Terminale spécialité / Fonctions sinus et cosinus

Ex. 1★★★Radians, degrés et mesure principale — On rappelle que $\pi$ rad $= 180^\circ$. La mesure principale d'un réel est l'unique réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ qui a la même image sur le cercle trigonométrique.

1. aConvertis $150^\circ$ en radians.
2. bConvertis $\frac{7\pi}{12}$ rad en degrés.
3. cDonne la mesure principale de $\frac{23\pi}{6}$.
4. dDonne la mesure principale de $-\frac{13\pi}{4}$.
5. eLe point $M$ du cercle trigonométrique est associé à $\frac{31\pi}{3}$. Donne le réel de $]-\pi\,;\,\pi]$ associé à $M$, puis sa mesure en degrés.
6. fSami affirme : « la mesure principale de $15\pi$ est $-\pi$ ». A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 2★★★Valeurs exactes par les angles associés — Donne la valeur exacte en écrivant d'abord le réel sous la forme $\pi \pm a$, $-a$ ou $a + 2k\pi$ avec $a$ dans le tableau des valeurs remarquables.

Ex. 3★★★Simplifier avec les angles associés — Pour tout réel $x$, on pose $A(x) = \sin(\pi - x) + \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2\sin(x + \pi)$ et $B(x) = \cos(\pi - x) + \cos(-x) + \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

1. aSimplifie $A(x)$ en fonction de $\sin x$.
2. bSimplifie $B(x)$.
3. cDéduis-en la valeur exacte de $A\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.
4. dRésous dans $]-\pi\,;\,\pi]$ l'équation $A(x) = 2\sqrt{2}$.

Ex. 4★★★Du cosinus au sinus — Soit $x$ un réel de $[-\pi\,;\,0]$ tel que $\cos x = -\frac{3}{5}$.

1. aJustifie que $\sin x < 0$.
2. bCalcule la valeur exacte de $\sin x$.
3. cDéduis-en $\cos(\pi - x)$ et $\sin(\pi + x)$.
4. dNoé écrit : « $\cos(2x) = 2\cos x = -\frac{6}{5}$ ». Sans calculer $\cos(2x)$, démontre qu'il a tort.

Ex. 5★★★Vrai ou faux sur le cercle — Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux et justifie (contre-exemple si elle est fausse).

1. aPour tout réel $x$, $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$.
2. bSi $x \in \left]\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right[$, alors $\cos x \times \sin x < 0$.
3. c$\cos\dfrac{7\pi}{6} = \cos\dfrac{\pi}{6}$.
4. dUn angle de $1$ radian mesure moins de $60^\circ$.
5. ePour tout réel $x$, $\sin(x + \pi) + \sin x = 0$.

Ex. 6★★★Sommes cachées sur le cercle — On s'intéresse à des sommes de cosinus et de sinus de multiples de $\frac{\pi}{9}$ et de $\frac{\pi}{12}$. Aucune valeur approchée n'est attendue.

1. aJustifie que $\cos\frac{8\pi}{9} = -\cos\frac{\pi}{9}$, puis calcule $S = \cos\frac{\pi}{9} + \cos\frac{2\pi}{9} + \cos\frac{3\pi}{9} + \dots + \cos\frac{8\pi}{9}$.
2. bCalcule $W = \sin\frac{\pi}{9} + \sin\frac{2\pi}{9} + \sin\frac{3\pi}{9} + \dots + \sin\frac{17\pi}{9}$ en regroupant les termes deux par deux.
3. cCalcule $U = \cos^2 0 + \cos^2\dfrac{\pi}{12} + \cos^2\dfrac{2\pi}{12} + \dots + \cos^2\dfrac{6\pi}{12}$.
4. dDéduis-en $V = \sin^2 0 + \sin^2\frac{\pi}{12} + \sin^2\frac{2\pi}{12} + \dots + \sin^2\frac{6\pi}{12}$ sans calculer aucun de ses termes.

Ex. 7★★★Une somme pour retrouver le point — Soit $x$ un réel de $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$ tel que $\cos x + \sin x = \frac{7}{13}$. On note $c = \cos x$ et $s = \sin x$.

1. aEn exprimant $s$ en fonction de $c$, démontre que $c$ est solution d'une équation du second degré, que tu écriras avec des coefficients entiers.
2. bRésous cette équation, puis déduis-en $c$ et $s$ en justifiant ton choix à l'aide de l'intervalle.
3. cNadia écrit : « $\sin(\pi - x) = -\sin x$, donc le point associé à $\pi - x$ est sous l'axe des abscisses ». Corrige son erreur, puis calcule $\cos(\pi - x)$ et $\sin(\pi - x)$.
4. dCalcule la valeur exacte de $A = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - \sin(x + \pi) + \cos(x - 5\pi)$.

Ex. 8★★★La nacelle de Malo — Une grande roue a un rayon de $20$ m et son centre est à $22$ m du sol. La nacelle de Malo est repérée par le point du cercle trigonométrique associé au réel $\theta$ ; sa hauteur est alors $h = 22 + 20\sin\theta$ (en m). Au départ, $\theta = 0$, et la roue tourne dans le sens direct de $15^\circ$ par minute.

1. aJustifie qu'après $t$ minutes, $\theta = \frac{\pi t}{12}$ (en radians), puis donne la durée d'un tour complet.
2. bCalcule la hauteur exacte de la nacelle après $10$ minutes, puis après $18$ minutes.
3. cAprès $38$ minutes, détermine la mesure principale de $\theta$, puis la hauteur de la nacelle.
4. dInès affirme : « Après $16$ min, la nacelle est deux fois plus loin de la hauteur du centre qu'après $8$ min. » A-t-elle raison ? Justifie.
5. eDétermine les instants $t$ de $[0\,;\,24]$ où la nacelle est à $22 - 10\sqrt{2}$ m du sol.

Ex. 9★★★Parité : calculs directs — Toutes les fonctions sont définies sur $\mathbb{R}$.

1. aDémontre que $f(x)=x\sin x$ est paire.
2. bÉtudie la parité de $g(x)=x^2\sin x$.
3. cPour $h(x)=\cos x+\sin x$, calcule $h\left(\frac{\pi}{4}\right)$ et $h\left(-\frac{\pi}{4}\right)$. Déduis-en que $h$ n’est ni paire ni impaire.
4. dÉtudie la parité de $k(x)=4-\cos(2x)$.
5. eUne fonction impaire $m$ vérifie $m\left(\frac{\pi}{7}\right)=-3$. Donne $m\left(-\frac{\pi}{7}\right)$.
6. fQuelle symétrie possède la courbe de $q(x)=\sin x\times\cos x$ ? Justifie.

Ex. 10★★★Périodes : calculs directs

1. aDonne la période de $x\mapsto\cos(7x)$.
2. bOn pose $f(x)=\sin\left(5x-\frac{\pi}{3}\right)$. Donne sa période $T$, puis vérifie-la en calculant $f(x+T)$.
3. cTrouve le réel $\omega>0$ tel que $x\mapsto\sin(\omega x)$ ait pour période $6\pi$.
4. dDémontre que $4$ est une période de $x\mapsto\cos\left(\frac{\pi x}{2}+1\right)$.
5. eUne fonction $g$ a pour période $\frac{\pi}{2}$ et vérifie $g\left(\frac{\pi}{8}\right)=3$. Calcule $g\left(\frac{17\pi}{8}\right)$.

Ex. 11★★★La copie d’Inès — Inès écrit : « $f(x)=\cos(3x)$ a pour période $3\times2\pi=6\pi$. De plus, $\sin(0+\pi)=\sin 0$, donc $\pi$ est une période de la fonction sinus. »

1. aDétermine la période de $f$ en justifiant par un calcul. Quelle erreur Inès a-t-elle commise ?
2. bCalcule $\sin\left(\frac{\pi}{2}+\pi\right)$ et $\sin\frac{\pi}{2}$. Que penses-tu de la deuxième affirmation d’Inès ? Justifie.
3. cDémontre que $\pi$ est en revanche une période de $g(x)=\sin^2 x$.

Ex. 12★★★Vrai ou faux sur les symétries — Vrai ou faux ? Justifie.

1. aLa fonction $g(x)=\cos(2x)+\sin(3x)$, définie sur $\mathbb{R}$, a pour période $\frac{2\pi}{3}$.
2. b$2\pi$ est une période de cette fonction $g$.
3. cLa courbe de $u(x)=\frac{\sin x}{x}$, définie sur $\mathbb{R}^*$, est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
4. d$v(x)=\sin x+1$ est impaire sur $\mathbb{R}$, puisque sinus est impaire.
5. eLa fonction $w$ définie sur $[-\pi\,;\,2\pi]$ par $w(x)=\cos x$ est paire.

Ex. 13★★★Réduire l’intervalle d’étude — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\cos x+\frac{1}{2}\cos(2x)$.

1. aDémontre que $f$ est périodique de période $2\pi$.
2. bDémontre que $f$ est paire. Quelle symétrie possède sa courbe ?
3. cExplique pourquoi il suffit d’étudier $f$ sur $[0\,;\,\pi]$.
4. dCalcule $f\left(\frac{\pi}{6}\right)$, puis déduis-en, sans nouveau calcul de cosinus, $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ et $f\left(\frac{11\pi}{6}\right)$.

Ex. 14★★★Deux notes superposées — Noé joue deux notes en même temps sur son synthétiseur. Le signal obtenu est modélisé par la fonction $s$ définie sur $\mathbb{R}$ par $s(t)=\sin(4t)+\sin(6t)$.

1. aDonne la période de $t\mapsto\sin(4t)$ et celle de $t\mapsto\sin(6t)$.
2. bDémontre que $s$ est périodique de période $\pi$.
3. cCalcule $s\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $s\left(\frac{7\pi}{12}\right)$. Déduis-en que $\frac{\pi}{2}$ n’est pas une période de $s$.
4. dDémontre que $s$ est impaire. Quelle symétrie sa courbe présente-t-elle ?
5. eJustifie qu’il suffit d’étudier $s$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$. Calcule $s\left(\frac{\pi}{8}\right)$, puis déduis-en $s\left(\frac{7\pi}{8}\right)$ sans autre calcul.

Ex. 15★★★Le tri de Malik — Malik doit classer des fonctions en trois catégories : paires, impaires, ni paires ni impaires. Il te demande de vérifier son travail.

1. aSoit $g(x)=\sin x\times\sin(3x)$ sur $\mathbb{R}$. Étudie la parité de $g$ et donne la symétrie de sa courbe.
2. bSoit $f(x)=x+\cos x$ sur $\mathbb{R}$. Démontre que $f$ n’est ni paire ni impaire.
3. cMalik écrit : « $k(x)=x\cos x$ est paire sur $\mathbb{R}$, car $\cos$ est paire. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dMalik écrit : « $m(x)=\frac{\cos x}{x-1}$, définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$, est paire car $\cos$ est paire. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eOn pose $p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $q(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$, avec $f$ de la question 2. Simplifie $p(x)$ et $q(x)$, puis étudie leur parité.

Ex. 16★★★La cabine de la grande roue — Léa monte dans une grande roue. La hauteur de sa cabine, en mètres, $t$ minutes après le départ, est $h(t)=22-20\cos\left(\frac{\pi t}{5}\right)$ pour $t\geqslant 0$.

1. aDémontre que $h(t+10)=h(t)$ pour tout $t\geqslant0$. Interprète ce résultat pour Léa.
2. bDémontre que $h(10-t)=h(t)$ pour tout $t\in[0\,;\,10]$. Interprète ce résultat.
3. cCalcule $h\left(\frac{5}{3}\right)$, puis déduis-en sans calcul $h\left(\frac{25}{3}\right)$ et $h\left(\frac{35}{3}\right)$.
4. dÉtudie le sens de variation de $h$ sur $[0\,;\,5]$, puis déduis-en son tableau de variations sur $[0\,;\,10]$.
5. ePendant les $20$ premières minutes, à quels instants la cabine est-elle à $32$ m de haut ?

Ex. 17★★★Dériver sans perdre le signe ni le facteur — Chaque fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Calcule $f'(x)$.

Ex. 18★★★Nombres dérivés en valeurs exactes — Chaque fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. Calcule la valeur exacte du nombre dérivé demandé.

1. a$f(x) = 2\sin x$ : calcule $f'(\dfrac{\pi}{6})$.
2. b$f(x) = 5x - \cos x$ : calcule $f'(\dfrac{2\pi}{3})$.
3. c$f(x) = \cos(2x)$ : calcule $f'(\dfrac{\pi}{8})$.
4. d$f(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{2})$ : calcule $f'(\dfrac{\pi}{9})$.
5. e$f(x) = 4\cos x + x^2$ : calcule $f'(\pi)$.

Ex. 19★★★Les dérivées d'Inès — Inès a dérivé des fonctions définies sur $\mathbb{R}$. Pour chaque égalité, dis si elle a raison et justifie. Si elle se trompe, corrige.

1. aInès écrit : $(\cos(5x))' = 5\sin(5x)$.
2. bInès écrit : $(\sin(x^2))' = \cos(2x)$.
3. cInès écrit : $(\sin(\pi - 3x))' = -3\cos(\pi - 3x)$.
4. dInès écrit : $(\cos^2 x)' = -2\sin x$.
5. eInès écrit : $(x^2\sin x)' = 2x\cos x$.

Ex. 20★★★Un quotient avec sinus et cosinus — Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}$.

1. aJustifie que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
2. bCalcule $f'(x)$, puis simplifie le numérateur à l'aide de $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$, avec les valeurs exactes.

Ex. 21★★★Tangentes en valeurs exactes — Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \sin(2x) + \cos x$, et $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aCalcule $g'(x)$.
2. bDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{6}$, avec des valeurs exactes.
3. cLina affirme que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$ a pour coefficient directeur $-2$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 22★★★Des limites calculées avec un nombre dérivé — Dans tout l'exercice, tu utilises ce résultat : si une fonction $\varphi$ est dérivable en $a$, alors $\frac{\varphi(x) - \varphi(a)}{x - a}$ tend vers $\varphi'(a)$ quand $x$ tend vers $a$.

1. aÉcris le taux d'accroissement de la fonction sinus entre $0$ et $x$ (avec $x \neq 0$). Déduis-en $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$.
2. bLéo affirme : « $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin(7x)}{x} = 1$, car $\frac{\sin x}{x}$ tend vers $1$ ». A-t-il raison ? Justifie à l'aide de $g(x) = \sin(7x)$.
3. cSoit $k(x) = 3\sin^2 x$ sur $\mathbb{R}$. Calcule $k'(x)$. Déduis-en $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{3\sin^2 x - \frac{3}{4}}{x - \frac{\pi}{6}}$.
4. dSoit $h(x) = \cos(6x)$. Calcule $h'(x)$, puis déduis-en $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{12}} \frac{\cos(6x)}{x - \frac{\pi}{12}}$.

Ex. 23★★★Les tangentes qui passent par l'origine — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x\cos x$, et $\mathcal{C}$ sa courbe dans un repère d'origine $O$. Sur sa calculatrice, Nora remarque que plusieurs tangentes à $\mathcal{C}$ semblent passer par $O$.

1. aCalcule $f'(x)$.
2. bDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{3}$. Donne les coefficients en valeurs exactes.
3. cDémontre que les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses $-\frac{\pi}{2}$ et $\frac{\pi}{2}$ sont parallèles.
4. dSoit $a$ un réel. Démontre que la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$ passe par $O$ si et seulement si $a^2\sin a = 0$.
5. eDéduis-en les abscisses de tous les points où la tangente passe par $O$. Donne une équation de chacune de ces tangentes.

Ex. 24★★★Un quotient et ses tangentes horizontales — Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ ; on admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe.

1. aCalcule $f'(x)$, puis factorise son numérateur par $\sin x$ à l'aide de $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.
2. bRésous l'équation $f'(x) = 0$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$. Dresse le tableau de variations de $f$ et donne ses extremums.
4. dDétermine une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\frac{\pi}{2}$.
5. eSoit $g(x) = \frac{\cos(3x)}{1 + \sin^2(3x)}$. Ali affirme que $g'(x) = f'(3x)$. A-t-il raison ? Justifie, puis calcule $g'(\frac{\pi}{6})$.

Ex. 25★★★Sens de variation sur un intervalle — Dis si la fonction est croissante, décroissante ou ni l'une ni l'autre sur l'intervalle indiqué. Donne ses valeurs aux bornes.

Ex. 26★★★Encadrer et trouver les extremums — Pour tout réel $x$, encadre l'expression grâce à $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ ou $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$. Donne ensuite son maximum, son minimum et un réel où chacun est atteint.

1. a$f(x) = 4 + 3\sin x$.
2. b$g(x) = 6 - 4\sin x$.
3. c$h(x) = -1 + \dfrac{1}{2}\cos x$.
4. d$k(x) = 5 - 7\cos x$.
5. e$m(x) = 2\sin x - 9$. Déduis-en aussi le signe de $m(x)$.

Ex. 27★★★L'erreur de Léo — On pose $f(x) = 2 - 3\sin x$ sur $[0\,;\,\pi]$. Léo écrit : « $\sin$ est croissante sur $[0\,;\,\pi]$, donc $f$ est croissante sur $[0\,;\,\pi]$. »

1. aRepère les deux erreurs dans le raisonnement de Léo.
2. bCalcule $f'(x)$ et étudie son signe sur $[0\,;\,\pi]$ seulement.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$ avec les valeurs exactes.
4. dDonne le maximum et le minimum de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$ et les réels où ils sont atteints.

Ex. 28★★★Une période, puis la suivante — On pose $f(x) = 3 + \cos(2x)$ pour tout réel $x$.

1. aDémontre que $f(x + \pi) = f(x)$ pour tout réel $x$.
2. bDémontre que $f$ est paire.
3. cCalcule $f'(x)$ et étudie son signe sur $[0\,;\,\pi]$.
4. dDresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$, puis déduis-en ses variations sur $[\pi\,;\,2\pi]$.

Ex. 29★★★Température d'une journée — Un jour de printemps à Annecy, Nadia modélise la température (en °C) par $T(t) = 14 - 6\cos\left(\frac{\pi t}{12}\right)$, où $t \in [0\,;\,24]$ est le temps en heures depuis minuit.

1. aCalcule la température à $6$ h puis à $18$ h.
2. bCalcule $T'(t)$ et étudie son signe sur $[0\,;\,24]$.
3. cDresse le tableau de variations de $T$ sur $[0\,;\,24]$ avec les valeurs exactes.
4. dDonne les températures maximale et minimale, leurs heures, puis l'écart entre les deux.

Ex. 30★★★Une sinusoïde renversée — On pose $f(x) = 1 - 2\sin x$ pour tout réel $x$.

1. aDémontre que $f(x + 2\pi) = f(x)$ pour tout réel $x$. Que peux-tu en déduire pour l'étude de $f$ ?
2. bCalcule $f'(x)$. Étudie ensuite son signe sur $[-\pi\,;\,\pi]$, en lisant le cercle trigonométrique.
3. cDresse le tableau de variations de $f$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$, avec les valeurs exactes. Donne le maximum et le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.
4. dDéduis-en les variations de $f$ sur $[\pi\,;\,3\pi]$, avec les valeurs aux bornes de chaque intervalle.
5. eDémontre que l'équation $f(x) = 0$ a exactement deux solutions sur $[-\pi\,;\,\pi]$. Calcule-les.

Ex. 31★★★La marée au port de Granville — Yanis, skipper, modélise la hauteur d'eau (en m) dans le port par $h(t) = 4{,}5 + 2{,}5\sin\left(\frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{3}\right)$. Ici $t$ est le temps en heures écoulé depuis minuit. On étudie d'abord $t \in [0\,;\,12]$.

1. aDémontre que $h(t + 12) = h(t)$ pour tout réel $t$. Interprète ce résultat.
2. bCalcule $h'(t)$. Étudie son signe sur $[0\,;\,12]$ seulement, en posant $u = \frac{\pi t}{6} - \frac{\pi}{3}$.
3. cDresse le tableau de variations de $h$ sur $[0\,;\,12]$. Donne les heures et les hauteurs de pleine mer et de basse mer.
4. dLe port est fermé quand la hauteur d'eau est inférieure ou égale à $3{,}25$ m. Détermine les périodes de fermeture entre $0$ h et $12$ h.
5. eDéduis-en l'heure de la pleine mer qui suit $t = 12$ et la hauteur d'eau à ce moment.

Ex. 32★★★Le cosinus au-dessus d'une parabole — On admet que $\sin x \leqslant x$ pour tout $x \geqslant 0$. On pose $g(x) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$ pour tout réel $x$.

1. aDémontre que $g$ est paire.
2. bCalcule $g'(x)$. Déduis-en le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty[$.
3. cDémontre que $\cos x \geqslant 1 - \frac{x^2}{2}$ pour tout réel $x$, et pas seulement pour $x \geqslant 0$.
4. dDéduis-en un encadrement de $\cos(0{,}2)$ par deux nombres décimaux, sans calculatrice.
5. eInès affirme : « La parabole $y = 1 - \frac{x^2}{2}$ décroît sur $[0\,;\,+\infty[$. Le cosinus reste au-dessus, donc il décroît aussi sur $[0\,;\,+\infty[$. » Vrai ou faux ? Justifie.

Ex. 33★★★Équations sur ℝ — Résous chaque équation dans $\mathbb{R}$ ($k \in \mathbb{Z}$).

Ex. 34★★★Solutions sur un intervalle — Résous chaque équation sur l’intervalle indiqué. Précise les valeurs de $k$ que tu gardes.

1. a$\cos x = \dfrac{1}{2}$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$
2. b$\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$
3. c$2\sin x + 1 = 0$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$
4. d$\cos x = -1$ sur $[0\,;\,2\pi[$
5. e$\sqrt2\cos x - 1 = 0$ sur $[0\,;\,2\pi[$
6. f$\sin x = 0$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$

Ex. 35★★★L’erreur de Noé — Pour résoudre $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi[$, Noé écrit : « $2x = \frac{\pi}{3}$ ou $2x = -\frac{\pi}{3}$, donc $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ ou $x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$. » Noé obtient ainsi deux solutions sur cet intervalle.

1. aRepère l’erreur de Noé et explique-la.
2. bRésous correctement $\cos(2x) = \frac{1}{2}$ dans $\mathbb{R}$.
3. cDéduis-en l’ensemble des solutions sur $[0\,;\,2\pi[$.
4. dCombien de solutions manquent dans la réponse de Noé ? Justifie.

Ex. 36★★★Un second degré en sinus — On considère l’équation (E) : $2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.

1. aOn pose $X = \sin x$. Résous $2X^2 + X - 1 = 0$.
2. bDéduis-en les solutions de (E) sur $[0\,;\,2\pi[$.
3. cVérifie par le calcul que la plus grande solution trouvée vérifie
   (E).
4. dL’équation $2\sin^2 x + 3\sin x - 5 = 0$ a-t-elle des solutions dans $\mathbb{R}$ ? Justifie et donne-les s’il y en a.

Ex. 37★★★Inéquations lues sur le cercle — Pour chaque inéquation, décris en mots où se trouve le point $M$ associé au réel $x$ sur le cercle trigonométrique. Donne ensuite l’ensemble des solutions sur l’intervalle indiqué.

1. a$\cos x \geqslant \dfrac{1}{2}$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$
2. b$\sin x < -\dfrac{\sqrt2}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi]$
3. c$\cos x < \dfrac{\sqrt3}{2}$ sur $[-\pi\,;\,\pi]$
4. d$\sin x \geqslant 0$ sur $[0\,;\,2\pi]$

Ex. 38★★★Le chenal d’Inès — Dans un port, la hauteur d’eau (en m), $t$ heures après minuit, est $h(t) = 5 + 2\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right)$ pour $t \in [0\,;\,24]$. Inès, skippeuse, ne peut franchir le chenal que si $h(t) \geqslant 6$. On pose $u = \frac{\pi t}{6}$.

1. aUne affiche annonce que l’eau atteindra $7{,}5$ m aujourd’hui. Inès y croit. A-t-elle raison ? Justifie.
2. bRésous $h(t) = 6$ sur $[0\,;\,24]$. Précise les valeurs de $k$ que tu gardes.
3. cDéduis-en les plages horaires où Inès peut franchir le chenal. Justifie en décrivant en mots la position sur le cercle du point $M$ associé à $u$.
4. dRésous $h(t) > 4$ sur $[0\,;\,24]$ en justifiant chaque borne (ouverte ou fermée), puis calcule la durée totale pendant laquelle $h(t) > 4$.

Ex. 39★★★Six solutions et une inéquation — On considère l’équation (E) : $2\sin(3x) + \sqrt2 = 0$.

1. aÉcris les deux familles de valeurs de $3x$, puis déduis-en les solutions de (E) dans $\mathbb{R}$.
2. bDonne toutes les solutions de (E) sur $[0\,;\,2\pi[$, en précisant les valeurs de $k$ que tu gardes.
3. cVérifie par le calcul que $\frac{23\pi}{12}$ est bien solution de
   (E).
4. dRésous $\cos x > -\frac{1}{2}$ sur $[0\,;\,2\pi]$. Décris en mots la position sur le cercle du point $M$ associé à $x$.
5. eParmi les solutions de (E) sur $[0\,;\,2\pi[$, lesquelles vérifient aussi $\cos x > -\frac{1}{2}$ ? Justifie.

Ex. 40★★★Une équation de degré 3 en cosinus — On considère l’équation (E) : $2\cos^3 x - \cos^2 x - 3\cos x = 0$ et l’inéquation (I) : $2\cos^3 x - \cos^2 x - 3\cos x \geqslant 0$, toutes deux sur $]-\pi\,;\,\pi]$. On pose $X = \cos x$.

1. aFactorise $2X^3 - X^2 - 3X$ par $X$, puis résous $2X^3 - X^2 - 3X = 0$ dans $\mathbb{R}$.
2. bRésous (E) dans $\mathbb{R}$, puis donne ses solutions sur $]-\pi\,;\,\pi]$ en précisant les valeurs de $k$.
3. cLina ajoute $-\pi$ à la liste des solutions de (E). A-t-elle raison ? Justifie.
4. dVérifie que $2X^2 - X - 3 = (2X - 3)(X + 1)$, puis étudie le signe de $2\cos x - 3$ et de $\cos x + 1$ sur $]-\pi\,;\,\pi]$.
5. eRésous (I) sur $]-\pi\,;\,\pi]$ en décrivant en mots la position sur le cercle du point $M$ associé à $x$.

Ex. 41★★★Dériver puis factoriser — Chaque fonction est définie sur $\mathbb{R}$. Calcule sa dérivée, puis écris-la sous forme factorisée.

Ex. 42★★★Points où la dérivée s'annule — On donne la dérivée $f'(x)$ d'une fonction $f$ et un intervalle $I$. Résous l'équation $f'(x) = 0$ sur $I$.

1. a$f'(x) = \cos x\,(1 + 2\sin x)$ sur $I = [-\pi\,;\,\pi]$.
2. b$f'(x) = \sqrt2 - 2\sin x$ sur $I = [0\,;\,2\pi]$.
3. c$f'(x) = e^x(\cos x - \sin x)$ sur $I = [-\pi\,;\,\pi]$.
4. d$f'(x) = 1 + 2\cos(2x)$ sur $I = [0\,;\,\pi]$.
5. e$f'(x) = 2\cos x\,(\sin x - 1)$ sur $I = [0\,;\,2\pi]$.
6. f$f'(x) = \dfrac{2\cos x + \sqrt3}{(2 + \sin x)^2}$ sur $I = [0\,;\,2\pi]$.

Ex. 43★★★Vrai ou faux sur le signe de la dérivée — Vrai ou faux ? Justifie. Si c'est faux, donne un contre-exemple.

1. a« Pour tout réel $x$ de $[0\,;\,\pi]$, $1 + 2\cos x > 0$. »
2. b« Sur $[-\pi\,;\,\pi]$, la dérivée de $w(x) = \sqrt3\,x - 2\sin x$ ne s'annule qu'en $\frac{\pi}{6}$. »
3. c« $p(x) = (x + 1)\sin x$ est croissante sur $[0\,;\,\pi]$, car $x + 1 > 0$ et $\sin x \geqslant 0$ sur cet intervalle. »
4. d« La fonction $r(x) = 2x + \cos x$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. »

Ex. 44★★★L'erreur de Lina — Lina étudie $f(x) = \sin x + \cos^2 x$ sur $[0\,;\,\pi]$. Elle trace $f'$ à la calculatrice et conclut : « $f$ croît puis décroît, son maximum vaut $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$. »

1. aDémontre que $f(\pi - x) = f(x)$ pour tout réel $x$. Déduis-en un intervalle d'étude plus petit.
2. bCalcule $f'(x)$ et écris-la sous la forme d'un produit de deux facteurs.
3. cÉtudie le signe de chaque facteur sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$. Dresse le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle, avec les valeurs exactes.
4. dExplique les erreurs de Lina. Donne le maximum de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$ et précise où il est atteint.
5. eDéduis-en le minimum de $f$ sur $[0\,;\,\pi]$, puis l'encadrement le plus précis possible de $f(x)$ pour $x \in [0\,;\,\pi]$.

Ex. 45★★★La gouttière de Noé — Noé plie une plaque de zinc pour faire une gouttière. Sa section est un trapèze isocèle : un fond de $2$ dm et deux bords de $2$ dm, chacun incliné d'un angle $\theta$ par rapport à la verticale, avec $\theta \in \left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$. On note $A(\theta)$ l'aire de la section, en dm².

1. aExprime la hauteur et la largeur du haut du trapèze en fonction de $\theta$. Démontre que $A(\theta) = 4\cos\theta\,(1 + \sin\theta)$.
2. bCalcule $A'(\theta)$ et exprime-la en fonction de $\sin\theta$ seulement. Factorise-la en posant $X = \sin\theta$.
3. cÉtudie le signe de $A'(\theta)$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$, puis dresse le tableau de variations de $A$ avec les valeurs exactes.
4. dPour quel angle l'aire est-elle maximale ? Donne cette aire exacte, puis arrondie à $0{,}01$ près. Compare-la aux valeurs aux bornes.

Ex. 46★★★Type bac : exponentielle et sinus — On considère la fonction $f$ définie sur $[0\,;\,\pi]$ par $f(x) = e^{x}\sin x$.

1. aCalcule $f'(x)$ et factorise-la. Déduis-en que $f'(x)$ a le même signe qu'une expression trigonométrique que tu préciseras.
2. bJustifie que $\sin x + \cos x > 0$ pour tout $x$ de $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$. Pour $x$ dans $\left[\frac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]$, démontre que $\sin x + \cos x \geqslant 0 \iff \sin^2 x \geqslant \cos^2 x$.
3. cDéduis-en le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\,\pi]$. Dresse le tableau de variations de $f$ avec les valeurs exactes.
4. dDétermine le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 5$ sur $[0\,;\,\pi]$, puis celui de l'équation $f(x) = 8$. Justifie.

Ex. 47★★★Le maximum d'Ilyes — On considère la fonction $f$ définie sur $[-2\pi\,;\,2\pi]$ par $f(x) = \frac{x}{2} - \sin x$.

1. aDémontre que $f$ est impaire. Déduis-en un intervalle d'étude plus court.
2. bCalcule $f'(x)$, puis résous l'équation $f'(x) = 0$ sur $[-2\pi\,;\,2\pi]$.
3. cÉtudie le signe de $f'(x)$ sur $[0\,;\,2\pi]$ en lisant sur le cercle. Dresse le tableau de variations de $f$ sur $[0\,;\,2\pi]$ avec les valeurs exactes.
4. dIlyes regarde la courbe de $f$ à la calculatrice et affirme : « Sur $[0\,;\,2\pi]$, le maximum de $f$ est $f(2\pi) = \pi$. » A-t-il raison ? Justifie.
5. eDéduis-en, sans nouvelle étude, le minimum de $f$ sur $[-2\pi\,;\,2\pi]$ et la valeur de $x$ où il est atteint.

Ex. 48★★★La lampe de Maëlle — Maëlle suspend une lampe au-dessus du centre d'une table ronde de rayon $1$ m. On note $\alpha$ l'angle entre la table et le rayon lumineux qui atteint le bord de la table. L'éclairement au bord vaut $E(\alpha) = 100\sin\alpha \times \cos^2\alpha$ (en lux). On étudie $E$ sur $\left[0\,;\,\frac{\pi}{2}\right]$.

1. aCalcule $E(0)$ et $E\left(\frac{\pi}{2}\right)$. Justifie que le maximum de $E$ ne peut pas être atteint à une borne.
2. bCalcule $E'(\alpha)$, puis écris-la sous la forme $100\cos\alpha \times (a + b\sin^2\alpha)$, avec $a$ et $b$ des réels à déterminer.
3. cDémontre qu'il existe un unique réel $\alpha_0$ de $\left]0\,;\,\frac{\pi}{2}\right[$ tel que $\sin\alpha_0 = \frac{\sqrt3}{3}$.
4. dÉtudie le signe de $E'(\alpha)$ et dresse le tableau de variations de $E$. Donne l'éclairement maximal en valeur exacte, puis arrondi au dixième.
5. eLa lampe est à la hauteur $h$, à la distance $d$ du bord. Justifie que $h = d\sin\alpha$ et $1 = d\cos\alpha$, puis calcule la hauteur optimale.