Quatrième / Cosinus d'un angle aigu

Ex. 1★★★Automatismes — Un triangle penché — Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$. Il est penché : repère d'abord l'angle droit.

1. aNomme l'hypoténuse du triangle $KLM$. Explique comment tu la repères.
2. bPour l'angle $\widehat{LKM}$, nomme le côté adjacent et le côté opposé.
3. cPour l'angle $\widehat{KML}$, nomme le côté adjacent et le côté opposé.
4. dThéo affirme : « $[KM]$ passe par le sommet $M$, donc c'est le côté adjacent à $\widehat{KML}$. » Explique son erreur.

Ex. 2★★★Automatismes — Repérer les côtés par leurs lettres — Réponds sans faire de figure : utilise seulement les lettres.

1. aLe triangle $RST$ est rectangle en $S$. Nomme son hypoténuse.
2. bLe triangle $EFG$ est rectangle en $G$. Quel est le sommet de l'angle $\widehat{GEF}$ ? Nomme le côté adjacent à cet angle.
3. cLe triangle $NPV$ est rectangle en $N$. Nomme le côté opposé à l'angle $\widehat{NVP}$.
4. dDans le triangle $BDH$ rectangle en $D$, $[DH]$ est le côté opposé à quel angle aigu ? Écris-le avec trois lettres.
5. eLe triangle $XYZ$ est rectangle en $Y$. Lina écrit « le côté adjacent à $\widehat{XYZ}$ ». Pourquoi cela n'a-t-il pas de sens ?
6. fLe triangle $KLM$ est rectangle en $L$ et $\widehat{LKM} = 27^\circ$. Calcule $\widehat{KML}$, puis nomme le côté adjacent à $\widehat{KML}$.

Ex. 3★★★Automatismes — Les deux angles aigus — Utilise la somme des angles d'un triangle.

1. aLe triangle $DEF$ est rectangle en $E$ et $\widehat{EDF} = 37^\circ$. Calcule $\widehat{EFD}$.
2. bLe triangle $GHJ$ est rectangle en $J$ et $\widehat{GHJ} = 58{,}5^\circ$. Calcule $\widehat{HGJ}$.
3. cDans un triangle $UVW$, $\widehat{WUV} = 64^\circ$ et $\widehat{UVW} = 26^\circ$. Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, en quel sommet ? Justifie.
4. dUn triangle rectangle peut-il avoir un angle de $95^\circ$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 4★★★La copie de Maëlle — Le triangle $PQT$ est rectangle en $Q$ et $\widehat{QPT} = 41^\circ$. Maëlle a écrit : « L'hypoténuse est $[PQ]$ : c'est le côté du bas. Le côté adjacent à $\widehat{QPT}$ est $[PT]$ car il touche $P$. Pour $\widehat{PTQ}$, le côté opposé est $[QT]$. »

1. aExplique l'erreur de Maëlle sur l'hypoténuse et corrige-la.
2. bCorrige le côté adjacent à $\widehat{QPT}$. Explique pourquoi $[PT]$ ne convient pas.
3. cCorrige ce qu'elle écrit pour l'angle $\widehat{PTQ}$ : donne son côté adjacent et son côté opposé.
4. dCalcule $\widehat{PTQ}$.

Ex. 5★★★Une hauteur, deux triangles rectangles — Le triangle $LMN$ est rectangle en $M$, et $H$ est le pied de la hauteur issue de $M$. On sait que $\widehat{MLN} = 34^\circ$. Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse.

1. a« Dans le triangle $LMN$ rectangle en $M$, le côté adjacent à l'angle $\widehat{MLN}$ est $[LM]$. »
2. b« Dans le triangle $LMH$ rectangle en $H$, le côté adjacent à l'angle $\widehat{MLH}$ est encore $[LM]$. »
3. c« Dans le triangle $LMH$, $[MH]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{MLH}$. »
4. d« Les angles $\widehat{LNM}$ et $\widehat{LMH}$ ont la même mesure. »

Ex. 6★★★Deux triangles accolés — Les triangles $EFG$, rectangle en $F$, et $EGH$, rectangle en $G$, sont accolés le long de $[EG]$. On sait que $\widehat{FEG} = 32^\circ$ et $\widehat{GEH} = 47^\circ$.

1. aDans le triangle $EFG$, nomme l'hypoténuse, puis le côté adjacent et le côté opposé à l'angle $\widehat{FEG}$.
2. bLéo affirme : « Le triangle $EFH$ est rectangle en $E$. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
3. cDans le triangle $EGH$, quel rôle joue $[EG]$ pour l'angle $\widehat{GEH}$ ? Nomme aussi l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle.
4. dCalcule $\widehat{EGF}$ et $\widehat{EHG}$. Justifie chaque calcul.
5. ePour l'angle $\widehat{EHG}$, écris le cosinus avec les lettres du triangle $EGH$, puis avec la mesure que tu as trouvée.

Ex. 7★★★Le cerf-volant de Yanis — Le cerf-volant de Yanis a la forme d'un losange $RSTU$ de centre $O$. Ses diagonales mesurent $RT = 80$ cm et $SU = 60$ cm.

1. aExplique pourquoi le triangle $ROS$ est rectangle, et précise en quel point.
2. bDans le triangle $ROS$, nomme l'hypoténuse, puis le côté adjacent et le côté opposé à l'angle $\widehat{OSR}$.
3. cCalcule $OR$ et $OS$, puis $RS$.
4. dInès affirme : « Dans le triangle $RST$, l'hypoténuse est $[RT]$, car c'est le plus long côté. » Explique son erreur à l'aide d'un calcul.
5. eDonne la valeur exacte de $\cos(\widehat{ORS})$ et de $\cos(\widehat{OSR})$. Sans rapporteur, dis lequel de ces deux angles est le plus grand.

Ex. 8★★★La tyrolienne de Valloire — Au parc de Valloire, une tyrolienne est tendue entre le haut $T$ d'une tour et un point $A$ du sol. La tour $[PT]$ est verticale et le sol $[AP]$ est horizontal : le triangle $APT$ est rectangle en $P$. Le câble mesure $TA = 70$ m et $\widehat{TAP} = 15^\circ$. Arrondis au centième.

1. aZoé dit : « $[AT]$ est opposé à l'angle droit, donc c'est le côté opposé à l'angle $\widehat{TAP}$. » Explique son erreur, puis nomme le côté adjacent et le côté opposé à $\widehat{TAP}$.
2. bRomy écrit : « L'angle $\widehat{ATP}$ a pour sommet $A$, donc son côté adjacent est $[AP]$. » Corrige-la : donne le côté adjacent et le côté opposé à cet angle.
3. cCalcule la distance au sol $AP$ entre le point $A$ et le pied $P$ de la tour.
4. dTom a tapé $70 \times \cos(15)$ sur sa calculatrice et il a obtenu $-53{,}18$. Explique pourquoi ce résultat est impossible et d'où vient son erreur.

Ex. 9★★★Automatismes : repérer les côtés et nommer l'angle — Le triangle $KLM$ est rectangle en $L$.

1. aNomme l'hypoténuse du triangle $KLM$.
2. bNomme le côté adjacent et le côté opposé à l'angle $\widehat{KML}$.
3. cNoé écrit $\widehat{KLM}$ pour parler de l'angle aigu de sommet $M$. Corrige le nom de l'angle, puis écris son cosinus avec les lettres.
4. dMila écrit $\cos(\widehat{LKM}) = \frac{LM}{KM}$. Explique son erreur, puis écris le bon quotient.

Ex. 10★★★Automatismes : calculer un cosinus — Écris le cosinus avec les lettres, puis remplace par les longueurs. Donne la valeur exacte (fraction simplifiée), puis une valeur approchée si elle ne tombe pas juste. Arrondis au centième.

1. aLe triangle $RST$ est rectangle en $S$, avec $RS = 6$ cm et $RT = 10$ cm. Calcule $\cos(\widehat{SRT})$.
2. bLe triangle $DEF$ est rectangle en $E$, avec $EF = 8$ cm et $DF = 14$ cm. Calcule $\cos(\widehat{EFD})$.
3. cLe triangle $PQR$ est rectangle en $Q$, avec $PQ = 36$ mm et $PR = 4{,}5$ cm. Calcule $\cos(\widehat{QPR})$.
4. dLe triangle $UVW$ est rectangle en $V$, avec $UV = 2{,}4$ cm et $UW = 3{,}9$ cm. Lina écrit $\cos(\widehat{VUW}) = \frac{3{,}9}{2{,}4} \approx 1{,}63$ cm. Trouve ses deux erreurs, puis corrige.

Ex. 11★★★Les deux cosinus d'un même triangle — Le triangle $GHJ$ est rectangle en $H$, avec $GH = 6$ cm, $HJ = 2{,}5$ cm et $GJ = 6{,}5$ cm. Arrondis au centième.

1. aÉcris $\cos(\widehat{HGJ})$ avec les lettres, puis donne sa valeur exacte et sa valeur approchée.
2. bÉcris $\cos(\widehat{HJG})$ avec les lettres, puis donne sa valeur exacte et sa valeur approchée.
3. cSans rapporteur, dis lequel des angles $\widehat{HGJ}$ et $\widehat{HJG}$ est le plus grand. Justifie avec les cosinus.

Ex. 12★★★Petit ou grand triangle, même cosinus ? — Le triangle $NOP$ est rectangle en $O$ et le triangle $XYZ$ est rectangle en $Y$. Les angles $\widehat{ONP}$ et $\widehat{YXZ}$ ont la même mesure, environ $28^\circ$. On donne $NO = 3$ cm, $NP = 3{,}4$ cm, $XY = 4{,}5$ cm et $XZ = 5{,}1$ cm. Arrondis au centième.

1. aCalcule $\cos(\widehat{ONP})$ : donne la valeur exacte (fraction simplifiée), puis la valeur approchée.
2. bCalcule $\cos(\widehat{YXZ})$ : donne la valeur exacte (fraction simplifiée), puis la valeur approchée.
3. cTom affirme : « $XYZ$ est plus grand que $NOP$, donc le cosinus de son angle en $X$ est plus grand. » A-t-il raison ? Justifie.
4. dAvec ta calculatrice en mode degrés, calcule $\cos(28^\circ)$. Compare avec tes résultats.

Ex. 13★★★Vrai ou faux sur le cosinus — Vrai ou faux ? Justifie chaque réponse par une phrase, sans utiliser ta calculatrice.

1. a« $\cos(70^\circ)$ est plus grand que $\cos(25^\circ)$, car $70$ est plus grand que $25$. »
2. b« $\cos(60^\circ) = 0{,}5$, donc $\cos(30^\circ) = 0{,}25$. »
3. cDans un triangle $DEF$ rectangle en $E$, Sacha trouve $\cos(\widehat{EDF}) = 1{,}25$. « Ce résultat est possible. »
4. dJade tape cos(60) sur sa calculatrice et lit $-0{,}952$. « 
   Donc $\cos(60^\circ) \approx -0{,}952$. »

Ex. 14★★★Un rectangle et sa diagonale — $KLMN$ est un rectangle avec $KL = 21$ cm et $LM = 200$ mm. On trace la diagonale $[KM]$. Arrondis au centième.

1. aExplique pourquoi le triangle $KLM$ est rectangle, puis calcule la longueur $KM$.
2. bÉcris $\cos(\widehat{LKM})$ avec les lettres, puis donne sa valeur exacte et sa valeur approchée. Pourquoi écrire « $\cos(\widehat{K})$ » serait-il ambigu sur cette figure ?
3. cDans le triangle $KNM$, écris $\cos(\widehat{MKN})$ avec les lettres, puis donne sa valeur exacte en fraction et sa valeur approchée.
4. dSans calculatrice, dis lequel des deux angles $\widehat{LKM}$ et $\widehat{MKN}$ est le plus grand. Justifie avec leurs cosinus.

Ex. 15★★★L'échelle de Hugo — Hugo pose une échelle $[PH]$ contre un mur vertical. Le sol est horizontal et le mur touche le sol en $S$. L'échelle mesure $PH = 5{,}2$ m et son pied est à $PS = 1{,}3$ m du mur. Pour qu'une échelle soit stable, on admet que l'angle $\widehat{SPH}$ doit mesurer entre $60^\circ$ et $75^\circ$.

1. aHugo écrit : « $\cos(\widehat{SPH}) = \frac{PH}{PS} = \frac{5{,}2}{1{,}3} = 4$ m ». Trouve ses deux erreurs, puis calcule correctement $\cos(\widehat{SPH})$.
2. bInès propose $\cos(\widehat{SPH}) = \frac{SH}{PH}$. A-t-elle raison ? Justifie en nommant les côtés.
3. cSans calculer l'angle, utilise le tableau pour dire si l'échelle est bien placée. Justifie.
4. dHugo écarte le pied de l'échelle du mur : maintenant $PS = 156$ cm. L'échelle est-elle bien placée ? Justifie par un calcul.

Ex. 16★★★Le pignon du chalet — La façade d'un chalet a la forme d'un triangle $ABC$ isocèle en $A$, avec $BC = 10{,}8$ m et $AB = AC = 6{,}3$ m. $H$ est le pied de la hauteur issue de $A$. Arrondis au dixième.

1. aExplique pourquoi $BH = 5{,}4$ m.
2. bDans quel triangle rectangle peut-on écrire le cosinus de l'angle $\widehat{ABC}$ ? Écris-le avec les lettres, puis donne sa valeur exacte en fraction simplifiée.
3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ABC}$.
4. dLéo a arrondi le quotient à $0{,}86$ avant d'utiliser $\cos^{-1}$ : il trouve $30{,}7^\circ$. Zoé tape $\cos^{-1}(6 \div 7)$ et lit $0{,}541$. Explique l'erreur de chacun.
5. eCalcule la mesure de l'angle $\widehat{BAC}$ au sommet du toit.

Ex. 17★★★Automatismes : multiplier ou diviser ? — Sans calculatrice. La longueur cherchée est en haut du quotient : on multiplie ; elle est en bas : on divise.

1. a$\cos(40^\circ) = \frac{EF}{9}$. Écris l'expression qui donne EF.
2. b$\cos(25^\circ) = \frac{6}{GH}$. Isole GH avec un produit en croix.
3. cDans le triangle XYZ rectangle en Y, $\widehat{YXZ} = 29^\circ$. Écris le cosinus de cet angle, puis isole l'hypoténuse XZ.
4. d$0{,}8 = \frac{12}{KL}$. Calcule KL de tête.
5. eSans calculatrice, dis si $8 \times \cos(35^\circ)$ est plus grand ou plus petit que 8, puis si $\frac{8}{\cos(35^\circ)}$ l'est. Justifie.

Ex. 18★★★Automatismes : calcul mental avec cos(60°) — On donne $\cos(60^\circ) = 0{,}5$ (valeur exacte). Calcule de tête, sans calculatrice.

1. aDans le triangle ABC rectangle en A, $\widehat{ABC} = 60^\circ$ et $BC = 14$ cm. Calcule AB.
2. bDans le triangle DEF rectangle en E, $\widehat{EDF} = 60^\circ$ et $DE = 4{,}5$ cm. Calcule l'hypoténuse DF.
3. cVrai ou faux : si l'hypoténuse mesure 3,8 m, le côté adjacent à l'angle de 60° mesure 190 cm. Justifie.
4. dDans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle de 60° mesure 26 cm. Quelle est la longueur de l'hypoténuse ?

Ex. 19★★★Côté adjacent ou hypoténuse ? — Rédige en cinq lignes, calculatrice en mode degrés. Arrondis au dixième.

1. aLe triangle KLM est rectangle en L, $\widehat{LKM} = 38^\circ$ et $KM = 8{,}5$ cm. Calcule KL.
2. bLe triangle RST est rectangle en S, $\widehat{STR} = 58^\circ$ et $ST = 3{,}5$ cm. Calcule TR.
3. cLe triangle DEF est rectangle en F, $\widehat{EDF} = 27^\circ$ et $DE = 0{,}45$ m. Calcule DF en cm.

Ex. 20★★★Le toboggan de Vannes — Dans un parc aquatique de Vannes, le toboggan [TB] fait un angle $\widehat{TBH} = 34^\circ$ avec le sol. L'échelle [TH] est verticale et $HB = 3{,}9$ m. Arrondis au centième.

1. aCalcule la longueur TB du toboggan. Rédige en cinq lignes.
2. bInès écrit $\cos(\widehat{TBH}) = \frac{TH}{TB}$. Explique son erreur, puis calcule la mesure de l'angle $\widehat{BTH}$.
3. cCalcule la hauteur TH avec le cosinus de l'angle $\widehat{BTH}$, sans arrondir TB en cours de calcul.

Ex. 21★★★Trois élèves, trois erreurs — Le triangle UVW est rectangle en V, $\widehat{VUW} = 47^\circ$ et $UV = 5{,}6$ cm. Trois élèves calculent UW. Arrondis au centième.

1. aNoé écrit $UW = 5{,}6 \times \cos(47^\circ) \approx 3{,}82$ cm. Sans refaire le calcul, explique pourquoi c'est impossible.
2. bJade écrit $\cos(47^\circ) \approx 0{,}7$, donc $UW = 5{,}6 \div 0{,}7 = 8$ cm. Quelle est son erreur ?
3. cTom utilise la bonne formule, mais sa calculatrice affiche $UW \approx -5{,}64$ cm. Quel réglage de sa calculatrice est faux ?
4. dRédige le calcul juste de UW en cinq lignes.

Ex. 22★★★La rampe de la médiathèque de Colmar — À Colmar, une rampe d'accès [RP] mène à la porte de la médiathèque. Le triangle RHP est rectangle en H, $\widehat{PRH} = 4^\circ$ et la longueur au sol est RH $= 7{,}8$ m. Calculatrice en mode degrés. Arrondis au centième de mètre.

1. aCalcule la longueur RP de la rampe. Rédige en cinq lignes.
2. bYanis tape $7{,}8 \times \cos(4^\circ)$ et trouve $7{,}78$ m. Sans refaire le calcul, explique pourquoi son résultat est impossible.
3. cCalcule la hauteur PH avec le théorème de Pythagore, en gardant la valeur non arrondie de RP. Donne le résultat en m puis en cm.
4. dLe règlement impose une rampe de 8 m au plus. Avec le même angle de 4°, quelle longueur au sol RH peut-on prévoir au maximum ? Justifie par un calcul.

Ex. 23★★★Le toit du chalet de Morzine — La façade du toit d'un chalet de Morzine forme un triangle ABC isocèle en A. [AH] est la hauteur issue de A, BC $= 9{,}6$ m et $\widehat{ABC} = 32^\circ$. Arrondis au centième.

1. aExplique pourquoi BH $= 4{,}8$ m.
2. bCalcule la longueur AB d'un pan du toit. Rédige en cinq lignes.
3. cCalcule la hauteur AH du toit, sans arrondir AB en cours de calcul.
4. dChaque chevron va de A jusqu'à 45 cm au-delà de B. Les chevrons sont vendus en 6 m. Cette longueur suffit-elle ? Justifie.

Ex. 24★★★Deux triangles rectangles accolés — Le triangle DEF est rectangle en E et le triangle DFG est rectangle en F. On donne DE $= 6{,}3$ cm, $\widehat{EDF} = 41^\circ$ et $\widehat{FDG} = 28^\circ$. Arrondis au dixième.

1. aCalcule DF. Rédige en cinq lignes et isole DF par un produit en croix.
2. bCalcule DG en gardant DF en mémoire. Hugo tape $8{,}3 \div \cos(28^\circ)$ : explique pourquoi il ne trouve pas le même arrondi.
3. cCalcule FG avec le théorème de Pythagore, en gardant les valeurs non arrondies de DF et DG.
4. dMia calcule directement $DG = 6{,}3 \div \cos(69^\circ)$, car $41^\circ + 28^\circ = 69^\circ$. Explique son erreur.

Ex. 25★★★Automatisme : la touche cos⁻¹ — Calculatrice en mode degrés. Arrondis les angles au degré.

1. aCalcule l'angle aigu $x$ tel que $\cos(x) = 0{,}8$.
2. bCalcule l'angle aigu $z$ tel que $\cos(z) = \frac{3}{7}$, sans arrondir le quotient.
3. cSans calculatrice, dis si l'angle aigu $y$ tel que $\cos(y) = 0{,}97$ est proche de 0° ou de 90°. Calcule-le ensuite.
4. dLéa cherche l'angle aigu $t$ tel que $\cos(t) = 0{,}6$. Elle tape $\cos(0{,}6)$ et obtient $0{,}99995$. Explique son erreur et corrige-la.

Ex. 26★★★Automatisme : lire une table de cosinus — Sans calculatrice, utilise cette table de cosinus (valeurs arrondies au millième).

1. aQuelle est la mesure de l'angle aigu dont le cosinus vaut $0{,}743$ ?
2. bUn angle aigu a pour cosinus $0{,}749$. Encadre sa mesure entre deux nombres entiers de degrés consécutifs.
3. cUn angle aigu a pour cosinus $0{,}725$. Est-il plus petit ou plus grand que 43° ? Justifie.
4. dLes angles aigus $a$, $b$ et $c$ vérifient $\cos(a) = 0{,}72$, $\cos(b) = 0{,}75$ et $\cos(c) = 0{,}73$. Range-les du plus petit au plus grand.

Ex. 27★★★Calculer un angle dans trois triangles — Calculatrice en mode degrés. Dans chaque triangle, calcule la mesure de l'angle marqué « ? ». Arrondis au dixième.

1. a$KLM$ est rectangle en $L$, $KL = 5$ cm et $KM = 8$ cm. Calcule $\widehat{LKM}$.
2. b$RST$ est rectangle en $S$, $ST = 3{,}6$ cm et $RT = 4{,}8$ cm. Calcule $\widehat{STR}$.
3. c$EFG$ est rectangle en $F$, $FG = 2{,}7$ cm et $EG = 9$ cm. Calcule $\widehat{EGF}$.

Ex. 28★★★Quatre élèves, quatre erreurs — Le triangle $PQR$ est rectangle en $Q$, avec $PQ = 3{,}7$ cm et $PR = 5{,}3$ cm. Quatre élèves calculent $\widehat{QPR}$ au dixième. Trouve l'erreur de chacun et corrige-la.

1. aNora écrit $\cos(\widehat{QPR}) = \frac{PR}{PQ}$, puis tape $\cos^{-1}(5{,}3 \div 3{,}7)$. Sa calculatrice affiche « Erreur ». Pourquoi ?
2. bHugo calcule $3{,}7 \div 5{,}3 \approx 0{,}70$, puis $\cos^{-1}(0{,}70) \approx 45{,}6^\circ$. Où est son erreur ?
3. cYanis tape $\cos(3{,}7 \div 5{,}3)$, obtient $0{,}99993$ et annonce $\widehat{QPR} \approx 1^\circ$. Quelle est son erreur ?
4. dMalik tape $\cos^{-1}(3{,}7 \div 5{,}3)$ et obtient $0{,}798$. Que doit-il régler sur sa calculatrice ?

Ex. 29★★★La rampe de la médiathèque — À la médiathèque de Vannes, une rampe d'accès $[AC]$ mesure $4{,}8$ m. Sa projection au sol $AB$ mesure $4{,}77$ m, et le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. Le règlement de la médiathèque impose un angle d'au plus 5° entre la rampe et le sol. Arrondis au dixième.

1. aDonne la valeur exacte de $\cos(\widehat{BAC})$ sous forme de fraction. Sans calculatrice, explique pourquoi l'angle $\widehat{BAC}$ est petit.
2. bCalcule l'angle $\widehat{BAC}$ entre la rampe et le sol.
3. cLa rampe respecte-t-elle le règlement ? Justifie.
4. dCalcule l'angle $\widehat{ACB}$ entre la rampe et le support vertical $[BC]$.

Ex. 30★★★Le toit de l'abri de jardin — À Colmar, le toit d'un abri de jardin est représenté par le triangle $ABC$ isocèle en $A$, avec $AB = AC = 4{,}6$ m et $BC = 8{,}4$ m. La hauteur $[AH]$ est perpendiculaire à $[BC]$ et coupe $[BC]$ en son milieu $H$. Calculatrice en mode degrés. Arrondis les angles au degré et les longueurs au centième.

1. aCalcule $BH$, puis donne la valeur exacte de $\cos(\widehat{ABH})$ sous forme de fraction irréductible.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{ABH}$, qui donne la pente du toit.
3. cDéduis-en la mesure de $\widehat{BAH}$, puis celle de l'angle au sommet $\widehat{BAC}$.
4. dMila écrit $\cos(\widehat{ABC}) = \frac{AB}{BC}$ et trouve $\widehat{ABC} \approx 57^\circ$. Explique son erreur.
5. eCalcule la hauteur $AH$ du toit. Indique l'outil que tu as choisi.

Ex. 31★★★Deux triangles rectangles accolés — Les triangles $KLM$ et $KLN$ sont rectangles en $L$, et les points $N$, $L$, $M$ sont alignés. On donne $KM = 6{,}5$ cm, $LM = 2{,}5$ cm et $KN = 7{,}2$ cm. Calculatrice en mode degrés. Arrondis les angles au dixième.

1. aDonne la valeur exacte de $\cos(\widehat{LMK})$, puis calcule la mesure de l'angle $\widehat{LMK}$.
2. bDéduis-en la mesure de l'angle $\widehat{LKM}$, sans utiliser la calculatrice.
3. cCalcule la longueur $KL$. Indique l'outil que tu as choisi.
4. dCalcule la mesure de l'angle $\widehat{LKN}$, puis celle de l'angle $\widehat{MKN}$.
5. eZoé arrondit le cosinus de $\widehat{LKN}$ au centième avant d'utiliser la touche $\cos^{-1}$. Elle trouve $\widehat{LKN} \approx 33{,}9^\circ$. A-t-elle raison ? Justifie.

Ex. 32★★★L'échelle d'Inès est-elle stable ? — Inès pose une échelle $[RT]$ de $4{,}5$ m contre un mur vertical $[RS]$. Le pied $T$ est à $1{,}7$ m du mur, et le triangle $RST$ est rectangle en $S$. Pour être stable, l'échelle doit faire avec le sol un angle compris entre 65° et 75° (donnée de l'énoncé). Pour les calculs à la calculatrice, arrondis les angles au dixième.

1. aDonne la valeur exacte de $\cos(\widehat{STR})$ sous forme de fraction irréductible, puis sa valeur approchée au millième.
2. bSans calculatrice, utilise cette table pour encadrer $\widehat{STR}$ entre deux nombres entiers de degrés consécutifs. L'échelle est-elle stable ? Justifie.

   Angle	66°	67°	68°	69°
   Cosinus	0,407	0,391	0,375	0,358

3. cCalcule la mesure de l'angle $\widehat{STR}$, puis celle de l'angle $\widehat{TRS}$, entre l'échelle et le mur.
4. dInès tape $\cos^{-1}(17 \div 45)$ et lit $1{,}18$. Explique pourquoi ce nombre n'est pas la mesure de l'angle en degrés.
5. eInès écarte le pied $T$ de l'échelle à $2$ m du mur. L'échelle est-elle encore stable ? Justifie par un calcul.

Ex. 33★★★Automatismes : quel outil ? — Pour chaque triangle, indique l'outil à utiliser : théorème de Pythagore, cosinus, touche $\cos^{-1}$ ou $90^\circ −$ angle. Justifie en une phrase.

1. a$PQR$ est rectangle en $Q$, $PQ = 5{,}2$ cm et $QR = 3{,}9$ cm. On cherche $PR$.
2. b$UVW$ est rectangle en $W$ et $\widehat{WUV} = 41^\circ$. On cherche $\widehat{UVW}$.
3. c$ABC$ est rectangle en $C$, $AB = 8$ cm et $AC = 5{,}2$ cm. On cherche $\widehat{BAC}$.
4. d$XYZ$ est rectangle en $X$, $\widehat{XYZ} = 47^\circ$ et $YZ = 6$ cm. On cherche $XY$.
5. e$GHK$ est rectangle en $H$, $\widehat{HGK} = 35^\circ$ et $HK = 3$ cm. On cherche $GK$.

Ex. 34★★★Automatismes : changer d'angle — $RST$ est un triangle rectangle en $S$, avec $RT = 7$ cm et $\widehat{SRT} = 23^\circ$. On cherche $ST$. Arrondis au centième.

1. aNomme l'hypoténuse, puis le côté opposé à $\widehat{SRT}$.
2. bCalcule $\widehat{STR}$.
3. cPour l'angle $\widehat{STR}$, le côté $[ST]$ est-il adjacent ou opposé ? Justifie.
4. dCalcule $ST$.

Ex. 35★★★Deux méthodes pour un même côté — $DEF$ est un triangle rectangle en $E$, avec $DF = 9$ cm et $\widehat{EDF} = 38^\circ$. Arrondis au centième.

1. aCalcule $DE$.
2. bCalcule $EF$ avec le théorème de Pythagore, en gardant $DE$ non arrondi dans la calculatrice.
3. cCalcule $EF$ d'une autre façon, avec le cosinus de l'autre angle aigu.
4. dCompare tes deux résultats, puis vérifie que l'hypoténuse est bien le plus long côté.

Ex. 36★★★Pythagore, puis cosinus — $MNP$ est un triangle rectangle en $N$, avec $NM = 4$ cm et $NP = 7$ cm. Arrondis au dixième.

1. aCalcule la valeur exacte de $MP$, puis sa valeur approchée.
2. bCalcule $\widehat{NMP}$ en utilisant la valeur exacte de $MP$.
3. cZoé arrondit d'abord $MP$ au dixième, puis calcule l'angle. Elle trouve $\widehat{NMP} \approx 60{,}4^\circ$. Explique d'où vient l'écart.
4. dDéduis-en $\widehat{NPM}$.

Ex. 37★★★Trois erreurs à corriger — $KLM$ est un triangle rectangle en $L$, avec $\widehat{LKM} = 34^\circ$ et $LM = 5$ cm. Trois élèves cherchent $KM$ et se trompent. Arrondis au centième.

1. aTom écrit : « $\cos(34^\circ) = \frac{5}{KM}$, donc $KM \approx 6{,}03$ cm ». Quelle erreur fait-il ?
2. bInès écrit : « $KM = 5 \times \cos(56^\circ) \approx 2{,}80$ cm ». Explique sans calculatrice pourquoi c'est impossible.
3. cNoah tape les bons nombres, mais il trouve $KM \approx 5{,}86$ cm. Quel réglage de sa calculatrice doit-il vérifier ?
4. dRédige le calcul correct de $KM$.

Ex. 38★★★Deux triangles rectangles accolés — Les triangles $KHL$ et $KHM$ sont rectangles en $H$. Les points $M$, $H$ et $L$ sont alignés. On donne $KL = 6{,}5$ cm, $HL = 2{,}5$ cm et $\widehat{HMK} = 40^\circ$. Arrondis les longueurs au centième et les angles au dixième.

1. aChoisis l'outil, puis calcule la longueur $KH$.
2. bCalcule la mesure de l'angle $\widehat{KLH}$, puis celle de l'angle $\widehat{LKH}$.
3. cCalcule la longueur $KM$. Justifie le choix de l'angle que tu utilises.
4. dLe triangle $KLM$ est-il rectangle en $K$ ? Justifie par un calcul.

Ex. 39★★★Le toit de la maison de Noé — À Annecy, le pignon de la maison de Noé est un triangle $ABC$ isocèle en $A$. La hauteur $[AH]$ est perpendiculaire à $[BC]$, et $H$ est le milieu de $[BC]$. On donne $BC = 8{,}4$ m et $\widehat{ABC} = 32^\circ$. Arrondis les longueurs au centième et les angles au dixième.

1. aCalcule la longueur $AB$ d'un pan du toit.
2. bMaël a tapé $4{,}2 \times \cos(32)$ et a trouvé environ $3{,}56$ m pour $AB$. Sans refaire son calcul, explique pourquoi ce résultat est impossible.
3. cCalcule la hauteur $AH$ du toit, en utilisant la valeur exacte de $AB$.
4. dLe toit du voisin a la même forme : sa demi-largeur mesure $4{,}6$ m et chaque pan $5{,}5$ m. Ses tuiles demandent une pente d'au moins $30^\circ$. Son toit convient-il ? Justifie par un calcul.

Ex. 40★★★Le losange de Lina — $ABCD$ est un losange de centre $O$ : ses diagonales sont perpendiculaires en $O$ et se coupent en leur milieu. $[BD]$ partage l'angle $\widehat{ABC}$ en deux angles égaux. On donne $AB = 7$ cm et $AC = 11{,}2$ cm. Arrondis les longueurs au centième et les angles au dixième.

1. aCalcule la mesure de l'angle $\widehat{OAB}$.
2. bAvec sa calculatrice, Lina trouve $0{,}64$ pour l'angle $\widehat{OAB}$. Quelle est son erreur ?
3. cCalcule la longueur $OB$ avec le théorème de Pythagore, puis la longueur $BD$.
4. dHugo écrit : « $OB = 7 \times \cos(36{,}9^\circ) \approx 5{,}6$ cm. » Explique son erreur, puis retrouve $OB$ avec le cosinus et compare avec la question précédente.
5. eSami affirme : « L'angle $\widehat{ABC}$ du losange mesure environ $73{,}7^\circ$. » A-t-il raison ? Justifie.

Ex. 41★★★L'échelle contre le mur — Une échelle [EF] est posée contre un mur vertical. Son haut E touche le mur, son pied F est sur le sol horizontal et M est le pied du mur.

1. aEn quel point le triangle EMF est-il rectangle ? Justifie avec le mur et le sol.
2. bNomme l'hypoténuse du triangle EMF.
3. cL'angle d'inclinaison de l'échelle est $\widehat{EFM}$. Nomme le côté adjacent et le côté opposé à cet angle.
4. dSami annonce que le pied de l'échelle est à $5{,}3$ m du mur. Est-ce possible ? Justifie sans calcul.
5. eOn sait maintenant que $MF = 1{,}6$ m. Quel outil donne EM ? Donne la valeur exacte de $\cos(\widehat{EFM})$ en fraction irréductible.

Ex. 42★★★Le câble du téléski — Un téléski part du point D et arrive au point A. P est le point situé à la verticale de A, à la même altitude que D : le triangle DPA est rectangle en P. Sur la carte, la distance horizontale est $DP = 850$ m et l'angle de la pente est $\widehat{ADP} = 18^\circ$. Arrondis au mètre.

1. aCalcule la longueur DA du câble. Conclus par une phrase.
2. bCalcule l'angle $\widehat{DAP}$.
3. cNora a écrit $DA = 850 \times \cos(18^\circ) \approx 808$ m. Explique pourquoi son résultat est impossible, puis son erreur.

Ex. 43★★★La rampe de la médiathèque — À Rennes, une rampe d'accès [RB] mesure $4{,}2$ m. Sa distance horizontale RH mesure $418$ cm et le triangle RHB est rectangle en H. Dans cet énoncé, une rampe est conforme si son angle avec le sol ne dépasse pas $5^\circ$. Arrondis au dixième.

1. aExprime RB en cm, puis donne la valeur exacte de $\cos(\widehat{BRH})$ sous forme de fraction irréductible.
2. bCalcule l'angle $\widehat{BRH}$. La rampe est-elle conforme ? Justifie.
3. cBen refait la rampe : même longueur $4{,}2$ m, mais inclinée à $5^\circ$. Calcule sa nouvelle distance horizontale RH, en cm.

Ex. 44★★★Le toit de la maison — Le pignon d'un toit est un triangle ABC isocèle en A, avec $AB = 5{,}4$ m. H est le pied de la hauteur issue de A. Le toit est incliné de $\widehat{ABC} = 32^\circ$. Arrondis au centième.

1. aPourquoi le triangle ABH est-il rectangle en H ?
2. bCalcule la hauteur AH du toit.
3. cCalcule la largeur BC de la maison.

Ex. 45★★★La couture de la voile — La voile d'un dériveur est un triangle EFG rectangle en F, avec $EF = 4{,}5$ m et $EG = 7{,}5$ m. Une couture [FH] est perpendiculaire à [EG], avec H sur [EG]. Arrondis au centième.

1. aDans le triangle EFG, donne la valeur exacte de $\cos(\widehat{FEG})$ en fraction irréductible.
2. bDans le triangle EHF, écris $\cos(\widehat{FEG})$ autrement, puis calcule EH sans calculer l'angle.
3. cLou calcule l'angle arrondi à l'unité, $53^\circ$, puis $EH = 4{,}5 \times \cos(53^\circ)$. Que trouve-t-elle ? Pourquoi est-ce moins bien ?
4. dCalcule FG en choisissant l'outil adapté.

Ex. 46★★★Le toboggan du parc aquatique — À Agen, un toboggan droit [TS] mesure $7{,}2$ m. Son haut T est à la verticale du point H du sol horizontal, et $TH = 390$ cm. Pour la sécurité, l'angle $\widehat{TSH}$ entre le toboggan et le sol ne doit pas dépasser $35^\circ$. Arrondis les angles au dixième et les longueurs au centième.

1. aExplique pourquoi le triangle THS est rectangle en H, puis nomme son hypoténuse.
2. bTom écrit $\cos(\widehat{TSH}) = \frac{TH}{TS}$. Explique son erreur.
3. cExprime TH en m, puis calcule $\widehat{STH}$ et déduis-en $\widehat{TSH}$.
4. dLe toboggan est-il conforme à la règle de sécurité ? Justifie.
5. eCalcule la distance horizontale HS en choisissant le bon outil. Conclus par une phrase.

Ex. 47★★★Le cerf-volant d'Inès — Le cerf-volant d'Inès a la forme d'un losange KLMN de centre O. Ses côtés mesurent $65$ cm et sa diagonale [KM] mesure $112$ cm. Arrondis les angles au dixième.

1. aExplique pourquoi le triangle KOL est rectangle en O, puis calcule KO.
2. bDonne la valeur exacte de $\cos(\widehat{LKO})$ en fraction irréductible, puis calcule $\widehat{LKO}$ et $\widehat{KLO}$.
3. cNoé trouve $\widehat{LKO} \approx 0{,}53$. Quel réglage de la calculatrice est faux ? Pourquoi son résultat est-il invraisemblable ?
4. dInès doit acheter une baguette pour la diagonale [LN]. Calcule LN en justifiant l'outil, puis conclus.

Ex. 48★★★Le mât et ses deux haubans — Un mât vertical [MP] est tenu par deux câbles, appelés haubans, [MA] et [MB], fixés au sol horizontal. Les points A, P et B sont alignés. $MA = 13$ m, $AP = 5$ m et $\widehat{PMB} = 42^\circ$. Règle : chaque hauban doit faire avec le sol un angle d'au moins $50^\circ$. Arrondis les angles au dixième et les longueurs au centième.

1. aCalcule la hauteur MP du mât. Justifie le choix de l'outil.
2. bCalcule $\widehat{MAP}$. Le hauban [MA] respecte-t-il la règle ? Justifie.
3. cCalcule la longueur MB du hauban [MB], puis compare-la à MA.
4. dCalcule $\widehat{MBP}$, puis PB en gardant la valeur exacte de MB. Le hauban [MB] respecte-t-il la règle ?
5. eDéduis-en la distance AB entre les deux points d'ancrage. Conclus par une phrase.