}50$ € par partie en moyenne. Trouve la nouvelle mise $m'$, puis, en approfondissement, l'écart type du gain net. Interprète.

Ex. 41★★★Gain net en un coup d'œil — Dans chaque question, un joueur paie une mise $m$ à chaque partie et reçoit un gain brut $Y$. Son gain net est $G = Y - m$.

1. a$m = 3$ € et le joueur reçoit $10$ €. Quel est son gain net ?
2. b$m = 3$ € et le joueur perd la partie : il ne reçoit rien. Quel est son gain net ?
3. c$E(Y) = 2{,}40$ € et $m = 3$ €. Calcule $E(G)$.
4. d$E(Y) = 3{,}20$ € et $m = 2{,}50$ €. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
5. e$E(Y) = 4{,}75$ €. Quelle mise $m$ rend le jeu équitable ?
6. f$E(G) = -0{,}35$ €. Combien l'organisateur peut-il espérer gagner sur $400$ parties ?

Ex. 42★★★Lot, mise ou nombre de cases à trouver — Dans chaque cas, trouve la valeur demandée.

1. aUne partie coûte $2$ €. On gagne un lot de $g$ euros avec la probabilité $0{,}1$, rien sinon. Quelle valeur de $g$ rend le jeu équitable ?
2. bUne roue a $20$ cases égales : $k$ cases rapportent $5$ €, les autres rien. La mise est de $1$ €. Quelle valeur de $k$ rend le jeu équitable ?
3. cUn ticket rapporte $40$ € avec la probabilité $0{,}03$, $8$ € avec la probabilité $0{,}1$, rien sinon. Quelle mise rend le jeu équitable ?
4. dUne urne contient $3$ boules ; une seule est gagnante et rapporte $5$ €. Au centime près, quelle mise maximale évite un jeu défavorable au joueur ?

Ex. 43★★★Une boule puis un dé à la fête foraine — À la fête foraine, Inès paie $2$ € pour jouer. Elle tire une boule dans une urne de $5$ boules : $2$ rouges et $3$ noires. Si la boule est rouge, elle lance un dé équilibré : le 6 rapporte $12$ €, les autres faces $3$ €. Une boule noire ne rapporte rien. On note $G$ le gain net d'Inès.

1. aQuelles valeurs prend $G$ ? Donne sa loi de probabilité dans un tableau.
2. bCalcule $E(G)$. Le jeu est-il favorable à Inès ? Justifie.
3. cCombien le forain peut-il espérer gagner sur $300$ parties ?
4. dLe forain ne change que le gain « rouge puis 6 », noté $g$. Quelle valeur de $g$ rend le jeu équitable ?

Ex. 44★★★La roue du club de hand — Pour financer ses maillots, un club de hand propose une roue de $12$ secteurs égaux. $1$ secteur rapporte $30$ €, $3$ secteurs rapportent $6$ €, les $8$ autres rien. Une partie coûte $6$ €. Léa écrit : « $E = 30 \times \frac{1}{12} + 6 \times \frac{3}{12} + 0 \times \frac{8}{12} = 4 > 0$, donc le jeu est favorable au joueur. »

1. aLéa a-t-elle raison ? Justifie en nommant son erreur.
2. bDonne la loi du gain net $G$ du joueur, puis calcule $E(G)$.
3. cCombien le club peut-il espérer gagner sur $800$ parties ?
4. dLa mise reste à $6$ €. Quel lot maximal le club peut-il offrir à la place des $30$ € pour gagner en moyenne au moins $1$ € par partie ?

Ex. 45★★★Deux stands équitables à la kermesse — À la kermesse, une partie coûte $2$ € sur chacun des deux stands. Stand A : on lance une pièce équilibrée, et pile rapporte $4$ €. Stand B : on tire un ticket parmi $25$ ; un seul est gagnant et rapporte $50$ €. On note $G_A$ et $G_B$ les gains nets. Arrondis au centième si nécessaire.

1. aDonne la loi de $G_A$, puis celle de $G_B$.
2. bMontre que les deux jeux sont équitables.
3. cCalcule $\sigma(G_A)$ et $\sigma(G_B)$ avec la formule $V(X) = E(X^2) - E(X)^2$.
4. dNoah affirme : « Les deux jeux sont équitables, donc ils sont aussi risqués l'un que l'autre. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 46★★★Le stand de jetons du marché de Noël — Au marché de Noël, Malik tient un stand. Le joueur paie une mise de $m$ euros, puis tire au hasard un jeton dans un sac de $9$ jetons. Le jeton doré ($1$ seul) rapporte $12$ €, chacun des $2$ jetons argentés rapporte $4$ €, et les $6$ jetons blancs ne rapportent rien. On note $G$ le gain net du joueur.

1. aDonne les valeurs prises par $G$ en fonction de $m$, puis la loi de probabilité de $G$ dans un tableau.
2. bMontre que $E(G) = \frac{20}{9} - m$. Une mise en euros et en centimes peut-elle rendre le jeu exactement équitable ? Justifie.
3. cMalik veut gagner en moyenne au moins $1$ € par partie. Quelle mise minimale doit-il fixer, au centime près ?
4. dLe règlement du marché impose que le joueur perde en moyenne au plus $1{,}50$ € par partie. Donne la mise maximale au centime, puis le bénéfice que Malik peut espérer sur $500$ parties avec une mise de $3{,}50$ €.

Ex. 47★★★La roue puis la pièce du club de voile — Au forum des associations, le club de voile propose un jeu à $4$ € la partie. On fait tourner une roue de $10$ secteurs égaux, dont $n$ sont gagnants ($n$ entier entre $0$ et $10$). Si le secteur est gagnant, on lance une pièce équilibrée : pile rapporte $15$ € et face rapporte $3$ €. Si le secteur est perdant, on ne reçoit rien. On note $G$ le gain net du joueur.

1. aJustifie que $P(G = 11) = \frac{n}{20}$, puis donne la loi de $G$ en fonction de $n$ dans un tableau.
2. bExprime $E(G)$ en fonction de $n$. Le club peut-il choisir $n$ pour que le jeu soit équitable ? Justifie.
3. cPour quelles valeurs de $n$ le jeu est-il favorable au joueur ? Justifie.
4. dLe club choisit la plus grande valeur de $n$ pour laquelle le jeu lui est favorable. Quel bénéfice peut-il espérer sur $1\,000$ parties ?
5. eAvec cette valeur de $n$, on garde la mise et le gain de face. Quel gain $g$ doit rapporter pile pour que le jeu devienne équitable ?

Ex. 48★★★Équitable, mais très risqué : les enveloppes du voyage scolaire — Pour financer le voyage scolaire, le lycée propose un jeu. Zoé paie $5$ €, puis tire au hasard une enveloppe parmi $20$. Une seule enveloppe contient un bon de $100$ €, les autres sont vides. On note $Y$ le gain brut de Zoé et $G$ son gain net. Arrondis au centième si besoin.

1. aDonne la loi de $G$ dans un tableau, puis justifie que le jeu est équitable.
2. bCalcule $E(G^2)$, puis $V(G)$ avec la formule de König-Huygens, puis $\sigma(G)$.
3. cUne variante utilise $40$ enveloppes, dont une de $200$ €, pour une mise de $5$ €. Complète la ligne 8 du programme, puis donne ce qu'il affiche. from math import sqrt def ecart_type(valeurs, probas): e = 0 for i in range(len(valeurs)): e = e + valeurs[i] * probas[i] v = 0 for i in range(len(valeurs)): v = v + .......... return sqrt(v) print(round(ecart_type([195, -5], [0.025, 0.975]), 4))
4. dZoé affirme : « Le jeu est équitable, donc je récupère ma mise à chaque partie. » Vrai ou faux ? Justifie en interprétant $\sigma(G)$.
5. eÉtablis la loi de $Y$, puis calcule $V(Y)$ à partir de cette loi. Compare avec $V(G)$ et explique le résultat.